巧用恢复系数解决碰撞问题
巧用恢复系数解决碰撞中的变量问题
问题的提出：在高中动量章节中，我们学习了碰撞这一常见的物理问题，但针对这一问题我们只学习了弹性碰撞的处理，那么对于非弹性碰撞呢？
请看下面这一道例题：
小球A 质量M1以速度V10碰撞速度为V20的小球B 质量M2，若发生弹性碰撞则球A 的速度变为V1’球B 的速度变为V2’，若发生非弹性碰撞则速度变为V1”和V2”，试比较V1’与V1”，V2’与V2”的大小关系？
问题的分析：对于这一问题结合我们所学过的知识，碰撞的小球满足动量守恒和能量守恒，对于弹性碰撞有：
M1×V1+M2×V2=M1×V1’+M2×V2’ ①
1/2×M1×V12+1/2×M2×V22=1/2×M1×V1’2+1/2×M2×V2’2 ②
对于非弹性碰撞有：
M1×V1+M2×V2=M1×V1”+M2×V2” ③
1/2×M1×V12+1/2×M2×V22=1/2×M1×V1”2+1/2×M2×V2”2+ΔE ④ 对于第一个方程组我们经过繁琐的步骤可以解出
但对于第二个方程组由于其中含有ΔE 因此解出的表达式会十分复杂，这就要求我们换一种更简便的思路
问题的解决：下面介绍恢复系数
恢复系数e=(V1—V2)/(V2’—V1’) ⑤，是反映碰撞时物体变形恢复能力的参数。恢复系数e 是一个介于0和1之间的数字，当e=0时，发生完全非弹性碰撞，当0
因此由式子①和⑤通过一次简单的消元可得
由这个运算结果很容易就可以看出V1’随着e 的增加而减小,V2’随着e 的增加而增加， 故V1’
问题的拓展：用恢复系数和动量守恒我们可以解出碰撞后的速度V ’，同样结合能量守恒也可以很容易得到 ,若设碰撞的持续时 间为t ，同样可以求出平均作用力
根据这两个式子，我们很容易可以证明柯尼希定理即完全非弹性碰撞的动能损失最大，以及平均相互作用力最大似的条件。
当然，引文中的问题我们也可以用极限法得出答案，但方法定性不定量，在此就不过多赘述了。
有上文可见，恢复系数在解决一些碰撞中的变量问题有自己独到而简便的一面，其方程不仅更容易解出答案，并且答案工整，希望大家好好掌握这一方法技巧。
至于别的一些结论由于我所学不精，就只好请读者自己体会了。 2
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用待定系数法求函数的解析式教案
运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标： 1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤; 2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法; 3.通过自主、合作学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 教学重点：用待定系数法求函数的解析式 教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式 教学设计： 一、基础扫描 1．已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1)，则k=__________． 2．已知反比例函数 k y x =的图象经过（1，－2）．则k=__． 3．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.求经过A、B、C三点的抛物线的解析式. 4．抛物线的顶点为（-2，-3），且过点（0，-7），求该抛物线的解析式． 问题1：结合上述四题，说说何为待定系数法？（板书课题） 问题2：谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤. 二、课内探究 活动一：一次函数的解析式的确定 1．与直线y=x平行，并且经过点P（1,2）的一次函数解析式为_________. 2．如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上. (1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02 y ≤≤时,自变量x的 取值范围； (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段 BC.若直线BC的函数解析式为y kx b =+, 则y随x的增大而(填“增大”或“减小”). 活动二：反比例函数解析式的确定 1．如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（） A． 2 y x =B． 2 y x =-C． 1 2 y x =D． 1 2 y x =-
中考专题待定系数法应用
知b 的值”，解答此题，只需设定==k，则a=3k，b=2k，代入即可求解。这 ( “· ； ， 中考专题之：待定系数法 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数或参数)来表示 这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：已知x2-3=（1-A）x2 ＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例 函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已2a-b b2a-b =，求 a3a+b a3a+b 里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组） （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过中考的实例探讨其应用。 一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组）解出方程（组）即可求得答案。 典型例题： 例：若x2+6x+k是完全平方式，则k=【】 A．9B．－9C．±9D．±3 练习题： 1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】 A．64B．48C．32D．16
