牛顿迭代法论文

目录

一牛顿迭代法的简介 (4)

1.1 牛顿迭代法的产生背景 (4)

1.2 牛顿迭代法的概述 (4)

1.3 牛顿迭代法的优点 (4)

二牛顿迭代法的分析 (4)

2.1 牛顿迭代法的思想 (4)

2.2 牛顿迭代法的要求 (5)

2.3 牛顿.迭代法 (6)

三牛顿迭代求根的方法 (7)

四牛顿迭代法具体例子的实现 (7)

伍牛顿迭代法的收敛性 (10)

六、迭代求根应注意的事项 (10)

七、参考文献 (11)

八附录.c语言代码 (13)

题目: 牛顿法---插值方法

摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.

关键字: 牛顿迭代方程根算法

一 .牛顿迭代法简介

1.1 牛顿迭代法的产生背景

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

1.2 牛顿迭代法的概述

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

1.3 牛顿迭代法的优点

迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具

有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。假定有一个函数y=f（x），方程f(x)=0在 x = r 处有一个根，对于此根，先估计一个初始值 Xo （可以是猜测的）。得到一个更好的估计值X1。为此f(X)=Xo处作该曲线的切线，并将其延长与 x 轴相交。切线与x轴的交点通常很接近 r ，我们用它作为下一个估计值X1，求出X1后，用X1代替Xo。重复上述过程，在x=X1处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值X2……这样继续下去，所得出的这个x轴截距的序列通常迅速接近根r。

二 .牛顿迭代法的分析

2.1牛顿迭代法的思想

多数情况下是得不到一般数学方法所需的函数表达式，或难以找到原函数。线性方程组的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机工作量太大而无法实施。对这些问题，都可以利用数值方法来求解，在计算机中实现的数值方法也称为数值算法。牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速。

在工程实践中，有许多问题往往归结为求一元非线性方程的实根、求函数的定积分、求线性方程组的解等。而即使对于求一元方程实根这类问题，也只有在少数简单的情况下，才可以用传统的方法得到根的数学表达式。对于需要计算定积分的问题，便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面。

牛顿迭代法用到导数f'(x),但有时求导困难，如果导数用差商(y2-y1)/(x2-x1)逼近,便是一种快速的截弦法。取两个x值作试探,判断f(x)是否副近于0,如果f(x)不理想,用经过(x1,y1)、(x2,y2)的直线(截弦)代替f(x)求根，近似根x外推=x1-(x2-x1)*y1/(y2-y1)，此x靠性会更好些。求根过程:是叠代过程，即由(x1,x2)→f(x1)、f(x2)、f(x中)或f(x外推)→(X1,X2)，大写X1,X2就是下一轮计算的小写x1,x2，二分法、截弦法、牛顿迭代法计算公式不同，一个用中值外推，后二者用直线外推，二者用直线外推，但它们计算过程几乎相同，具体程序详见本源代码。对截弦法而言，x1,y1是起点，x2,y2直的控制点，，x1,y1是起点，x2,y2直的控制点，x2不能与x1相等，否则直线画不出来，但x1与x2应

y

x O x * x 1 x 0

尽量靠近，远了作出的直线准确度下降。在求根过程中会用到牛顿迭代伪代码： 牛顿迭代法伪代码: x1=-2,y1=f(x1) x2=-2,y2=f(x2) while(){//循环

x=x1-(x2-x1)*y1/(y2-y1),y=f(x) 如果|x-x2|<0.01或y 为0则跳出循环 x1=x2,y1=y2 x2=x,y2=y

2.2 牛顿迭代法的要求

牛顿迭代法方法简单，每次迭代都是简单的重复运算，易于编制程序；与 求解线性方程的精确法相比，简单迭代法对于字长位数较少的计算机更为适用，它可以用增加迭代次数来弥补字长位数少的不足.初值可以任取，因而中间结果偶然错误不影响最后结果的获得。缺点：迭代速度较慢。

2.3 牛顿迭代法

1.牛顿迭代法

方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做

初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程f (x ) = 0中的f (x )求得近似解x 1。即将方程f (x )

= 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这

一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算

出x 2，求得近似解x 2，……。详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为

)()()()(000x f x x x f x f '-+≈

由此得一次方程

0)()()(000='-+x f x x x f

求解，得

)

()

(0001x f x f x x '-

=

如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。设x n 是方程解x *的近似，迭代格式

)

()

