高中数学必修三统计概率大题
必修三统计概率
一．解答题（共26小题）
1．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为：=，=﹣．
2．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：
分组频数频率
[10，15）10 0.25
[15，20）24 n
[20，25）m p
[25，30） 2 0.05
合计M 1
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．
3．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）
x：y 1：1 2：1 3：4 4：5
4．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上
本科80 30 20
研究生 x 20 y
（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x ，y 的值．
5．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 是否需要志愿
男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：
6．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
7．某网站针对2014年中国好声音歌手A ，B ，C 三人进行网上投票，结果如下：
观众年龄 支持A 支持B 支持C
20岁以下 200 400 800
20岁以上（含20岁） 100 100 400
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n 人，其中有6人支持A ，求n 的值．
（2）在支持C 的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．
P （k 2＞k ） 0.0
0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．
9．某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样
本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．
10．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？
12．已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学成绩x 80 75 70 65 60
地理成绩y 70 66 68 64 62
（1）根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+（其中=0.36）；
（2）利用（1）中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩（四舍五入到整数）；
（3）若从五人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？
13．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：
天数t（天） 3 4 5 6 7
繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5 6
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．
14．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：
组号第一组第二组第三组第四组第五组
分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？
15．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．
16．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
17．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．
区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]
人数25 a b
（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．
18．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
19．某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
一年级二年级三年级
男同学 A B C
女同学X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
20．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
21．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团未参加书法社团
参加演讲社团8 5
未参加演讲社团 2 30
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，
B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
22．对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：
质量段[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]
件数 5 a 15 b
规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A“型2件
（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B“型的概率；
（Ⅱ）从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率．
23．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．
24．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．
25．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．
26．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．
2015年11月17日必修三统计概率
参考答案与试题解析
一．解答题（共26小题）
1．（2014•黑龙江）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴===0.5，
=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
2．（2014•高州市模拟）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：
分组频数频率
[10，15）10 0.25
[15，20）24 n
[20，25）m p
[25，30） 2 0.05
合计M 1
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．
【专题】计算题；图表型．
【分析】（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．
（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．
【解答】解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，
∴M=40．
∵频数之和为40，
∴10+24+m+2=40，m=4.．
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
∴
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，
设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．
则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，
而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，
∴所求概率为．
【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．
3．（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）
x：y 1：1 2：1 3：4 4：5
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；
（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；
（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．
【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；
（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，
数学成绩在[60，70）的人数为：，
数学成绩在[70，80）的人数为：，
数学成绩在[80，90）的人数为：，
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．
4．（2014•烟台三模）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
学历35岁以下35～50岁50岁以上
本科80 30 20
研究生x 20 y
（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题．
【分析】（I）用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事件中看出结果．
（II）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．【解答】解：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，
