实验1 一维搜索算法的程序设计
实验一 一维搜索算法的程序设计
一、实验目的
1、熟悉一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法。
2、培养matlab 编程与上机调试能力。
二、实验课时：2个课时
三、实验准备
1、预习一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法的计算步骤。
2、熟悉matlab 软件的基本操作。
四、实验内容
课堂实验演示
1、根据二分法算法编写程序，求函数
2
()22f x x x =++ 在区间[2,1]-上的极小值。
二分法如下：
（1）给定区间[,]a b (要求满足0)(',0)('>δ；
（2）若δ≤-a b ，则停，输出*()/2x a b =+；
（3）计算()/2c a b =+；
（4）若0)('
function [val,x,iter] = bisection_method(a,b,delta)
iter = 0;
while abs(b-a)>delta
iter = iter+1;
[y,dy] = fun((a+b)/2);
if abs(dy)<= delta
x = (a+b)/2;
val = y;
return;
elseif dy<0
a = (a+b)/2;
else
b = (a+b)/2;
end
end
x = (a+b)/2;
[val,dval] = fun(x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% obj function %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [y,dy] = fun(x)
y = x^2+2*x+2;
dy = 2*x+2;
>> delta = 1.0e-6;
[val,x,iter] = bisection_method(-2,1,delta)
val = 1
x = -1
iter = 21
2、根据0.618算法编写程序，求函数
()()()630sin tan 1x f
x x x e =- 在区间[0,1]上的极大值。
令()()()()630sin tan 1x g x f
x x x e =-=--，则原问题转化为求[]
()0,1m in x g x ∈
0.618算法如下： （1）给定区间[,]a b ，及精度0eps >；
（2）计算试探点0.382(),0.618()r a b a u a b a =+-=+-. 令1=k ；
（3）若eps a b <-，则停止计算，输出)(,2/)(*
**x f f a b x =+=；否则，
若()()f r f u >，转（4）；若)()(u f r f <，转（5）;
（4）令a r =，r u =，计算0.618()u a b a =+-，转（6）;
（5）令b u =，u r =，计算0.382()r a b a =+-，转（6）;
（6）令1+=k k ，回 (3).
运行结果，如下：
>> a=0,b=1,eps=10^(-5);
[optx,opty,iter]=gold_section_method(a,b,eps) iter =
26
optx =
0.9707
opty =
-4.1086e+010
则[]()0,1m ax x f
x ∈为 4.1086e+010
其程序如下：
function [optx,opty,iter]=gold_section_method(a,b,eps)
r = a + 0.382*(b-a);
u = a + 0.618*(b-a);
iter = 1;
while (b-a) > eps
if f(r)>= f(u)
a = r;
r = u;
u = a + 0.618*(b-a);
else
b = u;
u = r;
r = a + 0.382*(b-a);
end
iter = iter + 1;
end
optx = ( a + b )/2;
opty = f(optx);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%obj function %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function y=f(x)
y=-(sin(x))^6*tan(1-x)*exp(30*x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%obj function %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3、牛顿法的计算步骤为：
(1) 给出初始近似根 0x 及精度ε，令0=k ；
(2) 计算 )(")('0001x f x f x x -=，1+=k k ；
(3) 若ε<-01x x ，则转(4)；否则 1x 赋予0x ，转向(2);
(4) 输出满足精度的根1x ，结束.
课堂实验任务
1. 编写函数文件，实现二分法，0.618 法，并求解下列问题
1) 求函数2
341243)(x x x x f --=在[]0,1内的极大值 2) 求函数()t t
t e e ψ-=+在[]1,1-内的极小值
2. 编写函数文件，实现牛顿 法，并求函数41664)(234+---=x x x x x f 的极小值. 分
别取初始点5.20=x 和30=x .