(1n n n n x f x f x x '-

=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。牛顿迭代法的最大优点是收敛速度快，具有二阶收敛。

牛顿迭代法有明显的几何意义．由式（4）知xk ＋1是点（xk ，f （xk ））处y ＝f （x ）的切线：

与X 轴交点的横坐标如图1所示．也就是说，新的近似值xk ＋1是用代替曲线y ＝f （x ）的切线与x 轴相交得到的．继续取点（xk ＋1，f （xk ＋1）），再作切线与X 轴相交，又可得xk ＋2……由图1可见，只要初值取得充分靠近α，这个序列就会很快收敛于α．

由于牛顿迭代法的局部收敛性，又对初值要求较高，只有初值取得充分靠近α，才能保证序列收敛

图1 牛顿迭代法示意图

三. 牛顿迭代求根的方法

牛顿迭代求根的方法：设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，按下面步骤执行：

（1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0；

（2） 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0； （3） 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

四、Newton 迭代法具体例子的实现

设在给定点x 1处对函数进行二次逼近。二次逼近q 如下定义：

)

(1)(2

1

)()()(2

1

''1'

1x x x f x f

x x f x q -+

-+

=

令x 2是使0

'

=q

的点，并重复这个过程：

)()

('

''

1x f x f x x k

k k k -

=+ k=0,1,2,???该

过程当ε

<-+x x

k k 1

或者

ε

<)('

x f k

时停止，其中ε是一个很小的数。该方法只

能用于二次可微函数，

)('

'≠x f

（1）．取误差限0.01，从x=4开始，用牛顿法极小化f(x)=x

x 22

+

由于22)(+='x x f 。应用牛顿迭代法，得迭代计算格式

2

222

1++-=+x x x k k

k

k k

x x ，（k= 0，1，2，……）取x0= 4为初值，

输入初始值x0:4

输入精确值accurate:0.01

x[1]=4.000000 f(x[1])=24.000000

x[2]=-1.000000 f(x[2])=-1.000000

例（2）取误差限0.01，从x=4开始，用牛顿法极小化

??????????<+>-

0,40,4)(334

34

3x x x f x x x x 步骤：

（1） 选一个接近于x 的真实根的近似根x1；

（2） 通过

)

(1)(2

1

)()()(2

1

''1'

1x x x f x f

x x f x q -+

-+

=令x 2是使

0'

=q 的点求

x 2

;

（3） 并重复（2）过程：

)()

('

''

1x f x f x x k

k k k -

=+ k=0,1,2,???该过程当ε<-+x x

k k 1

或者

ε

<)('

x f k

时停

止

（4） 一直求下去，直到接近真正的根。当两次求出的根之差ε

<-+x x

k k 1

就停

止

牛顿迭代公式是：)()

('

''

1

x f x f x x

k

k k k -=+

输入初始值x0:4

输入精确值accurate:0.01

x[1]=4.000000 f(x[1])=-512.000000 x[2]=2.800000 f(x[2])=-96.588800 x[3]=2.012500 f(x[3])=-16.607539 x[4]=1.507817 f(x[4])=-1.794416 x[5]=1.204385 f(x[5])=0.675821 x[6]=1.051791 f(x[6])=0.982773 x[7]=1.004643 f(x[7])=0.999870