专题用待定系数法求二次函数的解析式
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
各材料的恢复系数
各材料的恢复系数计算值 Metals and Ceramics:Predicted COR, e Silicon硅 1.79 Alumina 氧化铝0.45 to 1.63 silicon nitride 氮化硅0.38 to 1.63 silicon carbide 碳化硅0.47 to 1.31 highest amorphous metal 最高的非晶态金属1.27 tungsten carbide 碳化钨0.73 to 1.13 stainless steel 不锈钢0.63 to 0.93 magnesium alloys 镁合金0.5 to 0.89 titanium alloy grade 5 5级钛合金0.84 aluminum alloy 7075-T6 铝合金 7075-T60.75 glass (soda-lime) 玻璃碱石灰0.69 glass (borosilicate) 玻璃硼硅酸盐0.66 nickel alloys 镍合金0.15 to 0.70 zinc alloys 锌合金0.21 to 0.62 cast iron 铸铁0.3 to 0.6 copper alloys 铜合金0.15 to 0.55 titanium grade 2 2级钛0.46 Tungsten 钨0.37 aluminum alloys 3003 6061, 7075-0 铝合金0.35 Zinc 锌0.21 Nickel 镍0.15 Copper 铜0.15 Aluminum 铝0.1 Lead 铅0.08 塑料和橡胶不是理想材料，会高于实际值。以下仅供参考。 ?高分子材料： ?聚丁二烯(高尔夫球壳) 11.8 ?丁基橡胶6.24 ?EVA 4.85 ?弹性聚硅酮类2.80 ?聚碳酸酯1.46 ?尼龙1.28
高中数学解题思路大全：用待定系数法求三角函数最值
用待定系数法求三角函数最值 武增明 用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。 例1. 设x ∈（0，π），求函数x sin 22x sin y +=的最小值。 分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。 因为 sinx ＞0， 所以2x sin 22x sin 2x sin 22x sin y =?≥+=。故y min =2。 显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由 x sin 22x sin =得sinx=2，这样的x 不存在，故为错解。 事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这 个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使x sin 2x sin 2x sin y λ-+λ+=。由均值不等式及正弦函数的有界性，得λ-+λ≥λ-+λ?≥22x sin 2x sin 2x sin 2y 。 当且仅当x sin 2x sin λ=且sinx=1，即λ=21时，上式等号成立。将λ=21代入，得y min =2 5。 另解：y=)x sin 4x (sin 21+。 令sinx=t(0＜t ≤1＝，易证)t 4t (21y +=在（0，1]上单调递减，所以25)141(21y min =+=。 例2. 当x ∈(0，2π)时，求函数x cos 2x sin 36y +=的最小值。 分析：因为x ∈(0， 2 π)，所以sinx ＞0，cosx ＞0，引入大于零的待定系数k ，则函数x cos 2x sin 36y +=可变形为x cos 1x cos 1x sin k x sin 33x sin 33y 2++++=+kcos 2x －k ≥
EDEM常见问题
