九年级数学上册21.3.1实际问题与一元二次方程_传播问题新人教版
人，有
x+1
被 传 染 人
被 传 染 人
x
„„
„„ x
被 传 染 人
被 传 染 人
x
被 传 染 人
被 传 染 人
x
被传染人
被传染人
开始传染源
开始传染源
1
„„
……
„„
典例精析
例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，
经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮 感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后， 被感染的电脑会不会超过 7000 台？
随堂检测
4.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及
时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天 平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天 的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
随堂检测
解：设每天平均一个人传染了x人，
1+x+x(1+x)=9， 即（1+x）2=9.
知识要点
列一元二次方程解应用题时，要注意应用题的内在 数量关系，选择适当的条件列代数式，选择剩下的一个 关系列方程. 在解出方程后要注意检验结果符不符合题意或实际 情况，要把不符合实际情况的方程的根舍去.
课堂探究
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
1 x x+1） 人被传染． x（
第二轮的传染源有
解得 x1=-4 (舍去），x2=2.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187， (1+x)7= (1+2)7=2187. 答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187 人患甲型流感.
随堂检测
5.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间
都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀请x支球队参赛，由题意列方程得
x( x 1) 15, 2
化简为 解得 x1=-5 (舍去），x2=6. 答：应邀请6支球队参赛. x2-x=30，
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9. 4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，
被感染的电脑会超过 7000 台．
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片， 故总数不要除以2.
随堂检测
Hale Waihona Puke 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学 生，那么所列方程为（ D ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
本课小结
你能说说本节课所研究的“传播问题”的基 本特征 吗？解决此类问题的关键步骤是什么？ “传播问题”的基本特征是：以相同速度逐 轮传播． 解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播 中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
本课小结
步 骤
与列一元一次方程解决实际问 题基本相同.不同的地方是要 检验根的合理性.
想一想
如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
分析
第一轮传染后的人数 (1+x)1 第二轮传染后的 人数 (1+x)2 第三轮传染后的 人数
(1+x)3 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331人. 第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就 是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121 x1= 10 解方程,得 ,x2= -12 .
(不合题意,舍去)
10 答:平均一个人传染了________ 个人. 注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
人教版九年级上册数学
21.3.1实际问题与一元二次方程—传播问题
情境导入
一传十,
十传百… …
本节目标
• 1．能根据实际问题中的数量关系，正确列出一 元二次方程； 2．通过列方程解应用题体会一元二次方程在实 际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学 问题的过程，提高数学应用意识．
预习反馈
1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安 排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?（只列方程即可）
数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，
求原数. 解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数 表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)], 根据题意 列方程得 [10(5-x)+x] [10x+(5-x)]=736. 化简整理得 x2-5x+6=0， 解得 x1=3，x2=2. 所以这个两位数是32或23.
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传 播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量× （1+传播速度）=传播前的量× （1+传播 速度）2
列一元 二次方 程解应 题 类 型
传播问题
数字问题 握手问题 送照片问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出 原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行， 所以总数要除以2.
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又
长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73， 设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ A.1+x+x(1+x)=73 B B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73 ）
随堂检测
3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个
x( x 1) 解：设应邀x支球队参赛由题有： 15 2
2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应 邀请多少个球队参加比赛? （只列方程即可）
解：设应邀x支球队参赛由题有：x(x-1)=90
讲授新课
传播问题与一元二次方程
问题1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感, 每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分 析
21.3 第1课时 传播问题及增长率问题(含答案)-2021-2022学年九年级数学上(人教版)
2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题及增长率问题分点训练知识点1传播问题1. 禽流感是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有禽流感，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( C )A. 10只B. 11只C. 12只D. 13只2. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A. 12x(x－1)＝45 B.12x(x＋1)＝45C. x(x－1)2＝45D. x(x＋1)2＝453. 生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠182件.如果全组有x名同学，则所列方程为.4. 有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条信息，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信平均一个人向多少个人发送信息?知识点2增长率问题5. 