五、实验主要步骤
1、安装matlab7.0及以上版本软件；
2、编写m 文件以创建和保存各函数；
3、运行程序，保存结果；
4、撰写实验报告。
六、实验报告的撰写要求
1. 写出实验课程名称；
2. 写出姓名、学号、日期；
3. 写出实验目的、实验内容；
4. 写出实验过程及结果（程序代码及数值解），尽量给出其图象;
5. 写出心得体会；
6. 递交实验报告。
算法设计实验3
实验三：动态规划法 【实验目的】 应用动态规划算法思想求解矩阵连乘的顺序问题。 【实验要求】 应用动态规划算法的最优子结构性质和子问题重叠性质求解此问题。分析动态规划算法的基本思想，应用动态规划策略写出算法及相应的程序，求解此题。要读懂读透A[i,j]， A[1,n]=A[1,k] ×A[k+1,n]，m[i][j]，s[i][j]各式所表达的含义并正确加以应用。m[i][j]的递归定义： 0 （i=j ） m[i][j]= min{m[i][k]＋m[k+1][j]+n i-1n k n j （i
实验一 简单算法设计
实验一简单算法设计 一.实验目的和要求 1. 理解算法设计与分析的基本概念，理解解决问题的算法设计与实现过程； 2. 掌握简单问题的算法设计与分析，能设计比较高效的算法； 3. 熟悉C/C++语言等的集成开发环境，掌握简单程序设计与实现的能力； 二．实验内容 (一)相等元素问题 1.问题描述先排序函数，再查找函数。 #define size 100 Typedef strat { Int Array[size] Int listlength }List List a; Main() { 1、输入 2、排序 3、查找 4、输出 } 元素唯一性问题：给出一个整数集合，假定这些整数存储在数组A[1…n]中，确定它们中是否存在两个相等的元素。请设计出一个有效算法来解决这个问题，你的算法的时间复杂性是多少？ 2. 测试数据 输入： 9 71 25 64 38 52 5 31 19 45 26 35 17 92 53 24 6 57 21 12 34 2 17 86 75 33 15 87 32 7 84 35 26 45 78 96 52 22 37 65 9 43 21 3 33 91 输出：No Yes No 3. 设计与实现的提示 算法最坏情况和平均情况的时间复杂性是衡量算法优劣的重要指标，算法设计要求尽可能设计比较高效的算法。 (二) 整数集合分解（选做） 1.问题描述
设计算法把一个n个元素的整数集合（n为偶数）分成两个子集S1和S2，使得：每个新的集合中含有n/2个元素，且S1中的所有元素的和与S2中的所有元素的和的差最大。 2. 测试数据 输入： 68 25 34 16 2 37 3 95 76 57 21 13 4 78 29 6 17 39 51 20 43 12 28 3 48 59 14 32 47 51 42 61 9 24 52 78 65 2 37 78 51 73 29 7 26 95 37 2 输出： 2 3 4 6 12 13 16 17 20 21 25 29 34 37 39 43 51 57 68 76 78 95 2 2 3 7 9 1 4 24 26 28 29 32 37 37 42 47 48 51 51 52 59 61 62 65 73 78 95 3. 设计与实现的提示 本题可以有多种方法。算法时间复杂性是选取算法的重要依据。输出的两个新整数集合要求按照从小到大排序后输出。该排序步骤对算法时间复杂性的影响在此不计。
算法设计与实验报告讲解
算法设计与分析实验报告 学院：信息学院 专业：物联网1101 姓名：黄振亮 学号：20113379 2013年11月
目录 作业1 0-1背包问题的动态规划算法 (7) 1.1算法应用背景 (3) 1.2算法原理 (3) 1.3算法描述 (4) 1.4程序实现及程序截图 (4) 1.4.1程序源码 (4) 1.4.2程序截图 (5) 1.5学习或程序调试心得 (6) 作业2 0-1背包问题的回溯算法 (7) 2.1算法应用背景 (3) 2.2算法原理 (3) 2.3算法描述 (4) 2.4程序实现及程序截图 (4) 2.4.1程序源码 (4) 2.4.2程序截图 (5) 2.5学习或程序调试心得 (6) 作业3循环赛日程表的分治算法 (7) 3.1算法应用背景 (3) 3.2算法原理 (3) 3.3算法描述 (4) 3.4程序实现及程序截图 (4)
3.4.1程序源码 (4) 3.4.2程序截图 (5) 3.5学习或程序调试心得 (6) 作业4活动安排的贪心算法 (7) 4.1算法应用背景 (3) 4.2算法原理 (3) 4.3算法描述 (4) 4.4程序实现及程序截图 (4) 4.4.1程序源码 (4) 4.4.2程序截图 (5) 4.5学习或程序调试心得 (6)
