微积分 不定积分的概念及性质
不定积分的基本性质与计算方法
不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中非常重要的一个概念，其基本性质和计算方法对于理解和应用积分学都具有至关重要的作用。
本文将围绕不定积分的基本性质和计算方法展开探讨，旨在帮助读者对这一概念有更深入的理解。
1. 基本性质1.1 线性性质：不定积分具有线性运算的性质。
即对于任意常数a、b以及函数f(x)和g(x)，有以下的性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx1.2 累加性质：若在区间[a, b]上函数f(x)和g(x)的原函数存在，则有以下的性质：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx1.3 替换性质：不定积分中可以进行变量替换。
若有函数u=g(x)为可导函数，且f(x)在u的值域上连续，则有以下的性质：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du （其中，du=g'(x)dx）2. 基本计算方法2.1 使用基本积分表：基本积分表提供了一些常见函数的不定积分形式，通过查表可以快速计算积分。
例如：- 若函数f(x) = k，其中k为常数，则∫k dx = kx + C- 若函数f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （其中，C为常数）- 若函数f(x) = e^x，则∫e^x dx = e^x + C （其中，C为常数）2.2 利用换元法：对于一些复杂函数，可以通过变量替换来简化不定积分的计算过程。
常见的换元法包括：- 代数换元法：通过令u=g(x)进行变量替换，使得积分表达式变得更简单。
- 三角换元法：适用于含有三角函数的不定积分，通过三角函数的性质进行变量替换。
- 指数换元法：适用于含有以e为底的指数函数的不定积分，通过指数函数的性质进行变量替换。
2.3 利用分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题。
微积分(第五章)
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一 、 降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
二 、 转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
三 、 循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章 不定积分
§3 分部积分法
四 、 递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整 求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算 例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章 不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
微积分--不定积分
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第四节 几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称 为假分式.
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最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
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一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连 续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)． 又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
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例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3
( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2
高中数学知识点归纳不定积分基础知识
高中数学知识点归纳不定积分基础知识高中数学知识点归纳：不定积分基础知识在高中数学学科中，不定积分是一个重要的概念和工具。
它与定积分密切相关，并且在微积分学中具有广泛的应用。
本文将归纳和总结高中数学中关于不定积分的基础知识点，帮助学生们更好地理解和掌握这一概念。
一、不定积分的定义和性质不定积分是定积分的逆运算，它可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中f(x)为被积函数，F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数。
不定积分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 累次积分法：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx = F(x) + C。
3. 整体常数原则：不定积分无法确定具体的数值，只能确定一个函数族，因此在不定积分结果上需要添加一个常数C。
二、基本不定积分公式在高中数学中，有一些基本的不定积分公式经常被使用，它们是计算不定积分的重要工具。
下面列举几个常见的基本不定积分公式：1. ∫x^n d x = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1。
2. ∫cosx dx = sinx + C。
3. ∫sinx dx = -cosx + C。
4. ∫1/x dx = ln|x| + C，其中x不等于0。
5. ∫e^x dx = e^x + C。
三、换元积分法换元积分法是不定积分中常用的一种方法，通过变量代换来求解较复杂的积分。