89. Q: 为什么把弹性模量设为较小值后，颗粒能从容器中穿过？ A: 剪切模量太小就没有足够大的力来挡着颗粒。 64. Q: 参数设置中的泊松比和剪切模量指的是单颗粒的还是料堆的呢？ A: 是颗粒实际的，而非料堆。 62. Q: 小颗粒替换大颗粒后立即炸开，并且小颗粒大量被移除是什么问题？ A: 替换后炸开请看一下粘结系数设置了没有，是不是没有设置参数；再有一个原因 就是所用的颗粒团在导出各颗粒坐标的时候颗粒是否稳定，如没稳定（如颗粒之间的力 很大，速度很大）即使是设置了粘结力，也会出现这种情况的，关于颗粒消失原因有两个，看一下步长和网格大小。 工作设备粉尘污染严重、设备强度不够、设备易磨损、管道易堵塞、物料破碎率高、皮带机撒料及跑偏、输送线路复杂、设备非优参数工作等。而目前中小企业大多管理粗放，注重产值而忽略精细化管理及优化生产，生产中对员工身体健康造成的伤害（粉尘污染）、设备损坏及能源浪费都不容小觑。 我在做煤炭破碎方面的仿真，使用2mm的颗粒粘结替换13mm的颗粒，请问如何获得2mm 颗粒之间的粘结参数呢，主要是指切向模量、法向弹性模量、切向最大应力、法向最大应力等5个参数呢？ EDEM中需要的材料物性参数大致可分为三类： 1)、材料本征参数：泊松比、剪切模量和密度。这是材料自身的特性参数，和外界无关，通常来说能比较固定，可以从一些物性手册或文献中查到，也有比较成熟的实验方法可以测得。 2)、材料基本接触参数：碰撞恢复系数、静摩擦系数和滚动摩擦系数。这是两个物体发生接触时才会起作用的物性参数，和发生接触的两个物体都有关系。这三个参数变化非常大，比方说不同抛光度的钢球其摩擦系数会有很大的不同，因此无法做成物性手册或数据库的形式供查阅。通常都需要采用实验测定或“虚拟实验”标定。 3)、接触模型参数。某些特殊的接触模型还会需要额外的模型参数，如JKR Cohesion和Linear Cohesion需要一个“能量密度”来表征颗粒接触的粘性，Bonding模型需要五个额外参数以描述颗粒间粘结键的作用等等。这些参数由于是模型化的，很难与实际的物料特性（如物料湿度）直接换算，通常必须采用“虚拟实验”标定。 “虚拟实验”标定又叫“参数匹配”，是离散元研究中确定物料参数常用的方法，其主要原因就是离散元算法需要的参数非常模型化，很难直接获取。其做法就是模拟一些基本的物料参数实验，如堆积角、料仓卸料等，通过不断的调整离散元参数，使模拟出来的物料堆积角、卸料质量流率等与真实情况相一致，则认为该参数值是符合实际情况的。还有如Bonding模型中的参数，可以模拟三轴应力实验、十字板剪切实验等，当模拟获得的应力应变参数与真实实验获得的参数相一致，也就可以认为参数是准确的。 十年行业经验，希望能帮到你。
待定系数法分解因式(附答案)
待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
中考数学待定系数法解题技巧
中考数学 待定系数法 知识梳理 对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法． 使用待定系数法解题的一般步骤是： (1)确定所求问题含待定系数的解析式； (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 初中数学中，待定系数法主要用途如下： 典型例题 一、在求函数解析式中的运用 这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x =，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数． 【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式． 【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ． 【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式． 【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x = + (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式． 【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0)
碰撞实验实验报告数据记录
实验目的：研究弹性球与地面的碰撞过程，测量小球的入射速度和反弹速度，计算每次碰撞的恢复系数；了解智能手机内置传感器及相关软件的使用方法；学习基本的数据处理分析方法 实验仪器材料：米尺、乒乓球、带有Phyphox软件的手机、木质桌面、水泥地面 实验方案设计： <思路> 球与地板每次碰撞都伴随有声音发出，通过“听音”可测量碰撞的时间间隔，即球的飞行时间，忽略空气阻力影响，由此计算出每次碰撞的入射速度和反弹速度，求出每次碰撞时的恢复系数参考时，麻烦注意数据和格式的替换。 实验过程： <实验步骤> 1.打开Phyphox软件，使用计时器下的声学秒表中的多任务，连续记录碰撞的时间间隔 2.将乒乓球置于离木质桌面32cm的高度，无初速度地垂直落下 3.待五次结果记录完毕后，结束该部分实验 4.将桌面换成水泥地面，重复上述步骤 参考时，麻烦注意数据和格式的替换，楼主也是学生党，这是我自己的实验报告 <出现的问题及解决方法> 问题：乒乓球不断落下的过程中，落点会有偏移，声音难以采集
完全；办法：适当降低初始位置的高度，减少其处于空中的时间。 数据分析处理： <数据记录> 撞击次数 1 2 3 4 5 平均桌面落下间隔时间（s ）0.436 0.376 0.335 0.295 0.262 平均地面落下间隔时间（s ）0.448 0.409 0.377 0.347 0.320 <计算过程及结果> 根据公式v n =g ?T n 2 ，可得计算小球每次反弹时的入射速度和反弹速度，如下表所示，其中第 0次落下的速度为乒乓球自由落体时的速度 反弹次数 0 1 2 3 4 5 木质桌面入射速度（m/s ）2.43 2.13 1.84 1.64 1.45 1.28 反弹速度（m/s ） 2.13 1.84 1.64 1.45 1.28 未知水泥地面 入射速度（m/s ）2.43 2.20 2.00 1.85 1.70 1.57 反弹速度（m/s ）
玉米颗粒与钢板间滚动摩擦系数对颗粒堆内接触力影响研究