作业1 0-1背包问题的动态规划算法 1.1算法应用背景 从计算复杂性来看,背包问题是一个NP难解问题。半个世纪以来,该问题一直是算法与复杂性研究的热点之一。另外,背包问题在信息加密、预算控制、项目选择、材料切割、货物装载、网络信息安全等应用中具有重要的价值。如果能够解决这个问题那么则具有很高的经济价值和决策价值，在上述领域可以获得最大的价值。本文从动态规划角度给出一种解决背包问题的算法。 1.2算法原理 1.2.1、问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi ∈{0,1}, ?∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 1.2.2、最优性原理： 设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,…,yn)是下面相应子问题的一个最优解: 证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。显然有 ∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n) 且 w1y1+ ∑wizi<= c 因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n) 说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾。 1.2.3、递推关系：
斐波那契法 一维搜索方法
短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。 解：由题意=δ5%，由斐波那契数列δ1 ≥n F ，则n=7， 00=a ，100=b 1t =0b )(0076a b F F --=2180 , 21 130)(00760'1=-+=a b F F a t , 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f < 则有001==a a ，21801'2==t t ，21130'11==t b ，21 50)(116512=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f < , 则有012==a a ，21502'3==t t ，2180'22==t b ，21 30)(225423=--=a b F F b t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f >， 则有213033==t a ，2150'34==t t ，218023==b b ，21 60)(33433'4=-+=a b F F a t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有215044==t a ,2160'45==t t ,218034==b b ,21 70)(44324'5=-+=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有216055= =t a ，2170'56==t t ，218045==b b ， 则令105 351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6=-?++=-++=a b F F a t ε， 将6t 和'6t 代入函数，比较大小有)()('66t f t f <， 则216056==a a ，105351'66==t b ，区间为：?? ????105351,2160 所以选择6t 为极小点，=)(6t f 89.6)2170( -=f 。
机械优化设计一维搜索实验报告
《机械优化设计》 实验报告 班级: 机械设计（2）班 姓名：邓传淮 学号：0901102008
1 实验名称：一维搜索黄金分割法求最佳步长 2 实验目的：通过上机编程，理解一维搜索黄金分割法的原理，了解计算机在优化设计中的应用。 3 黄金分割法的基本原理 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 4实验所编程序框图(1)进退发确定单峰区间的计算框图 （2）黄金分割法计算框图 5 程序源代码 （1）进退发确定单峰区间的程序源代码 #include 分治法 1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略） 27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。 34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。 实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。 17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。 29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。 不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。 动态规划 下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解） 下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。 下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法） 备忘录方法是那种算法的变形。（动态规划法） 最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。 矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。 