设抽取学历为本科的人数为m
∴解得m=3
∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科的3，分别记作S1、S2；B1、B2、B3
从中任取2人的所有基本事件共10个：（S1，B1）、（S1，B2）、（S1，B3）、
（S2，B1）、（S2，B2）、（S2，B3）、（S1，S2）、（B1，B2）、（B2，B3）、（B1，B3）
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S1，B1）、（S1，B2）、（S1，B3）、
（S2，B1）、（S2，B2）、（S2，B3）、（S1，S2）
∴从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意得：，
解得N=78
∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20
∴，解得x=40，y=5
∴x=40，y=5
【点评】本题考查分层抽样方法，考查古典概型的概率及其概率公式，考查利用列举法列举出试验包含的所有事件，列举法是解决古典概型的首选方法．
5．（2010•河北）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
男女
是否需要志愿
需要40 30
不需要160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：
P（k2＞k） 0.0 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】简单随机抽样；独立性检验．
【专题】计算题．
【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，
∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
∵9.967＞6.635，
∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【点评】本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．
6．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100] （1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；
（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，
又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，
故所求的概率为P=．
【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．
7．（2015•宿州一模）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：
观众年龄支持A 支持B 支持C
20岁以下200 400 800
20岁以上（含20岁）100 100 400
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．
【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．
（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．
【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴=，
解得n=40；
（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，
年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，
则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，
分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），
其中恰好有1人在20岁以下的事件有：
（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．
故恰有1人在20岁以下的概率P=．
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
8．（2015•日照二模）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于14秒且小于16秒的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数．
（2）按照（1）的方法求出成绩在[13，14）及在[17，18]的人数；通过列举得到m，n都在[13，14）间或都在[17，18]间或一个在[13，14）间一个在[17，18]间的方法数，三种情况的和为总基本事件的个数；分布在两段的情况数是事件“|m ﹣n|＞1”包含的基本事件数；利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．
【解答】解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），
所以该班成绩良好的人数为27人、
（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，
设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．
若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；
若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
有12种情况、
所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种、
∴（12分）
【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式．
9．（2014•岳阳二模）某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样
本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．
【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（I）利用所有小矩形的面积之和为1求得a值；根据频数=频率×样本容量求得各组的频数，代入平均数公式计算；
（II）根据频率分布直方图求得直径位于区间[112，114）和[114，116）的频率之比，可得在两组中应取的产品数，
利用写出所有基本事件的方法求符合条件的基本事件个数比；
【解答】解：（I）由频率分布直方图得：2×（0.050+0.150+a+0.075）=1⇒a=0.225，
直径位于区间[110，112）的频数为100×2×0.050=10，位于区间[112，114）的频数为100×2×0.150=30，
位于区间[114，116）的频数为100×2×0.225=45，位于区间[116，118）的频数为100×2×0.075=15，
∴生产一件A产品的平均利润为=22（元）；
（II）由频率分布直方图得：直径位于区间[112，114）和[114，116）的频率之比为2：3，
∴应从直径位于区间[112，114）的产品中抽取2件产品，记为A、B，
从直径位于区间[114，116）的产品中抽取3件产品，记为a、b、c，从中随机抽取两件，所有可能的取法有，（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）
，（a，b），（a，c），（b，c）10种，两件产品都不在区间[114，116）的取法只有（A，B）一种，
∴两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的取法有9种．
∴所求概率为P=．
【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了古典概型的概率计算，读懂频率分布直方图是解答本题的关键．
10．（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程
（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
11．（2013•广东模拟）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
P（k2＞k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
【考点】两个变量的线性相关．
【专题】计算题；作图题．
【分析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及x i2的累加值，及x i y i的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额．
【解答】解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
（Ⅱ）=5，
=50
又已知，．
于是可得：=
=50﹣6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
【点评】用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握，线性回归方程必过样本中心点．是两个系数之间的纽带，希望大学注意．
12．（2015•兴国县一模）已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学成绩x 80 75 70 65 60
地理成绩y 70 66 68 64 62
（1）根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+（其中=0.36）；
（2）利用（1）中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩（四舍五入到整数）；
（3）若从五人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？
【考点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求出样本中心，代入回归直线方程，即可求出，然后求解线性回归方程=x+；
（2）利用（1）中的线性回归方程，代入x=90，求出y的值，即可得到这个同学的地理成绩．