其基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量来表示，从而简化积分过程。
换元积分法的步骤如下：1. 选取适当的换元变量，通常选择与被积函数中的某部分形式相同或相似的变量。
2. 计算出新的微元，并将原来的被积函数用新的变量表示。
3. 计算新的不定积分。
4. 将新的变量换回原来的自变量，得到最终的不定积分结果。
四、分部积分法分部积分法是求解一类积分的常用方法，它通过将不定积分转化为一个乘积的形式，从而简化求解过程。
不定积分及其应用
不定积分及其应用不定积分的概念及其应用一、不定积分的定义和性质不定积分是微积分学中的一个重要概念，它涉及到函数的不定积分运算，即求出原函数的过程。
不定积分的结果通常是一个函数族，这些函数的线性组合可以得到被积函数。
定义：设函数f(x)的导函数为f'(x)，若存在一个可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。
f(x)的不定积分定义为：∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。
性质：不定积分具有如下性质：1.积分常数C的任意性：不定积分的结果中总存在一个任意常数C，它可以任意取值。
2.积分结果的不唯一性：对于同一个函数f(x)，其不定积分的结果可能不唯一，但它们的差值总是等于一个常数。
3.线性性质：若∫f(x)dx=F(x)+C，则对于常数k，有∫kf(x)dx=kF(x)+C。
二、不定积分的计算方法不定积分的计算方法有多种，以下是几种常用的方法：1.凑微分法：通过将函数进行适当的变形，使其成为一个函数的微分的形式，从而利用求导法则计算不定积分。
2.换元法：通过引入新的变量，将函数进行适当的变形，使原函数的不定积分可以更容易地求解。
3.分部积分法：通过将两个函数进行乘积运算，然后将得到的函数进行求导，得到原函数的不定积分。
4.表格法：通过查阅积分表来得到某些函数的不定积分结果。
三、不定积分的几何意义不定积分在几何上具有以下意义：1.曲线下的面积：不定积分可以表示曲线下的面积，即对于一个非负函数f(x)，其不定积分∫f(x)dx在几何上表示曲线与x轴之间的面积。
2.函数的平均值：不定积分可以表示函数的平均值，即对于一个函数f(x)，其不定积分∫f(x)dx在几何上表示函数在区间[a, b]内的平均值。
四、不定积分的应用不定积分在许多领域都有广泛的应用，以下是几个方面的应用：1.物理应用：不定积分可以用于求解物理问题中的速度、加速度、功等物理量。
例如，通过不定积分可以求解匀速直线运动的速度和位移之间的关系。
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
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一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题
逆运算
• 运算是一种对应法则。
• 设A是一个非空集合，对于A中的任意两个元素a，
b，根据某种法则，使A中有唯一确定的元素c与它 们对应，我们就说这个法则是A中的一种运算。
所以 f (x)在 ( ,)内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
课后练习题：
P181 1 .(1 )( 2 )( 3 )( 4 )
• 给了A的任意两个元素a和b，通过所给的运算，可 以得到一个结果c。
• 反过来，如果已知元素c，以及元素a，b中的一个
，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法 则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的 逆运算。
• 如：加法与减法，乘法与除法，指数与对数。
• 微分与积分也互为逆运算。
运算与逆运算
cosxsinx
解:
12sin2 x dx.
12sin2x(cos2xsin2x)2sin2x
cosxsinx
cos2xsin2x
(coxssin x)dx
coxsdxsixndx
sixn co x C s
例 10 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交点 为(0,5)，求此曲线的方程.
ln a
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2 d x
51
x 5
2
1
C
2
7
x2
C.
7
2
根 据 积 (2)分 xd公 x x 式 1 1C
四、 不定积分的性质
(1 ) [f(x ) g (x )]d x f(x)d xg(x)d x;
证 Qf(x)dxg(x)dx f(x)d x g(x)d x f(x)g (x).
在区间I内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为 f ( x)在区间 I 内的
不 定 积 分 ， 记 为 f(x )d. x 求和：sum
f(x)d xF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
积 分 变
原 函 数
式量
任 意 常 数
1. 直接函数和反函数是一对概念；原函数和 导函数是一对概念，不可混淆。
决不能漏写积分常数C.
例1 求 x 5d x .
解 x6 x5, 6
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解 arcxta 1n 1x2,
1
1x2dxarctanxC .
例3 某商品的边际成本为 1002x, 求总成
本函数 C ( x) .
解 C (x)(1 0 02x )d x
幂 23 (?)
( ? )3 8
开方
?3 8
求导
x2 2
x
？运算
sinx coxs
? x ? co x
一、原函数与不定积分的概念
定定义义： 如 果 在 区 间 I内 ， 可 导 函 数 F(x)的 导函数为f(x)， 即 xI， 都 有 F (x)f(x) 或dF ( x) f ( x)dx， 那 么 函 数 F(x)就 称 为 f(x)
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 six ncoxs six n Ccoxs
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F (x)f(x)，则对于任意常数 C，
F (x ) C 都 是 f(x )的 原 函 数 .