某市多年举办“桃花节”，观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为20万人次，2021年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( )A. 20(1＋2x)＝28.8B. 28.8(1＋x)2＝20C. 20(1＋x)2＝28.8D. 20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.86. 某商品的售价为100元，连续两次降价x％后售价降低了36元，则x为( )A. 8B. 20C. 36D. 187. 某种药品原来售价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是.8. 随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社会养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加.该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个. 求该市这两年(从2018年底到2020年底)拥有的养老床位数的平均年增长率.知识点3数字问题9. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.强化提升10. 家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2020年底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知2018年底该市汽车拥有量为10万辆，设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得( )A. 10(1＋x)2＝16.9B. 10(1＋2x)＝16.9C. 10(1－x)2＝16.9D. 10(1－2x)＝16.911. 若两个连续整数的积是56，则它们的和为( )A. 11B. 15C. －15D. ±1512. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场个.13. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染几个人?(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染?14. 某生物实验室需培育一种有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌?15. 某蛋糕产销公司A品牌产销线2017年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2016年底就投入资金10.89万元，新增了B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求.B品牌产销线2017年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2018年A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2019年销售获利恰好等于当初的投入资金数.(1)求A品牌产销线2020年的销售量；(2)求B品牌产销线2018年平均每份获利增长的百分数.参考答案1. C 【解析】由题意可设每只病鸡传染健康鸡x只，得x＋1＋x(x＋1)＝169，整理得x2＋2x－168＝0，解得x1＝12，x2＝－14(舍去)，故选C.2. C【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∵共比赛场数为12x(x－1)，∵共比赛了45场，∵12x(x－1)＝45，故选A．3. x(x－1)＝182 【解析】由题意可得，x(x－1)＝182．4. 解：设平均一个人向x个人发送信息，则x＋x2＝90，∵x1＝9，x2＝－10(舍去). 则平均一个人向9个人发送短信.5. C 【解析】设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1＋x)2＝28.8，故选C．6. B 【解析】根据题意列方程得100×(1－x%)2＝100－36，解得x1＝20，x2＝180(不符合题意，舍去)．故选B．7. 10％【解析】设每次下降的百分率为x，依题意得100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)．故选B．8. 解：设该市这两年(从2018年底到2020年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 该市这两年拥有的养老床位数的平均增长率为20％.9. 解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(5－x)，依题意得(10x＋5－x)［10(5－x)＋x］＝736，解这个方程得x1＝2，x2＝3. 当x＝2时，5－x＝3；当x＝3时，5－x＝2，∵原来的两位数是23或32.10. A 【解析】设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程10(1＋x)2＝16.9，故选A．11. D 【解析】设这两个连续整数为x，x＋1．则x(x＋1)＝56，解得x1＝7或x2＝－8，则x＋1＝8或－7，则它们的和为±15，故选D．12. 5 【解析】设共有x个飞机场．x(x－1)＝10×2，解得x1＝5，x2＝－4(舍去)．13. 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64＝448(人)，则第三轮将又有448人被传染.14. 解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，由题意得60(1＋x)＋60x(1＋x)＝24000，60(1＋x)(1＋x)＝24000，解得x1＝19，x2＝－21(舍去)，∵x＝19.(2)由题意，得60×(1＋19)3＝480000(个).15. 解：(1)A品牌产销线2020年的销售量为9.5－(2020－2017)×0.5＝8(万份).(2)设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增的份数为k万份. 依题意可得9.50.5 1.811.41.8231()()()2210.89.()kk x⨯⎧⎨⎩－＋＋＝，＋＋＝解得0.65kx⎧⎨⎩＝，＝％或0.6105.kx⎧⎨⎩＝，＝－％∵x＞0，∵0.65kx⎧⎨⎩＝，＝％，∵2x＝10％，即B品牌产销线2018年平均每份获利增长的百分数为10％.。
21.3.1实际问题与一元二次方程1--传播,分支问题。。
21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）------传播，分支问题编制：校对：目标：经历用一元二次方程解决实际问题过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤；学生自主探究，会根据传播问题，分支问题中的数量关系列方程并求解，熟悉接替的具体步骤；通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准。
重点：利用一元二次方程解决传播问题，分支问题。
难点：如何理解传播问题和分支问题中的关系，找到数量关系。
典例精选例1：有一个人患了流感，经过两轮传播以后共有121人患了流感，每轮传播中平均一个人传染了几个人？【变式练习1】1.目前正是流感高发季节，各医院门诊外排满了因感冒发烧前来就诊的患者，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制，第三轮又将有多少人被传染?2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。
请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?3.有3个人患了流感，经过两轮传播以后共有363人患了流感，每轮传播中平均一个人传染了几个人？例2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出多少小分支?【变式练习2】1.有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发以后共有133人收到短消息，每轮转发中平均一个人转发给几个人？例3：在一次糖酒交易会上，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？【变式练习3】1.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是：_____________________.2.一个小组有若干人,新年互送贺年卡一张,已知全组共送贺年卡72张,则这个小组有( )A、12人B、18人C、9人D、10人3.已知一个多边形有9条对角线,则这个多边形的内角和是（）A、720°B、900°C、1080°D、1260°4.在一次足球比赛中，第一轮实行单循环赛制，在每场比赛中赢者计2分，负者计0分，如果平局，双方各计1分，现有4个同学统计了比赛后各队得分的总和，结果分别是550,551,552,553.经核实，只有一位同学统计无误，则这次比赛共有多少个队参加？习题精选1.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为_________人。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 第1课时 传播问题与一元二次方程
由题意得 x2＋（11－ x ）2＝85，
解得 x1＝2， x2＝9.
