2001.C题基金使用计划

2001年全国大学生数学建模竞赛大专组贾玉昌苗玉东张宁基金使用计划问题基金使用计划一题目简介某单位基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

单位基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀职工，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

单位基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助单位基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1. 只存款不购国库券；2. 可存款也可购国库券。

3．单位在基金到位后的第八（2010年）年要举行50年庆祝，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

存款种类活期3个月6个月一年二年三年五年年利率%0.721.711.891.982.252.522.79额外条件1 实际收益利益为公布利率的80%，20%为利息税上交国库2 国库券具有2年，3年，5年的三种，其存款利率与周期的定期存款利率相同，但不交利息税。

要求1 问题的提出最佳基金使用计划模型摘要：运用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n年．这样，对前面的（n－1）年，第i年终时M1到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第n年，则用除去M元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使用方案问题．关键词：超限归纳法；排除定理；仓恩定理1问题简介基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，欲将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见表1．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．校基金会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．需帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M＝5 000万元，n＝10年给出具体结果：①只存款不购国库券；②可存款也可购国库券．③学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20％．2模型的分析、假设与建立2．1模型假设①每年发放的奖金额相同；②取款按现行银行政策；③不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响；④基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放；⑤国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费；⑥到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券．2．2符号约定K——发放的奖金数；ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；Mi——支付第i年奖金，第1年开始所存的数额（i＝1，2，…，10）；U——半年活期的年利率；2．3模型的建立和求解2．3．1情况一：只存款不购国库券（1）分析令：支付各年奖金和本金存款方案———Mij（i＝1，…，10，i；j属于N）．根据排队定理：一个集一定可以依一个次序排除．∴A中每行必存在上界，∵A中存在一个极大组合．M万元基金存入银行后，每年又拿出相同数额的本息奖励优秀师生，因为最后剩余的金额等于原来的本金，所以用这种发放的奖金总数可以看作是n年中各种利息的总和．将基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存1年，M2存2年，…，Mn存n年，对前面的（n－1）年，第i年的次年年初Mi到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第10年，则用除去M元后所剩下的钱作为第n年的奖金发放．一般的模型：关键在于如何计算每一个Ri．基金在年初到位，而学校当年的奖学金一般在次年年初发放．因此，选择存活期或不可能使得到的利息最大．要尽可能提高奖金额，应选择存定期．在定期的选择上，应把尽可能多的钱存到定期长的储种上去；同时由于储种有限（只有半年、1、2、3、5年定期），这就需要对某些储种进行组合优化．即应尽可能地利用年份多的储种（如能用3年的决不用2年定期），对于M1，为了支付第一年的奖金，显然是存1年期拿到本金和利息最高，余者显然亦如此．对于特定年份的定期存款采用现有的储蓄种类的组合（如4年定期采用3年定期和1年定期组合等），要使所得的利息最大，对于该结论的说明如下所述．存4年定期时的有2种方案：N为任意存款），显然，3年定期和一年定期组合最优．同理，通过计算各种组合，Mi得最大利息的存储方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分别表示定期存的年数）．从表中可以得出以下结论：①这是一个以5年为周期的方案组合，从第6年开始相当于对应的年份再加上一个5年定期，所得的存储方案最为合理．②采用超限归纳法的推论，可将模型论推广到n年，则可得到如下的结论．对于一个以m年为周期的方案组合，可以从第m＋1年开始，在相应的年份上再加上一个m年定期，此时所得的方案最为合理．（2）每1个Mi经过i年后得到的本金和利息，可用于支付奖金，下面可用反证法加以证明．证明：假设有另外一种方案使K1＞K，则显然存在某个n年期的存款到期后所得的总额R，可满足R－K1＞0（因为在我们的计算方式下，R＝K，即刚好用完）．则需要将R－K1转存入下一个存款．而按照前面我们得出的结论，要使所得的利息最大，则应尽可能地利用年份多的储种．可推断，由此所得的利息要比一开始就将R－K1存一个更长时间的定期要少．与假设相矛盾．所以上述方式使得每年获得的奖金额度最大．（3）求解：根据以上的讨论，可以建立以下的方程组：其中ri是i年期的存储的一个增长系数由MATLAB编程的线性优化函数LP（Linear Program－ming），可得K＝109．800 0（万元）这样，我们就可以通过把分成这10份，前9份刚好付当年的奖金，第10份刚好满足奖金和原有的基金，并得到了最优化的解（见表3）．2．3．2情况二：可存款也可购国库券我们对情形二外加了一个购买国库券的方式．同样把M分成M1，M2，…，Mn；存n年；且n 年终将本金和利息一起取出来作为奖金发放，在外加购买国库券后，对Mn达到最大本金和利息有更多的组合及考虑因素．因为国库券发行时间任意，且银行结算与发放奖金均在年终，因此得到购券基金并不能马上购券，需先存银行，国库券到期也不能马上作为奖金发掉，也需存银行．因经购买一次国库券，必定耽误一年的时间使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明显高于活期，又不影响对奖金的发放，所以这一年一定存1个半年定期和半年的活期。