（2）若 F(x)和G(x)都是 f (x) 的原函数， 则 F(x)G (x)C（ C为任意常数）
dx x1
1 2
1 cos2
x
dx1tanxC. 2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
化积分为代数和的积分
练习 求积分 tan2 xdx.
解: tan2 xdx. (se2xc1)dx
sec2x1tan2x
se2cxdxx
taxn xC
25
例9 求积分
12sin2 x dx.
解 Q dysec2xsinx, dx
y s e c 2 x s in x d x
ta x c n x o C ,s
y (0 ) 5 , C6, 所求曲线方程为 y ta x c nx o 6 .s
五、 小结
原函数的概念：F (x)f(x)
不定积分的概念：f(x)d xF (x)C
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
arctxalnnxC.
例7 求积分
1 2x2 x2 (1 x2
dx )
.
解
1 2x2 x2 (1 x2
dx )
1 x2 x2
x2
(1
x2
dx )
x12dx11x2dx
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 本 积
(1 ) k d x k x C(k 是常数); (2) xdx x 1 1C(1);
分 表
(3) dxxlnxC;
说明：
x0,
dx x
ln x C,
x 0 ,[l n x )] ( 1 (x) 1,
x
x
dxxln(x)C, dxxln| x|C,
d f ( x )dxf ( x )
dx
d[ f ( x )dx]f ( x )dx
F (x)d xF (x)C , d(F x)F (x)C .
例 x2dx x？2 d ln x ln？xc
四、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C.
1
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
2. 求已知函数的全体原函数或不定积分的运算 称为积分运算。 3. 已知原函数求导函数,用微分运算；已知导函数 求原函数，用积分运算。微分和积分是互逆的运算。
4. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数 的微分。 5. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函 数，或者其微分等于被积表达式的所有函数,因此
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf(x)dxk f(x)dx.
（ k是 常 数 ， k0)
例5
求积分
3 (1x2
2 )dx.
1x2
解
3 (1x2
2 )dx 1x2
311x2dx2
1 dx 1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
总 结 ： [ a f( x ) b g ( x ) ] d x a f(x )d x b g (x )d x
基本积分表（1）～（13） 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
思考题
1, x0 符号函数 f(x)sgnx0, x0
1, x0
在 ( ,)内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
xC, x 0
假设有原函数 F(x) F(x) C,
x0
xC, x 0
但 F (x )在 x 0 处 不 可 微 ， 故假设错误
称为定积分的线性性质。
基本积分公式
练习 求积分
(1
x)2 x2
d
x.
xdx x1 C
1
Hale Waihona Puke 解 不能直接利用积分公式，需先1d变x形ln| x| C x
原式1＝ 2xx2＋x2dx
12
(x2
1)dx x
x 2d x2x 1d xdx
2ln|x|xC x
20
例6 求积分
1 x x2
证 F ( x ) G ( x ) F ( x ) G ( x )
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （C为任意常数）
说 明 F x c 是 fx 的 全 部 原 函 数 .
函数的全体原函数等于它的某个原函数 加上一个任意常数！
定义 不定积分(indefinite integral)的定义：
1arctxa C n. x
练习 求积分
2 x2 x2 (1 x2
dx. )
解:
2 x2
x2 (1
x2
dx )
2(x12(1x2)x2)x2dx
2 x2
11x2
dx
2 x2
dx
1 1x2
dx
2arctaxnC. x
例8 求积分 1co1s2x dx.
解
1
1 cos
2x
dx
12co1s2
(4) 11x2dxarcxtaC;n
(5)
1 dxarcxsC i;n 1x2
(6) cosxdxsix nC;
(7) sinxdxcox sC ;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdxtaxn C;
(9)
dx sin2 x
csc2
xdxco x tC ;
(1 0 ) secxta nx d xsexcC; (1 1 ) cscxco tx d x csx cC ; (12) exdxex C; (13) axdxa x C ;
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数.( primitive function )