当 x ＝2时，两位数为92，
当 x ＝9 时，两位数为29.
答：这个两位数为92或29.
1
2
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4
5
谢谢观看
Thank you for watching!
第二十一章
一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
要点归纳
知识要点 传播问题
1. 传播、裂变问题：若有一个人患了流感，设每
轮传染 x 人， n 轮传染后患流感的总人数为（1＋x ）n .
2. 握手次数问题： x 位同学为表示友好，他们相
（−）
互握手，则握手次数为
A. （ x ＋1）2＝73
B. x ＋2 x ＋1＝73
C. x （ x ＋1）＝73
D. x2＋ x ＋1＝73
1
2
3
4
5
2. 教材P22习题T6变式某校九年级组织一次篮球比
赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则
该校九年级共有班级个数为（
A. 9
B. 10
C. 11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 12
C
）
3. 小明去参加聚会，每两人都互相赠送一件礼物，
；若他们彼此通
信，则信件的总件数为 x （ x －1） .
3. 比赛场次问题： x 支足球队进行比赛，若赛
制为双循环制（每两队之间都赛两场），比赛的总
场次为
x （ x －1）
；若赛制为单循环制（每两
21.3实际问题与一元二次方程(传播问题和增长率问题)教案
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生在实际情境中感受数学的应用价值，提高数学素养。
2.强化学生对方程思想的运用，通过传播问题和增长率问题的探究，培养学生建立数学模型、解决问题的能力。
3.培养学生的数据分析能力，让学生在处理实际数据时，能够运用一元二次方程进行分析、预测，从而为决策提供依据。
-对于求解方法，难点在于如何灵活运用不同的求解技巧，如在遇到复杂方程时如何选择合适的策略进行简化。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过人数随时间增长或减少的情况？”（如家庭成员、班级人数的变化等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题和增长率问题的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何从实际问题中抽象出一元二次方程模型，以及如何求解这些方程这两个重点。对于难点部分，我会通过具体案例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与传播问题或增长率相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。比如，通过模拟病毒传播的过程，观察和记录数据，进而建立方程模型。
21.3实际问题与一元二次方程（传播问题和增长率问题)教案
一、教学内容
本节课选自教材21.3节，主要探讨实际问题与一元二次方程的应用，特别是传播问题和增长率问题。具体内容包括：
1.传播问题：结合现实生活中的例子，如传染病传播、网络信息传播等，引导学生利用一元二次方程描述传播过程，求解相关参数。
人教版九年级数学上册21.3.1 实际问题与一元二次方程(1)传播与握手问题(共24张PPT)
5
知识点一：建立一元二次方程模型解决传播问题
新知探究
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染 x个人,开始有一个人
患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染给了x个人， 用代数式表示：①第一轮后共有 (1+x) 人患了流感； ②第二轮的传染中，这些人的每一个人又传染给了 x 人； ③第二轮传染后共有 1+x+x(1+x) 人患了流感.
飞机场. A.4 B.5 C.6 D.7
16
知识点二：建立一元二次方程模型解决握手问题
合作探究
先独立完成导学案互动探究2、3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
17
知识点三：建立一元二次方程模型解决数字问题
典例讲评
例2 有一共两位数，它的十位数字与各位数字之和是8.如果
把十位数字与个位数字对调，所得的两位数与原两位数的乘
赠送一件，全组共互赠了182件.如果设全组共有x名同学，则
根据题意列出的方程是( B )
A.x(x+1)=182
B.x(x﹣1)=182
C.x(x﹣1)=182×2
D.2x(x+1)=182
2、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一
条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有( B )个
学以致用
1.一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字的平
方刚好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 .