实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。 贪心算法 能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题， 不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题 是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。 回溯法 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。 剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略 回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间） 分支限界法 最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。 分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。 分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆） 优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级） 在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法). 从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式. （1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。 （最优子结构性质）是贪心算法与动态规划算法的共同点。 贪心算法与动态规划算法的主要区别是（贪心选择性质）。 回溯算法和分支限界法的问题的解空间树不会是( 无序树). 14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n） 21、下面关于NP问题说法正确的是（B ） A NP问题都是不可能解决的问题 B P类问题包含在NP类问题中 C NP完全问题是P类问题的子集 D NP类问题包含在P类问题中 40、背包问题的贪心算法所需的计算时间为（ B ） 实验报告一 课程C++ 实验名称简单算法设计第 1 页专业_数学与应用数学_ __ 班级__ 双师一班学号105012011056 姓名陈萌 实验日期：2013 年 3 月9 日报告退发(订正、重做) 一、实验目的 1. 理解算法设计与分析的基本概念，理解解决问题的算法设计与实现过程； 2. 掌握简单问题的算法设计与分析，能设计比较高效的算法； 3. 熟悉C/C++语言等的集成开发环境，掌握简单程序设计与实现的能力。 二、实验内容 (一)相等元素问题 1.问题描述 元素唯一性问题：给出一个整数集合，假定这些整数存储在数组A[1…n]中，确定它们中是否存在两个相等的元素。请设计出一个有效算法来解决这个问题，你的算法的时间复杂性是多少？ 2. 具体要求（若在ACM平台上提交程序，必须按此要求）――平台上1767题 输入：输入的第一行是一个正整数m，表示测试例个数。接下来几行是m个测试例的数据，每个测试例的数据由两行组成，其中第一行为一个正整数n (n<=500)，表示整数序列的长度，第二行给出整数序列，整数之间用一个空格隔开。 输出：对于每个测试例输出一行，若该组测试例中存在两个相等的元素则输出”Yes”，否则，输出”No”。每个测试例的输出数据用一行表示。 3. 测试数据 输入：3 10 9 71 25 64 38 52 5 31 19 45 16 26 35 17 92 53 24 6 57 21 12 34 2 17 86 75 33 20 15 87 32 7 84 35 26 45 78 96 52 22 37 65 9 43 21 3 33 91 输出：No Yes No (二) 整数集合分解 1.问题描述 设计算法把一个n个元素的整数集合（n为偶数）分成两个子集S1和S2，使得：每个新的集合中含有n/2个元素，且S1中的所有元素的和与S2中的所有元素的和的差最大。 2. 具体要求（若在ACM平台上提交程序，必须按此要求）――平台上1768题 输入的第一行是一个正整数m，表示测试例个数。接下来几行是m个测试例的数据，每个测试例的数据由两行组成，其中第一行为一个正整数n (n为偶数，且n<=500)，表示原整数集合的长度，第二行给出这n个整数序列，整数之间用一个空格隔开。 输出：对于每个测试例输出两行，分别表示新生成的整数集合。其中，第一行是元素和比较小的整数集合，第二行是元素和比较大的整数集合，整数之间用一个空格隔开。两个测 实验报告 （2009/2010学年第一学期） 课程名称算法分析与设计A 实验名称动态规划法 实验时间2009 年11 月20 日指导单位计算机学院软件工程系 指导教师张怡婷 学生姓名丁力琪班级学号B07030907 学院(系) 计算机学院专业软件工程 实验报告 实验名称动态规划法指导教师张怡婷实验类型验证实验学时2×2实验时间2009-11-20一、实验目的和任务 目的：加深对动态规划法的算法原理及实现过程的理解，学习用动态规划法解决实际应用中的最长公共子序列问题。 任务：用动态规划法实现求两序列的最长公共子序列，其比较结果可用于基因比较、文章比较等多个领域。 