由于国库券发行时间不定，一年中任何一天发行都是可能，这就涉及到数学期望的问题。

可以把一年的分为360天，如果国库券发行在上半年的第n天，则n天到期后的本金和利息为（0.792%×n>180),这笔钱要分半年定期和活期是最优化的.先不考虑定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是[0.792%×(180-n)/360+1]m,那么这笔钱有半年里的本金和利息为[0.792%×(180-n)/360+1]×u=0.00396由上节(2)已证了Mi经过i年的本金和利率,刚好放奖金时最优,现在讨论Mi在i年中存银行或购买国库券,或两者都有,以不同组合的所得到的利息的高低来取最优的组合.我们对每年Mi的组合都进行分析(见表4),对于M1,M2不能考虑国库券,两年内尚不可支取用于支付奖金.对于M3根据情形可得出要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种这样一个结论.从表4可知,最优的方案如表达所示.根据以上的讨论,可以建立以下的方程组:ro/2)(1+u)=k与上题同法,用线优化函数(lp)就解得:k=127.5(万元)按照表6所述的对Mi各组达到最优化分配，并保证了所发放的奖金k达到最优值．2．3．3学校基金到位后的第三年的奖金比其他年度多20％要使得基金到位后第3年的奖金比其他年度多20％，问题3与问题1和问题2的情形类同．可分为只存银行与既存银行又买国库券两种情形．将情形一的（3）式改成其余保持不变．得最优解，K＝107．53（万元）其本金收益计算于见表7．将情形二的（3）式改成M3×（1＋r3）＝1．2×K；其余保持不变．得最优解：K＝124．8（万元）其本金收益见表8．3模型的分析和改进情形一，我们利用超限归纳法及其推论，对结论2给出了一个完整的说明，从而对下述定理的证明及推广也起了很大的作用，该方法使得数学模型大为简化．但情形一中，我们所考虑的是大大简化了的模型，要考虑各方面因素，不会影响该模型，我们只需对原方程中加入一些参数，思路不变．例如：不假设学校一年发两次奖金．对于该题，我们需要考虑存半年期的情况，这也就是与前面最大的不同之处．情形二，前面用有限枚举法，通过与情况一的比较确定更优值，其思想方法简单易行，但计算太复杂．可以利用集论中的仓恩定理对该模型求出一个上限或下限．上限，即国库券随时可购，可用情况一的求解方法，直接求解，然后由仓恩定理可得出必定存在极大元素，再对各种可能的情况进行分析，计算，从中选出极大值，这就是我们所要求的最优方案．下限，就是考虑到想买买不到的情况．如存9年期的M9，假如第一年国库券发行时间是9月份，买了一个5年期的．那就是到第5年的9月份才能取出来，但第5年的国库券发行时间可能在9月份之前，也就是只有到下一个才能买到．这就有一个最坏的情况，可以求出问题的一个下限．同时我们也要考虑到求每个Mi的增长率时，不能单独考虑．如：对于存9年期的M9如果考虑对M6买一个五年期的国库券时把发行时间定在第一个季度，那么对M9先买5年期的国库券也要在第一个季度．4结语这一思想的理论基础是《序数》中所用的“排队定理”和“仓恩定量”．对第一问，通过计算我们得到最优的将基金的本金（加上去）作为奖金发放，同时我们用超限归纳法及其推论，可以证明这样的方案是最优的．而且，对于实际操作，我们给出了一个以5年为周期的规律，便于推广．对于第二问，推广了前面一种情形的思路，增加了购买国库券，其实质就是对这Mi经过i年存款和购买国库券得到的本金和利息最高．对于第三问，我们分只存款不购买国库券和购买国库券两种情况分别给出了结果．参考文献：［1］大学生数学建模竞赛辅导教材［M］．长沙：湖南教育出版社．［2］王丙武．实用教程［M］．北京：中国水利水电出版社．［3］北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组．代数续论［M］．北京：北京大学出版社．附：。