2.一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，且这个两位数等
于两个数位上的数字之积的2倍，设其十位数字为x，则下列
21.3.1 用一元二次方程解决传播问题-九年级数学上册教学课件(人教版)
讲
精 解：(1)设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
练
60+60x+60(1+x)x=24000
小 结
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
双
(2)三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
清
02
OPTION
目录
考点 1：病毒的“传播问题” 考点2：信息的“传播问题” 考点3：小结与双清
C.x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每
个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为( B )
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73
D.(1+x)2=73
课后训练
1
2
3
4
5
3.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式 传播,他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上, 再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后, 共有111个人参与了传播活动,则n=__1_0_.
精 (2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 讲 【分析】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x目 本轮结束有益菌总数
小 第一轮 60
60x
60(1+x)
结 第二轮 60(1+x)
60(1+x)x
2024年人教版九年级上册数学第21章一元二次方程第3节第1课时传播问题
+
+
第二轮分叉，枝干总数为_______________
+
+
+
第三轮分叉，枝干总数为_______________
总结：枝干问题与传播问题的区别是：
（传播问题中传染源会参与每一轮传播，而枝干问题中每一轮的
分支只能参与一轮）
小组讨论
否
现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？____________
所以按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1 500头.
例2 有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了
流感，求每轮传染中平均一人传染了多少人.
解：设每轮传染中平均一人传染了x人.
根据题意，得2+2x+x(2+2x)=288,
整理，得2(1+x)²=288,解得x₁=11,x₂=-13(不合题意，舍去),
二轮传染之后分别共有多少个人感染流感？ ( + )个； ( + ) 个
如果最初有个人患了流感，按照上述的传染模式，轮传染后
共有多少个人感染流感？
( + ) 个
如果最初有 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 个人，
那么轮传染后共有多少个人感染流感？ ( + ) 个
教师讲评
知识点2：传播问题(难点)
解决传播问题的关键需要找清楚两个量：
1.第一轮传播的传播源的数量a;
2.每一个传播源每轮传播的数量x.
数量关系：传播总量= (1 + ) .
教师讲评
知识点3：枝干问题(难点)
公式：总数=1 + + 2 +. . . + .
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
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例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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九年级数学上册 21.3.1 实际问题与一元二次方程—传播问题教案 (新版)新人教版
21.3.1 实际问题与一元二次方程（传播问题）一、教学目标1．能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；2．通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识二、课时安排1课时三、教学重点正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题．四、教学难点正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题．五、教学过程（一）导入新课教师以“传染病”的传播速度进行讲解分析导入新课：（二）讲授新课问题1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．(5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？（三）重难点精讲例 1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过7000 台．归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．（四）归纳小结：1.传播问题：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）22.数字问题：关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.3.握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.4.送照片问题甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.（五）随堂检测1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B. x(x+1)=1980C. x(x-1)=1980D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2 =73D.(1+x)2=733.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.4.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？5.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?答案：1.D2.B3.解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)], 根据题意列方程得[10(5-x)+x] [10x+(5-x)]=736 化简整理得x2-5x+6=0解得x1=3，x2=2所以这个两位数是32或23.4.解：设每天平均一个人传染了x人，1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9解得x1=-4 (舍去），x2=2.9(1+x)5=9(1+2)5=2187，(1+x)7= (1+2)7=2187答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.5. 解：设应邀请x支球队参赛，由题意列方程得(1)152x x -= 化简为x 2-x =30，解得x 1=-5 (舍去），x 2=6.答：应邀请6支球队参赛六．板书设计传播问题1.传播问题：第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量× （1+传播速度）2 2.数字问题：关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.3.握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.4.送照片问题甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.例题1：七、 作业布置习题21.3 P22 4、6题八、教学反思。
21.3+实际问题与一元二次方程第一课时传播问题-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同
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解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
于是可列方程： 1+x+x(1+x)=121
解方程得 x1=10， x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
新知探究
5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。 6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 多少人患流感？
思考：1.本题中有哪些数量关系？ 1人传染最后121人患了流感 2. 如何理解“两轮传染”？ 1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源； 这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
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3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮 传染中传染了__x___人；第一轮传染后，共有_1_+__x__人患了流感； 在第二轮传染中，传染源是_1_+__x__人，这些人中每一个人又传染了 __x___人，第二轮传染后，共有_x_(_1_+_x_)__人患流感.
填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有_6__个人 患了流感，第二轮过后共有__3_6_个人患了流感．
复习回顾
我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解 应用问题的步骤是怎样的吗？
审清题意
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验根
作答
新知探究
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？
谢谢观看
21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题
1个人
与（x-1）个人握手
每两人都握了一次手： 1 x(x 1) 次手