要求：掌握动态规划法的思想，及动态规划法在实际中的应用；分析最长公共子序列的问题特征，选择算法策略并设计具体算法，编程实现两输入序列的比较，并输出它们的最长公共子序列。 二、实验环境(实验设备) 硬件：计算机 软件：Visual C++ 三、实验原理及内容（包括操作过程、结果分析等） 1、最长公共子序列（LCS）问题是：给定两个字符序列X={x1,x2,……,x m}和Y={y1,y2,……,y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。 例如：X={a,b,c,b,d,a,b},Y={b,d,c,a,b,a}。它们的最长公共子序列LSC={b,c,d,a}。 通过“穷举法”列出所有X的所有子序列，检查其是否为Y的子序列并记录最长公共子序列并记录最长公共子序列的长度这种方法，求解时间为指数级别的，因此不可取。 2、分析LCS问题特征可知，如果Z={z1,z2,……，z k}为它们的最长公共子序列，则它们一定具有以下性质： （1）若x m=y n，则z k=x m=y n，且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列； （2）若x m≠y n且x m≠z k，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列； （3）若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y的最长公共子序列。 这样就将求X和Y的最长公共子序列问题，分解为求解较小规模的问题： 若x m=y m，则进一步分解为求解两个（前缀）子字符序列X m-1和Y n-1的最长公共子序列问题； 如果x m≠y n，则原问题转化为求解两个子问题，即找出X m-1和Y的最长公共子序列与找出X 和Y n-1的最长公共子序列，取两者中较长者作为X和Y的最长公共子序列。 由此可见，两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀的最长公共子序列，具有最优子结构性质。 3、令c[i][j]保存字符序列X i={x1,x2,……,x i}和Y j={y1,y2,……,y j}的最长公共子序列的长度，由上述分析可得如下递推式： 0 i=0或j=0 c[i][j]= c[i-1][j-1]+1 i,j>0且x i=y j max{c[i][j-1],c[i-1][j]} i,j>0且x i≠y j 由此可见，最长公共子序列的求解具有重叠子问题性质，如果采用递归算法实现，会得到一个指数时间算法，因此需要采用动态规划法自底向上求解，并保存子问题的解，这样可以避免重复计算子问题，在多项式时间内完成计算。 4、为了能由最优解值进一步得到最优解（即最长公共子序列），还需要一个二维数组s[][]，数组中的元素s[i][j]记录c[i][j]的值是由三个子问题c[i-1][j-1]+1,c[i][j-1]和c[i-1][j]中的哪一个计算得到，从而可以得到最优解的当前解分量（即最长公共子序列中的当前字符），最终构造出最长公共子序列自身。 算法与分析实验报告软件工程专业 安徽工业大学 指导老师：许精明 实验内容 1：杨辉三角 2：背包问题 3：汉诺塔问题 一：实验目的 1：掌握动态规划算法的基本思想，学会用其解决实际问题。 2：通过几个基本的实验，提高算法分析与设计能力，提高动手操作能力和培养良好的编程习惯。 二：实验内容 1：杨辉三角 2：背包问题 3：汉诺塔问题 实验一：杨辉三角 问题分析： ①每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 ②第n行数之和为2^n。 ③下一行每个数字等于上一行的左右两个数字之和。 算法设计及相关源代码： public void yanghui(int n) { int[] a = new int[n]; if(n==1){ System.out.println(1); }else if(n==2) { System.out.print(1 + " " +1); }else{ a[1]=1; System.out.println(a[1]); a[2]=1; System.out.println(a[1]+" "+a[2]); for(int i=3;i<=n;i++){ a[1]=a[i]=1; for(int j=i-1;j>1;j--){ a[j]=a[j]+a[j-1]; } for(int j=1;j<=i;j++){ System.out.print(a[j]+" "); } System.out.println(); } } } 实验结果：n=10 实验二：0-1背包问题 问题分析：：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就 j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数: (1) V(i,0)=V(0,j)=0 (2) V(i,j)=V(i-1,j) j 1.数组元素逆置 #include 2.静态查找 #include printf("%d在数组a[%d]中。\n",t,i); else printf("%d不在a数组中。\n",t); } 3.