（3）求出所有基本事件的总数，找出1、2号不同时参加的数目，即可求解概率．
【解答】解：（1）=（80+75+70+65+60）=70
=（70+66+68+64+62）=66
∴=﹣=40.8
∴y关于x的线性回归方程为=0.36+40.8
（2）若x=90
则y=0.36×90+40.8≈73
即数学9（0分）的同学的地理成绩估计为7（3分）
（3）五人中选两人的不同选法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种不同选法．
其中1、2号不同时参加的有九种，
∴两个不同时参加的概率P=
【点评】本题考查回归直线方程的求法，古典概型的应用，基本知识的考查．
13．（2015•江西一模）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：
天数t（天） 3 4 5 6 7
繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5 6
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．
【考点】线性回归方程．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由表中数据计算得，=5，=4，）=8.5，=10，求出b=0.85，
a=﹣0.25，可得回归方程；
（Ⅱ）将t=8代入（Ⅰ）的回归方程中得细菌繁殖个数．
【解答】解：（Ⅰ）由表中数据计算得，=5，=4，）=8.5，=10，
所以b=0.85，a=﹣0.25．
所以，回归方程为y=0.85t﹣0.25．…（8分）
（Ⅱ）将t=8代入（Ⅰ）的回归方程中得y=0.85×8﹣0.25=6.55．
故预测t=8时，细菌繁殖个数为6.55千个．…（12分）
【点评】本题的考点是线性回归方程，主要考查回归直线方程的求解，解题的关键是求出回归直线方程的系数．
14．（2014秋•湖北校级期中）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：
组号第一组第二组第三组第四组第五组
分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？
【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；
（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；
（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（3分）
（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，
[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：
55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
…（6分）
（Ⅲ）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，
第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组：人，
第4组：人，
第5组：=1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…（9分）
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．…（13分）
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为…（14分）
【点评】本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法和古典概率．
15．（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．
（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．
（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为P=．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．
16．（2015•菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
数学必修3第三章概率测试题(附答案)
高中数学必修3第三章 概率单元检测 一、选择题 1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ). A ． 24 1 B ． 6 1 C ．8 3 D ． 12 1 2．在区间?? ? ? ??2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31 B ．π2 C ． 2 1 D ． 3 2 3．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ). A ．103 B ．107 C ． 5 3 D ． 5 2 4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ). A ．103 B ．51 C ． 10 1 D ． 12 1 5．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ). A ．12513 B ．12516 C ． 125 18 D ． 125 19 6．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ). A ．21 B ．31 C ． 4 1 D ． 16 1 7．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ).
A ． 5 1 B ． 5 2 C ． 5 3 D ． 5 4 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ). A ．6 1 B ．31 C ． 21 D ． 3 2 9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”．已知P (A )＝P (B )＝ 61 ，则“出现1点或2点”的概率为( ). A ．21 B ．31 C ． 6 1 D ． 12 1 二、填空题 10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________． 11．有A ，B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是 ． 12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为 ． 13．已知函数f (x )＝log 2 x ， x ∈??????221 ，，在区间?? ? ???221 ，上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为 ． 14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ． 15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．则a ＋b 能被3整除的概率为 ．
高中数学选择性必修三 概率统计
概率统计 通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 136 112 19 13 19 13 于是，我们可以根据分布列画出函数的图象. 考点1：二点分布 1.如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p 1p - 其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． 【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生 婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布． 屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩 下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的 挑选一个撞过去，那么成功率就是1 3 .随机变量X 为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败 定义为0，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 13 23 知识点睛 543210 P X
2.二点分布的期望与方差： 若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则 ()()101E X p p p =⨯+⨯-=；()()()()()22 1011D X p p p p p p =-⋅+-⋅-=- 【教师备案】二点分布严格定义是01-分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的 情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是()1p p -，由均值不等式很容易得出当1 2 p =的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的． 【例1】 二点分布 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”，求随机变量X 的分布列及 期望与方差． 【解析】 由题意知()420645P X ===+，()631645P X ===+，故随机变量X 的分布列为()2 05 P X ==， ()3 15 P X ==，概率分布表如下： X 0 1 P 25 35 ()35E X =，()236 5525 D X =⨯=． 考点2：超几何分布 1.超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(01m l =，，，，l 为n 和M 中较小的一个 )． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在 超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 2.超几何分布的期望与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nM E X N = ；()11nM M N n D X N N N -⎛⎫=- ⎪ -⎝⎭． 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的，现在鸟不傻 知识点睛 经典精讲