玉米颗粒与钢板间滚动摩擦系数对颗粒堆内接触力影响研究玉米颗粒的力学特性参数是玉米加工机械设计和分析的基础数据,目前难以直接通过物理试验的方法得到不规则玉米颗粒滚动摩擦系数的准确值,而其参数的准确性直接影响分析结果的真实性和有效性。本文采用数值模拟结合物理试验的方法探究颗粒在自由堆积过程中,不同形状玉米颗粒与镀锌钢板间滚动摩擦系数对颗粒堆接触力分布的影响,主要研究内容如下:1)测定了吉单92玉米颗粒的含水率、密度和外形尺寸,并按颗粒的外形尺寸将玉米颗粒分为三类:球形玉米颗粒、锥形玉米颗粒和矩形玉米颗粒。 2)利用自行搭建的农业颗粒物料接触参数测试平台,测定颗粒间以及颗粒与镀锌钢板间静摩擦系数和碰撞恢复系数,其结果表明玉米颗粒间的静摩擦系数和碰撞恢复系数均小于玉米颗粒与镀锌钢板间相应接触参数,其中球形玉米颗粒间静摩擦系数最小(其值为0.251),矩形玉米颗粒间碰撞恢复系数最小(其值为 0.392)。3)以滚动摩擦系数为因素,以物理堆积试验测得的休止角(通过图像处理技术获得)为指标,基于黄金分割法运用EDEM进行模拟颗粒堆积试验,缩小颗粒间及颗粒与镀锌钢板间滚动摩擦系数范围,并建立滚动摩擦系数与休止角的关系方程,对三种形状颗粒间以及颗粒与镀锌钢板间滚动摩擦系数进行标定,确定玉米颗粒形状越不规则其滚动摩擦系数越大,其中锥形玉米颗粒间滚动摩擦系数最大(其值为0.1035),并通过物理试验对比验证标定值准确。 4)在上述研究基础上,利用EDEM离散元软件,对三种形状玉米颗粒混合物在镀锌钢板上堆积过程进行了模拟单因素试验,分析了三种形状玉米颗粒与镀锌钢板间滚动摩擦系数对颗粒堆内接触力及分布的影响。试验结果表明随滚动摩擦系数的增加,颗粒与基底法向和切向接触力平均值均先增加后逐渐趋于定值(0.005
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式．
工程设计中调节阀压力恢复系数FL的应用分析
工程设计中调节阀压力恢复系数FL的应用分析 1、引言 在工程设计中，经常需要对调节阀进行选型与计算，以达到稳定控制的目的。但调节阀选型与计算时对F L的考虑较困难。本文除对F L的一般规律作分析，同时通过实例，对可能出现阻塞流工况，如何深入考虑F L作出分析。 2、阻塞流的产生 在流量系数Cv的计算公式中，阀前压力P1，阀后压力P2的取压位置及流体通过调节阀的压力降变化情况如图1所示。 图1 阀内的压力恢复特性 阀上压降为ΔP=P1-P2。按能量守恒定律，在流体缩脉处的流速最大而压力最低，即压力降最大，称为ΔP vc。缩流处后流体流速又减小，直至P2处大部分静压得到恢复，此时压力降为ΔP。 当介质是液体，在压差足够大时，部份液体在该操作温度下汽化，即发生了闪蒸。液体
中夹带了蒸汽，产生了二相流，液体不再是不可压缩的，这时即使再增加压差，流量也不再增加，这种极限流量现象称为液体阻塞流。 3、F L的具体分析 3.1 F L的定义 F L=S qt（ΔP/ΔP vc）=S qt（P1-P2）/（P1-P vc）（1） 3.2 F L的意义 F L是一个实验数据，表明了调节阀在液体通过后动能转变为静压能的恢复能力（见图1），也表明了液体产生阻塞流的临界条件，故F L又称为临界流量系数。提出F L的目的，在于判断液体通过调节阀时是否产生隆塞流，并用于计算调节阀的最大允许压差。 3.3 阻塞流的判断 理论上用与的大小关系来判断是否产生阻塞流，但在工程计算时用压差大小来判断。图2表明了通过阀门的流量与压差的关系。 图2 流量与压差的关系 最大允许压差定义为ΔPc：
ΔPc = F L2＊ΔPvc=F L2＊（P1-F F P v）（2） P v：操作温度下的液体饱和蒸汽压 F F：液体临界压力比系数 3.4 决定阻塞流的因素 从公式2来看，一旦操作工况决定，最大允许压差ΔPc与F L有关系。阻塞流的产生与通过调节阀流量的大小，调节阀口径没有关系。 4、F L值的一般规律 4.1F L值的大小与调节阀的结构形式、流向、开度有关。一般情况下，制造厂提供的F L 值是指调节阀全开下的数值。 4.2几何结构完全相同的调节阀F L值相同，并与口径无关。同一类型的调节阀由于各制造厂的结构略有不同，故F L也有差别。 4.3国际知名的制造厂提供了各系列调节阀的F L值，国内也有推荐值。详见表1，表2。 表1 Masoneilan 偏心旋转阀 表2 国产调节阀F L的推荐值
02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()() 4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】 试题分析：
碰撞动力学模型综述
碰撞动力学模型综述 摘要：本文目的是展现撞击分析的总体回顾和此领域内的一些重要方法。 1 撞击理论的模型 含动能约束的多体系统的动态分析是已经完善的力学分支。为了建立数学模型，物体都被假设成为刚性，且铰接处认为不含间隙。 撞击问题吸引着从天体物理学到机器人学等不同学科领域学者的注意力。他们的共同目标是发展能够预测撞击物行为的理论。本文主要集中于与刚体有关的撞击模型。 撞击理论的演化主要含有四个方面：经典力学、弹性应力波传播、接触力学和塑性 变形。不同的撞击理论适用于不同撞击特性（速度和材料性质）、假设和相关结论。 1）经典力学 包含应用基本力学定理来预测撞击后的速度。脉冲－动量定理构成这种方法的核心。Goldsmith 在著作[1] 中用了一章的篇幅介绍了这种方法在几个问题中的应用。Brach[2] 在模拟几个具有实用价值的问题时一律采用了此法。这种方法具有简便和易于实现的特点。