二分查找：前提数组有序 #include 算法设计与分析实验报告 教师： 学号： 姓名： 实验一：串匹配问题 实验目的：(1) 深刻理解并掌握蛮力法的设计思想; (2) 提高应用蛮力法设计算法的技能; (3) 理解这样一个观点: 用蛮力法设计的算法, 一般来说, 经过适度的努力后, 都可以对算法的第一个版本进行一定程度的改良, 改进其时间性能。 三、实验要求：( 1) 实现BF 算法; (2 ) 实现BF 算法的改进算法: KMP 算法和BM 算法; (3 ) 对上述 3 个算法进行时间复杂性分析, 并设计实验程序验证 分析结果。 #include "stdio.h" #include "conio.h" #include 无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。 这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。 （直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。 间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。） 在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k 设Φ(a)=f(x k+ad k) 这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到 极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0) 则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子; 如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用 户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维 搜索。 由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的 实验二：回溯法VS分支定界法 一、问题分析 回溯法可以处理货郎担问题，分支定界法也可以处理货郎担问题，回溯法和分支定界法哪个算法处理货郎担问题效率更高呢？ 实现回溯法、分支定界法，以及不同的界值函数（课上讲过的或者自己新设计的），通过随机产生10个不同规模的算例（城市数量分别为10，20，40，80，100，120，160，180，200，500，或者其它规模），比较回溯法和分支定界法在相同界值函数下的执行效率。另外，分别比较回溯法和分支定界法在不同界值函数下的执行效率。 二、算法基本思想 1、回溯法 从初始状态出发，搜索其所能到达的所有“状态”， 当一条路走到尽头，再后退一步或若干步，从另外一种状态出发，继续搜索，直到所有的路径都搜索过。这种不断前进、不断回溯寻找解的方法叫回溯法。回溯法通常将问题解空间组织成“树”结构，采用系统的方法搜索解空间树，从而得到问题解。 搜索策略： 深度优先为主，也可以采用广度优先、函数优先、广度深度结合等。 避免无效搜索策略： 约束函数：在扩展结点处剪去不满足约束条件的子树 界限函数：在扩展结点处剪去得不到最优解的子树 2、分支限界法 分支界限法类似与回溯法，也是在问题解空间中搜索问题解的一种算法。 分支界限法与回溯法思想对比： 求解目标：回溯法的可以用于求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标通常是找出满足约束条件的一个解或最优解。 搜索方式的不同：回溯法主要以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则 主要以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。 在分支限界法中，每个活结点只有一次机会成为扩展结点。一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 三、算法设计 1、回溯法 TSP问题的目的是得到一条路径，即一个解向量（X1,X2...Xn），为排列树问题。 对所有城市进行编号后，按大小顺序存储于数组path中，构造一个交换函数swap（）；对数组path进行遍历，判断当前城市与目标城市是否连通，若连通，通过swap函数对当前节点和目标城市进行交换，即树的节点拓展。若不连通则恢复，并进入下一次的循环，循环到叶子节点时，判断叶是否与初始节点相连，并计算代价cost是否小于当前最小代价bestc，若小于，则更新bestc，再返回上一节点，知道遍历完树中的所有节点。 2、分支限界法 因为问题是经典的TSP问题，所以确定问题的解空间树为排列树。 问题解的表示：可以将问题的解表示成一个n元式 [x1,x2,…,xn]。 使用优先级队列实现最小耗费优先求解。 界函数的确定：首先利用贪心的方法获得一个较优的上界。对于当前路径下的扩展的过程中，每一步需要存储的当前的结点的下界。其中的第二部分需要计算的是当前路径的起始结点以及终止结点各自与仍未访问过的结点中的结点只存存在的最小代价。 结点的扩展过程如下：根据优先级从队列中选取优先级最高的元素，当结点不是叶子结点的父节点时，扩展该结点的所有子节点，在扩展的过程中需要根据计算所得的下界与当前求解得到的最优解进行对比，如果下界大于当前的最优解则对相应的子节点时进行剪枝处理，否则扩展该子节点，将其加入到队列中。