例（3）取误差限0.01，从x=0.6开始,重做（2）。讨论用该方法会发生什么现象。

输入初始值x0:0.6

输入精确值accurate:0.01

输入初始值x0:0.6

输入精确值accurate:0.01

x[1]=0.600000 f(x[1])=0.475200 x[2]=-0.600000 f(x[2])=-0.475200

x[3]=-0.827608 f(x[3])=-0.860023 x[4]=-1.158643 f(x[4])=-0.815152

x[5]=-1.598022 f(x[5])=3.240444

x[6]=-2.122156 f(x[6])=22.616865

x[7]=-2.699757 f(x[7])=80.664133

x[8]=-3.308431 f(x[8])=214.573428

x[9]=-3.935325 f(x[9])=475.738982

x[10]=-4.573380 f(x[10])=929.789032

x[11]=-5.218623 f(x[11])=1656.580672

x[12]=-5.868713 f(x[12])=2750.195941

x[13]=-6.522204 f(x[13])=4318.940133

x[14]=-7.178162 f(x[14])=6485.341129

x[15]=-7.835963 f(x[15])=9386.149140

x[16]=-8.495174 f(x[16])=13172.336610

x[17]=-9.155487 f(x[17])=18009.098183

x[18]=-9.816676 f(x[18])=24075.850691

x[19]=-10.478573 f(x[19])=31566.233158

x[20]=-11.141050 f(x[20])=40688.106800

x[21]=-11.804007 f(x[21])=51663.555035

x[22]=-12.467368 f(x[22])=64728.883480

x[23]=-13.131069 f(x[23])=80134.619961

x[24]=-13.795062 f(x[24])=98145.514509 ???陷入死循环

五、牛顿迭代法的收敛性

牛顿迭代法在使用受条件限制，这个限制就是通常所说的牛顿迭代法的局部收敛性。

定理 假设f(x)在x*的某邻域内具有连续的二阶导数，且设f(x*)=0，

0)(*≠'x f ，则对充分靠近x*的初始值x0，牛顿迭代法产生的序列{xn}收敛于x*。 下面例子是牛顿迭代法不收敛的反例。反例说明，牛顿迭代法局部收敛性要求初始点要取得合适，否则导致错误结果。

例（3）在例2基础上取误差限0.01，从x=0.6开始,重做（2）。讨论用该方法会发生什么现象。

对于迭代初值取x0=0.6，迭代数列中的第四项又回到初始点x0 = 0.6附近，算法将陷入死循环。

而迭代初值取x0=4，可以使牛顿迭代法得到收敛。

六、迭代求根应注意的事项

牛顿迭代法也有几点注意事项： ① 关于初始近似的选取。

当f(x)在[a,b]上二阶连续可微时，常用下述方法判别收敛性和选取初始近似值x0。即如果在区间[a,b]上如下条件成立： (a) f''(x)、f'(x)在[a,b]上不变号；

(b) f(a)f(b) < 0, f(b)f'(b)>0 ( 或f(a)f'(a)>0 ) 那么，当x0=b 或x0=a 时，牛顿格式收敛。 ② 使用时x0应选的尽量靠近x*。

③ 当f'(x)不易求得时，不宜采用此方法。

牛顿迭代方法能够有效的基本条件是：

迭代公式必须是收敛的（也就是通过迭代运算，每一次的结果必须是更接近真实值的）

具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：

（1） 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循

环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；

（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败

七. 参考文献

[1]龙熙华.数值分析[M].西安:陕西科学技术出版社,2000.20-22.

[2]《数值分析简明教程》-2 Editon -高等教育出版社 -page 136 -算法流程图

[3] 谭浩强 C程序设计[M] 清华大学出版社 1999年12月第2版

[4] 《数值计算方法》，冯天祥编著.四川科技出版社.2003

[5] 百度百科牛顿迭代法 https://www.360docs.net/doc/832514726.html,/view/643093.htm

[6] 《数值计算方法》杨一都编著. 高等教育出版社 2008.4

八、附录

例题（1）程序

#include

#include

double f(double x)

{

return pow(x,2)+2*x;

}

double g(double x)

{

return 2*x+2;

}

double h(double x)

{

return 2;

}

void main()

{

int i,j;

double x0,accurate,x[1000],Abc;

printf("输入初始值x0:");

scanf("%lf",&x0);

printf("输入精确值accurate:");

scanf("%lf",&accurate);

i=1;

x[0]=x0;

x[1]=x[0]-g(x0)/h(x0);

Abc=x[i]-x[i-1];

if(fabs(Abc)>accurate)

{

do

{

x[i+1]=x[i]-g(x[i])/h(x[i]);

i++;

Abc=x[i]-x[i-1];

}while(fabs(Abc)>accurate);

}

for(j=0;j

{

printf("x[%d]=%lf f(x[%d])=%lf\n ",j+1,x[j],j+1,f(x[j])); }

}

例题（2）程序

#include

#include

double f(double x)

{

if(x>0)

return 4*pow(x,3)-3*pow(x,4);

if(x<0)

return 4*pow(x,3)+3*pow(x,4);

}

double g(double x)

{

if(x>0)

return 12*pow(x,2)-12*pow(x,3);

if(x<0)

return 12*pow(x,3)+12*pow(x,3);

}

double h(double x)

{

if(x>0)

return 24*x-36*pow(x,2);

if(x<0)

return 25*x+36*pow(x,3);

}

void main()

{

int i,j;

double x0,accurate,x[1000],Abc;

printf("输入初始值x0:");

scanf("%lf",&x0);

printf("输入精确值accurate:");

scanf("%lf",&accurate);

i=1;

x[0]=x0;

x[1]=x[0]-g(x0)/h(x0);

Abc=x[i]-x[i-1];

if(fabs(Abc)>accurate)

{

do

{

x[i+1]=x[i]-g(x[i])/h(x[i]);

i++;

Abc=x[i]-x[i-1];

}while(i<100);

}

for(j=0;j

{

printf("x[%d]=%lf f(x[%d])=%lf\n ",j+1,x[j],j+1,f(x[j])); }

}