实际问题中的能量损失是通过恢复系数实现的。然而，此法不能预报物体之间的接触力和物体的应力。 2）弹性应力波传播 撞击通过以撞击点为起点，应力波在撞击物之间的传播描述。总能量中的一部分转化为振动，这样，经典理论就无法验证这种理论。Goldsmith 把这种方法应用于如下问题中：两杆的纵向碰撞、质点和杆碰撞、粘弹性对碰撞的影响等。Zukas 等[3] 也广泛地应用了这一方法。波传播法用来研究细长杆的纵向碰撞问题。近年文献[4,5] 使用符合运 算软件给出两类典型问题：质点杆撞击和杆撞击地面问题的符合表达式解。文献研究了[6]平面波在含空洞材料中的传播与考虑径向剪力和惯性力时波在圆柱形杆中传播具有模拟关系。文献[7] 于不对称粘弹性杆在频域的波传播解，给出了理论和实验分析。 （3）接触力学 两个物体撞击产生的接触应力是碰撞研究中的另一个研究热点。常规接触力学主要与静态接触有关，尽管此法在涉及撞击时已经延伸至近似解。对于球形接触面，Hertz 理论常被用于撞击关系的获得，从而计算撞击时间和最大变形。此方法还被用于含塑性变形的情况。通常假设材料有一个屈服点。当Hertz 理论不适用时，也可使用屈服区模型。撞击力变形关系常通过增加一个阻尼项来反映接触区域的能量耗散，从而允许把接触区作为一个弹簧－阻尼系统的模型。 4）塑性变形 当塑性应变超过容许变形时，弹性波模型不再适用于分析撞击问题。这类问题属于高速撞击问
用待定系数法求数解析式
用待定系数法求数解析式
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用待定系数法求二次函数解析式 二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式． (1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。 (3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。 例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式． 解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。因此，只能采用一般式求解。 设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1 解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。 思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。 例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。试一试，比较一下。 思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。 一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。 例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3 解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233 384 x x -++. 所以，所求二次函数的关系式是y= 233 384 x x -++. 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。 4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n
第 10 讲 待定系数法(高中版)
第 10 讲 待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1． ；2．；3．。 难点 ：1．；2．； 3．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。 待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。 使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。 二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。 若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用 例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。
巧用恢复系数解决碰撞问题
巧用恢复系数解决碰撞中的变量问题 问题的提出：在高中动量章节中，我们学习了碰撞这一常见的物理问题，但针对这一问题我们只学习了弹性碰撞的处理，那么对于非弹性碰撞呢？ 请看下面这一道例题： 小球A 质量M1以速度V10碰撞速度为V20的小球B 质量M2，若发生弹性碰撞则球A 的速度变为V1’球B 的速度变为V2’，若发生非弹性碰撞则速度变为V1”和V2”，试比较V1’与V1”，V2’与V2”的大小关系？ 问题的分析：对于这一问题结合我们所学过的知识，碰撞的小球满足动量守恒和能量守恒，对于弹性碰撞有： M1×V1+M2×V2=M1×V1’+M2×V2’ ① 1/2×M1×V12+1/2×M2×V22=1/2×M1×V1’2+1/2×M2×V2’2 ② 对于非弹性碰撞有： M1×V1+M2×V2=M1×V1”+M2×V2” ③ 1/2×M1×V12+1/2×M2×V22=1/2×M1×V1”2+1/2×M2×V2”2+ΔE ④ 对于第一个方程组我们经过繁琐的步骤可以解出 但对于第二个方程组由于其中含有ΔE 因此解出的表达式会十分复杂，这就要求我们换一种更简便的思路 问题的解决：下面介绍恢复系数 恢复系数e=(V1—V2)/(V2’—V1’) ⑤，是反映碰撞时物体变形恢复能力的参数。恢复系数e 是一个介于0和1之间的数字，当e=0时，发生完全非弹性碰撞，当0