当当前所访问的结点为叶子结点的父节点时，判断当前费用+当前结点到叶子结点的费 算法设计综合实训题目 0．逆序数字（借助栈） 编写一个函数，接收一个4位整数值，返回这个数中数字逆序后的结果值。例如，给定数7631，函数返回1367. 输入： 第一行一个正整数T（T<=10），表示有T组测试数据; 以下T 行，每行一个非负的整数N。 输出： 共T行，对于每组输入数据输出一行，即数字逆序后的结果值。 样本输入： 3 7631 1018 5158 样本输出： 1367 8101 8515 1．人见人爱A+B 这个题目的A和B不是简单的整数，而是两个时间，A和B 都是由3个整数组成，分别表示时分秒，比如，假设A为34 45 56，就表示A所表示的时间是34小时 45分钟 56秒。 输入： 输入数据有多行组成，首先是一个整数N，表示测试实例的个数，然后是N行数据，每行有6个整数AH,AM,AS,BH,BM,BS，分别表示时间A和B所对应的时分秒。题目保证所有的数据合法。 输出： 对于每个测试实例，输出A+B，每个输出结果也是由时分秒3部分组成，同时也要满足时间的规则（即：分和秒的取值范围在0-59），每个输出占一行，并且所有的部分都可以用32位整数表示。 样本输入： 2 1 2 3 4 5 6 34 45 56 12 23 34 5 7 9 47 9 30 2．敲七 【问题描述】 输出7和7的倍数，还有包含7的数字例如（17，27，37...70，71，72，73...） 【要求】 【数据输入】一个整数N。(N不大于30000) 【数据输出】从小到大排列的不大于N的与7有关的数字，每行一个。 【样例输入】 20 【样例输出】 7 14 17 3．统计同成绩学生人数问题 【问题描述】 读入N名学生的成绩，将获得某一给定分数的学生人数输出。 【要求】 【数据输入】测试输入包含若干测试用例，每个测试用例的格式为 第1行：N 第2行：N名学生的成绩，相邻两数字用一个空格间隔。 第3行：给定分数 当读到N=0时输入结束。其中N不超过1000，成绩分数为（包含）0到100之间的一个整数。 【数据输出】对每个测试用例，将获得给定分数的学生人数输出。 【样例输出】 3 80 60 90 60 2 85 66 5 60 75 90 55 75 75 实验内容 一、实验内容 1)狼找兔子问题：一座山周围有n个洞，顺时针的编号为0,1,2,3,4，...，n-1,。 一只狼从0号洞开始，顺时针方向计数，每当经第m个洞时，就进洞找兔子。例如n=5，m=3，狼经过的洞依次为0, 3, 1, 4, 2, 0。输入m，n。试问兔子有没有幸存的机会？如果有应该藏在哪儿？ 问题分析：设置两个数组，一个数组用于循环，演示狼每次经过的洞，如果每个洞都被经过，则兔子没有幸存的机会。如果最后经过的洞的数目小于总的数目，则比较两个数组，数组中不同的值代表被狼经过的洞，相同的值代表兔子可以藏身的洞。本题使用C++编写。 实验代码： 运行结果： 2)有52张牌，使它们全部正面朝上。第一轮是从第2张开始，凡是2的倍数 位置上的牌翻成正面朝下，第二轮从第3张牌开始，凡是3的倍数的牌，正面朝上的翻成正面朝下，正面朝下的牌翻成正面朝上。第三轮从第4张牌开始，凡是4的倍数位置上的牌按上面相同的规则反转，以此类推，直到翻过的牌超过104张为止。统计最后有几张牌正面朝上，以及它们的位置号。 问题分析：设置一个数组，数组中每一个数的初始值都为1，当某张牌被翻转的时候，用0表示。每翻转一次，用一个变量count累计加1，然后检查变量的值，当count超过104的时候，跳出循环体。本题使用Java编写。 实验代码： 运行结果： 3)A,B,C,D,E5人为某次竞赛的前五名，他们在名次公布前猜名次。A说：B得第三名，C得第五名。 B说：D得第二名，E得第四名。 C说：B得第一名，E得第四名。 D说：C得第一名，B得第二名。 E说：D得第二名，A得第三名。 结果每个人都猜对了一般，实际名次是什么呢？ 问题分析：本题使用多重嵌套循环，ABCDE每个人可能获得的名次分别是1,2,3,4,5，分别使ABCDE遍历每一种可能，当每个人的两个预言只有一个为真时，循环结束。本题使用C++编写。 实验代码： 运行结果： 最优化理论与算法 基于matlab 的一维搜索——0.618试探法 2 m in ()21def f x x x =-- ， 初始区间11[,][1,1]a b =-,精度0.16L ≤ clc clear %设定初始值 L=0.16; k=1; b=1; a=-1; r=a+0.382*(b-a); u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); c=[]; while b-a>L if fr>fu a=r; b=b; r=u; u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); else a=a; b=u; u=r; r=a+0.382*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); end k=k+1; c=[c,[a,b,r,u,fr,fu]]; end k jieguo=reshape(c,6,k)’ s=[a,b] l=b-a jieguo = -1.0000 1.0000 -0.2360 0.2360 -0.6526 -1.1246 -0.2360 1.0000 0.2360 0.5278 -1.1246 -0.9706 -0.2360 0.5278 0.0558 0.2360 -1.0496 -1.1246 0.0558 0.5278 0.2360 0.3475 -1.1246 -1.1060 0.0558 0.3475 0.1672 0.2360 -1.1113 -1.1246 0.1672 0.3475 0.2360 0.2787 -1.1246 -1.1234 0.1672 0.2787 0.2098 0.2360 -1.1218 -1.1246 算法设计与分析 学号：120410101 姓名：陈颖萍 班级：1204101 日期：2014.01.01 实验题目1 1-1问题描述： 括号检验：输入一个代数表达式，表达式只能含有+，—，*，/,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0字符且每个数字均小于10，设表达式除括号外匹配有误外，再无其他错误。编写算法对输入的表达式进行检验，判断括号匹配是否正确。 正确的：错误的： 1+2+4 (1+)2 (1+2)+4 (1+2(4+3)) (1+2) (1+2+3*(4+5())) 1+2+3*(4+5)) 1-2问题分析： 编写算法对输入的表达式进行检测，判断括号匹配是否正确。如果对于输入的表示能按照正确的优先级将最终结果求出那么表达式肯定是正确的。而如果要求出最终结果，效率会低，那么对运算过程进行简化，按照所给的表达式推导出最终可以求出结果那么表达式肯定是正确的，括弧肯定匹配。 1-3策略选择： 采用蛮力法，从右向左处理表达式一旦出现错误的情况直接输出不匹配退出，否则继续进行处理直至表达式结束。用栈作为存储结构约定优先级。Stack S,OP; S存储运算符，OP存储参与运算的数字。遇到‘（’、数字，时直接压入相应的栈中，当遇到+、-、*、/操作符是先把栈S中的栈顶元素取出比较相应的优先级，若当前操作符的优先级低与栈顶的则进行一次运算。不断计算直至符合结束条件。 1-4模型： 采用信息数字化的方法，用栈作为存储结构约定优先级。Stack S,OP; S存储运算符，OP存储参与运算的数字。遇到‘（’、数字，时直接压入相应的栈中，当遇到+、-、*、/操作符是先把栈S中的栈顶元素取出比较相应的优先级，若当前操作符的优先级低与栈顶的则进行一次运算。由于问题要求的是单位数而进行相应的运算后可能会变成小数，或多位数，若对其进行处理会麻烦，则默认运算后结果是1，将以压入相应的栈中。若在运算过程中不能进行或不可操作则说明表达式不正确。 1-5时间及空间复杂度分析 1-6算法描述（流程图）： 1-7算法实现： 1-8测试及说明： 1-9总结 实验题目2 2-1问题描述： 某售货员要到若干城市去推销商品，已知个城市之间的路程（或旅费）。要选择一条从驻地出发，经过每一个城市一遍，最后回到驻地的路线，使总的路线最小。问题的解为从一个带权图中找到一个包含所有顶点的回路，且该回路的权值之和最小。用邻接矩阵存储图。 2-2问题分析： 该问题可以用邻接矩阵存储图，图的下标表示两个城市，图的权值表示两城市间的路程，此时的邻接矩阵是关于主对角线对称的。在此问题中要设定NoEdge =-1来表示当两个城市间无通路时邻接矩阵存储的值，方便在连接结点时进行判断。 第5章 一维搜索 §5.1 最优化算法的简单介绍 1．算法概念 在解非线性规划时，所用的计算方法，最常见的是迭代下降算法． 迭代：从一点) (k x 出发，按照某种规则A 求出后继点) 1(+k x ．用1+k 代替k ，重复以上 过程，产生点列}{) (k x 。 规则A 是在某个空间X 中点到点的映射，即对每一个X x k ∈) (，有点 X x A x k k ∈=+)() () 1(． 更一般地，把A 定义为点到集的映射，即对每个点X x k ∈) (，经A 作用，产生一个点 集X x A k ?)() (.任意选取一个点)() () 1(k k x A x ∈+，作为) (k x 的后继点． 定义1: 算法A 是定义在空间X 上的点到集映射，即对每一个点X x ∈，给定－个子集 X x A ?)(. 例1 考虑线性规划： 1 s.t. min 2 ≥x x 最优解1=x ．设计一个算法A 求出这个最优解． ??????? 无约束最优化问题可以定义解集合为 }0)(|{=?=Ωx f x 约束最优化问题可以定义解集合为 }T -K 为|{点x x =Ω 2. 算法收敛问题 设Ω为解集合，X X A →:是一个算法，集合X Y ?.若以任一初点Y x ∈) 1(开始， 算法产生的序列其任一收敛子序列的极限属于Ω，则称算法映射A 在Y 上收敛． 收敛速率: 定义2: 设序列}{) (k γ 收敛于* γ，定义满足 ∞<=--≤+∞ →βγ γ γ γp k k k * ) (*) 1(lim 的非负数p 的上确界为序列}{) (k γ 的收敛级． 若序列的收敛级为p ，就称序列是p 级收敛的． 若1=p 且1<β，则称序列是以收敛比β 线性收敛的． 若1>p 或者1=p 且0=β，则称序列是超线性收敛的． 例2 序列{}10 ,<算法设计与分析复习题目及答案 (3)
算法设计实验报告一(简单算法设计)
南京邮电大学算法设计实验报告——动态规划法
算法与设计实验报告
一维数组的常用算法源代码
算法设计与分析实验报告
常用一维搜索算法
西北工业大学算法设计实验2
算法设计综合实训题目
算法设计与分析实验1
基于matlab的一维搜索
算法设计与分析实验
第5章 一维搜索