均值与方差、正态分布

时间：45分钟分值：100分

一、选择题(每小题6分，共48分)

1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)等于( )

A ．0.16

B ．0.32

C ．0.68

D ．0.84

【答案】 A

【解析】 P (X <0)＝P (X >4)＝1－P (X ≤4)＝1－0.84＝0.16. 2．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个，其中含有红球个数的数学期望是( )

A.3

2 B.5

3 C.6

5 D.35

【答案】 C

【解析】根据超几何分布期望公式，E (X )＝2×32＋3＝6

3．(2012·黄冈期末)某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )

A ．10%

B ．15%

C ．30%

D ．45% 【答案】 D

【解析】 ∵正态曲线对称轴为μ＝90，P (x <60)＝0.05，

∴P (90

2(1－2P (x <60))＝0.45，故选D.

4．(2012·云南省统考)已知随机变量ξ满足条件ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝12

5，则n 与p 的值分别为( )

A ．16与4

5 B ．20与2

5 C ．15与4

5 D ．12与3

【答案】 C

【解析】 ∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝12

5，∴n ＝15，p ＝4

5．(2011·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望E (x )＝( )

A.445

B.8310

C.72

D.92

【答案】 D

【解析】 x 的取值有：3、4、5，P (X ＝3)＝1C 35

＝1

10，

P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35

＝3

5，

∴E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝9

6．(2011·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中

任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6

7，则口袋中白球的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．2

【答案】 A

【解析】设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，

P (ξ＝0)＝C 27－x

C 27

＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 27

＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2

C 27

＝x (x －1)42，

∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67， ∴x ＝3.

7．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )

A.255

256 B.9

256 C.247

256 D.764

【答案】 C

【解析】由条件知ξ～B (n ，P )，

∵????? E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴?????

np ＝4np (1－p )＝2，解之得，p ＝12，n ＝8， ∴P (ξ＝0)＝C 08×? ??

??120×? ??

??128＝? ??

??128，

P (ξ＝1)＝C 1

8×? ??

??121×? ??

??127＝? ??

??125，

∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)

＝1－? ????128－? ??

??125＝247256.

8．(2012·深圳市调研)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi

－(x －μi )2

2σ2i

(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )

A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3

B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3

D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 【答案】 D

【解析】正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

二、填空题(每小题6分，共18分)

9．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．

【答案】0.4

【解析】∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y ＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9.∴y＝0.4.

10．(2011·浙江理，15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2

3，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是

相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝1

12，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.

【答案】5 3

【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率计算及随机变量的分布列与期望等基础知识．

∵P(X＝0)＝1

12，∴(1－

3)(1－p)

2＝

12，∴p＝

2，

∴P(X＝1)＝1

3，P(X＝2)＝

12，P(X＝3)＝

∴E(X)＝1

3＋2×

12＋3×

6＝

11．(2012·广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1、X2的分布列分别如下：

两台机床中，较好的是__________，这台机床较好的理由是______________________________________________．

【答案】 Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2) 三、解答题(共34分)

12．(11分)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1

2.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令X 表示该公司的资助总额．

(1)写出X 的分布列； (2)求数学期望E (X )．

【解析】 (1)X 的所有取值为0,5,10,15,20,25,30，

∴P (X ＝0)＝164，P (X ＝5)＝332，P (X ＝10)＝1564，P (X ＝15)＝5

16，P (X ＝20)＝1564，P (X ＝25)＝332，P (X ＝30)＝1

64.

所以X 的分布列为

(2)E (X )＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×1

64＝15.

13．(11分)(2011·陕西理，20)

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

【解析】(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.

用频率估计相应的概率可得

P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，

∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.

(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B 独立，

∴P(X＝0)＝P(A－B－)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，

P(X＝1)＝P(A B＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×0.04

14．(12分)(2011·山东临沂质检)汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类M1型车抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：

＝120g/km.

2乙

(1)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？

(2)若乙类品牌的车比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性要好，求x的取值范围．

【解析】(1)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：

(80,110)；(80,120)；(80,140)；(80,150)；(110,120)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150)．

设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则A包含以下7种结果，

(80,140)；(80,150)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；

(140,150)．∴P(A)＝7

10＝0.7.

(2)x甲＝80＋120＋110＋140＋150

5＝120.

∴x甲＝x乙＝120，x＋y＝220.

5s2甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝3000，

5s2乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2

＝2000＋(x－120)2＋(y－120)2.

∵x＋y＝220，∴5s2乙＝2000＋(x－120)2＋(x－100)2.

由乙类品牌的车CO2的排放量稳定性比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性好，得5s2乙<5s2甲，

即2000＋(x－120)2＋(x－100)2<3000.

∴x2－220x＋11700<0.

解得90

即x的取值范围为{x|90

均值、方差、正态分布__学生用

§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X (1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －x －μ2 2σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0， μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

随机变量的均值与方差、正态分布(专题复

教学过程一、课堂导入 “离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12─14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值．

二、复习预习 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定． ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． ( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1 5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于 ( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 等于 ( ) A ．3 B.5 3 C ．5 D.73 4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.

高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】由题意得??? ?? np ＝2.4， np 1－p ＝1.44，解得??? ?? n ＝6， p ＝0.4. 【答案】 B 2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ2 2)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( ) A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2 【解析】根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 【答案】 A 3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为

2，则2a ＋1 3b 的最小值为( ) A.323 B.283 C.143 D.163 【解析】由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0