利用待定系数法求函数解析式练习题
20.已知点A（ 1，）、B 、O（0,0），试说明A、O、B三点在同一条直线上。 22.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示．分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的函数关系式； 23.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，3）。 （1）求出这两个函数的解析式； （2）在同一个坐标系内，分别画出这两个函数的图象。 24..若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式25、某一次函数的图像与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点，求此函数的解析式. 26、已知直线y=kx+b在y轴上的截距为－2，且过点（－2,3）. （1）求函数y的解析式；（2）求直线与x轴交点坐标；（3）x取何值时，y＞0； 27、直线x-2y+1=0 在y轴上的截距为______． 28.一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是-3≤x≤6相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 29. 一次函数y=kx+b的图象过点(-2,5)，并且与y轴相交于点P，直线y=-1/2x+3与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数解析式 30、正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为（3,4），并且OB＝5 （1）求△OAB的面积 （2）求这两个函数的解析式 3)3 ,1 (- -
6.一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（） 8.下面是y=k1x+k2与y=k2x在同一直角坐标系中的大致图象,其中正确的是( )
待定系数法求函数的解析式
一次函数的解析式 1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。 直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --= b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标） 1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．0 2：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。 3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。 4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ） A ．-2 B ．-5 C ．2 D ．5 5.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（0，-1） D ．（-1，0） 6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＜1 B ．y ＜0 C ．y ＞1 D ．y ＜2 7.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示 （1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。 （2）求k ，b 的值．
用待定系数法求二次函数解析式 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。 C:与y轴交点刻度（纵坐标） 2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2 ) (a≠0)，其中x 1 ,x 2 是抛物线与x轴的交点 的横坐标。 1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？ 2.已知二次函数的图象经过点)4 ,0( ), 5 ,1 (- - -和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？ 4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？ 5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？ 6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式。