巧用恢复系数解决碰撞问题

巧用恢复系数解决碰撞中的变量问题
问题的提出：在高中动量章节中，我们学习了碰撞这一常见的物理问题，但针对这一问题我们只学习了弹性碰撞的处理，那么对于非弹性碰撞呢？
请看下面这一道例题：
小球A 质量M1以速度V10碰撞速度为V20的小球B 质量M2，若发生弹性碰撞则球A 的速度变为V1’球B 的速度变为V2’，若发生非弹性碰撞则速度变为V1”和V2”，试比较V1’与V1”，V2’与V2”的大小关系？
问题的分析：对于这一问题结合我们所学过的知识，碰撞的小球满足动量守恒和能量守恒，对于弹性碰撞有：
M1×V1+M2×V2=M1×V1’+M2×V2’ ①
1/2×M1×V1²+1/2×M2×V2²=1/2×M1×V1’²+1/2×M2×V2’² ②
对于非弹性碰撞有：
M1×V1+M2×V2=M1×V1”+M2×V2” ③
1/2×M1×V1²+1/2×M2×V2²=1/2×M1×V1”²+1/2×M2×V2”²+ΔE ④ 对于第一个方程组我们经过繁琐的步骤可以解出
但对于第二个方程组由于其中含有ΔE 因此解出的表达式会十分复杂，这就要求我们换一种更简便的思路
问题的解决：下面介绍恢复系数
恢复系数e=(V1—V2)/(V2’—V1’) ⑤，是反映碰撞时物体变形恢复能力的参数。

恢复系数e 是一个介于0和1之间的数字，当e=0时，发生完全非弹性碰撞，当0<e<1时发生非弹性碰撞，当e=1时发生弹性碰撞，e>1时为超弹性碰撞，一部分内能转化为动能。

在弹性限度内，恢复系数的大小只由相碰撞的物体的性质决定，而与速度无关。

对于确定的两个物体，它们之间的恢复系数是一个确定的常数。

当然，当速度足够大时，碰撞发生的形变超过了物体的最大形变量时,恢复系数就与速度有关了，在此，我们所讨论的碰撞都发生在物体的弹性限度内。

因此由式子①和⑤通过一次简单的消元可得
由这个运算结果很容易就可以看出V1’随着e 的增加而减小,V2’随着e 的增加而增加， 故V1’<V1”,V2’>V2”,问题也就解决了。

问题的拓展：用恢复系数和动量守恒我们可以解出碰撞后的速度V ’，同样结合能量守恒也可以很容易得到 ,若设碰撞的持续时 间为t ，同样可以求出平均作用力
根据这两个式子，我们很容易可以证明柯尼希定理即完全非弹性碰撞的动能损失最大，以及平均相互作用力最大似的条件。

当然，引文中的问题我们也可以用极限法得出答案，但方法定性不定量，在此就不过多赘述了。

有上文可见，恢复系数在解决一些碰撞中的变量问题有自己独到而简便的一面，其方程不仅更容易解出答案，并且答案工整，希望大家好好掌握这一方法技巧。

至于别的一些结论由于我所学不精，就只好请读者自己体会了。

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