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题 1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫ ++= ⎪⎝ ⎭ .若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）. A ． 14 B ． 15 C ． 25 D ． 35 2．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ． 15 B ． 13 C ． 35 D ． 23 3．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ． 23 B ． 14 C ．38 D ． 34 4．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A ．1103156 π - B ．14 π- C ．17126 π - D ．681237 π -
高中数学必修三统计概率大题
必修三统计概率 一．解答题（共26小题） 1．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为：=，=﹣． 2．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图： 分组频数频率 [10，15）10 0.25 [15，20）24 n [20，25）m p [25，30） 2 0.05 合计M 1 （Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率． 3．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数． 分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90） x：y 1：1 2：1 3：4 4：5 4．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上 本科80 30 20
高一数学必修三,概率与统计的综合问题知识点及题型
第四节概率与统计的综合问题 考点一概率与统计图表的综合问题 [典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题． (1)试估计该班级同学数学成绩的平均分； (2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率． [解](1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6， 故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6. (2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130,140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140,150]的有2人，分别记作m，n. 从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn. 故选出的两人在同一组的概率P＝7 15. [对点训练] 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋10 4 ＝354，s 2＝14 ×????????8－3542×2＋????9－3542＋????10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个． 故P (C )＝416＝1 4. 考点二 概率与随机抽样的综合问题 [典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号． (1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号． (2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)
高中数学必修三第三章《概率》章节练习 题(含答案) 高中数学必修三第三章《概率》章节练题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列试验属于古典概型的有（）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（）。 A。B。C。D。 补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）。 A。B。C。D。
3.在全运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的 5名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的 概率为（）。 A。B。C。D。 4.任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a， b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（）。 A。B。C。D。 5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）。 A。B。C。D。 6.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为 P1，P2，则P1，P2的大小关系是（）。 A。P1=P2 B。P1>P2 C。P1 7.一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现 的点数为a，第二次出现的点数为b，则a+b能被3整除的概 率为（）。 8.已知函数f(x)=log2x，x∈R。在区间[1,8]上任取一点x，使f(x)≥-2的概率为（）。 补偿训练】已知直线y=x+b，b∈[-2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（）。 A。B。C。D。 9.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=√(x) 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S： ①先产生两组[0,1]的均匀随机数，a=RAND，b=RAND； ②做变换，令x=4a，y=√(b)； ③判断(x,y)是否在阴影部分中，若是则计数器加1； ④重复上述步骤n次，估计S≈n×计数器/. 则利用上述方法，当n=时，估计得到的阴影部分的面积 S≈（）。 一、选择题 1．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A ． 2129 B ． 2329 C ． 1112 D ． 1213 2．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ． 16 π B ． 4 π C ． 322 π- D ．14 π - 3．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x = 经过点 B .现将一质点随机投入长方形OAB C 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ） A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 4．在下列命题中， ①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 518 ； ②34 1()2x x +的展开式中的常数项为2； ③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1 (10)2 P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A．②B．①③ C．②③D．①②③ 5．4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（） A ． 4 9 B． 4 27 C ． 3 64 D． 3 32 6．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为 42 3 ，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（） A． 1 π B． 2 π C． 3 π D． 2 π 7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5 AD=，3 BD=，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（） A． 9 64 B． 4 49 C． 2 25 D． 2 7 8．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 9．假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率为() A 33 B． 2 π C． 4 π D． 33 4 π 10．在二项式 4 2 n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（） §2 统计 ◆ 基本定义： （1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. (2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. ❖ 抽样方法： （1）简单随机抽样（simple random sampling ）：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. （关于制签和随机数表的制作，请参照课本第41页） (2)系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果整除不能被n N 就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本容量是多少，就分几组，间隔n N k = ，然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体，假设编号为 l ，然后就可以将编号为 ()k n l k l k l l 1...2,,-+++++ 的个体抽出作为样本，实际就是从每一组抽取与第一组相 同编号的个体。 (3)分层抽样（stratifed sampling ）：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层. 样本容量越大，估计越精确！ 颜老师友情提醒：1. 把每一种抽样的具体步骤看清楚，要求会写过程 2. 个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于 N n .其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的 3. 三种抽样都是不放回的抽样 4. 在具体问题中对于样本，总体，个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取20个同学，则个体应该是20名同学的视力，而不是20名同学，样本容量则为20，同样的总体也是全班级同学的视力 ♦ 两种抽样方法的区别与联系： 7.1 条件概率及全概率（精讲） 考法一条件概率 【例1】（1）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则() P N M 等于（ ） A ． 2 3 B ． 59 C ． 12 D ． 13 （2）（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A ．3/5 B ．3/4 C ．1/2 D ．3/10 【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5” ，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()5 9 P N M = .故选：B . （2）记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3 ()5P A = ，3263()542010 P AB =⨯= =， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3 110()325 P B A = =．故选：C. 【一隅三反】 1．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、 3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能 被3整除的概率为（ ） A ． 1 4 B ． 13 C ． 512 D ． 23 【答案】B 【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ， 事件B 包括的基本事件有{1}3， ，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5， 、{24}，共2个. 则()21 (|)()63 n AB P A B n B = ==， 高中数学必修三概率综合训练 一、单选题 1.下列事件中，是随机事件的是（） ①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品； ②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标； ③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码； ④异性电荷，相互吸引； ⑤某人购买体育彩票中一等奖． A. ②③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ②③⑤ 2.下列说法正确的是（） A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间 B. 频率是客观存在的，与试验次数无关 C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D. 概率是随机的，在试验前不能确定 3.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（） A. 本市明天将有70%的地区降雨 B. 本市明天将有70%的时间降雨 C. 明天出行带雨具的可能性很大 D. 明天出行不带雨具肯定要淋雨 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A. “至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D. “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 5.已知事件A与事件B发生的概率分别为、，有下列命题： ①若A为必然事件，则；②若A与B互斥，则； ③若A与B互斥，则. 其中真命题有（）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（） A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 7.如图，在矩形中，AB=4cm，BC=2cm，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是（） A. B. C. D. 8.掷一个骰子，出现“点数是质数”的概率是（） A. B. C. D. 9.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（） 【知识梳理】 1.简单随机抽样的定义 设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n W N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2.抽签法 把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取二个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本. 3.随机数法 随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 【常考题型】 题型一、简单随机抽样的概念 【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. ［解］(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的. (2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”. (3)不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中”等可能抽样”的要求. (4)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样. 【类题通法】 简单随机抽样的判断策略 判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限； ②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样.同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离. 【对点训练】 下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（） A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1〜40,有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本 D.某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量 解析：选B A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法 题型二、抽签法及其应用 【例2】（1）下列抽样实验中，适合用抽签法的有（） A.从某厂生产3 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两工厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验 数学·必修3(人教A版) 概率 3.2古典概型 3．2.1 古典概型及其概率计算(一) 1．从数字1,2,3,4,5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( ) 答案：B 2．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为( ) 答案：D 3．从1,2，…，8中任取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为． 答案： 4．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色． (1)从中任取1球，取出白球的概率为． (2)从中任取2球，取出的是红球和白球的概率为． 答案：(1) (2) 5．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求： (1)平局的概率； (2)甲赢的概率； (3)乙赢的概率． 解析：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法． 一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以一次游戏(试验)是古典概型．它的基本事件总数为9. 平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况． 设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C. 容易得到： (1)平局含3个基本事件(图中的△)； (2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)； (3)乙赢含3个基本事件(图中的※)． 由古典概率的计算公式，可得： P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. 6．某学校兴趣小组有2名男生和3名女生，现要从中任选3名学生代表学校参加比赛．求： (1)3名代表中恰好有1名男生的概率； (2)3名代表中至少有1名男生的概率； (3)3名代表中女生比男生多的概率． 解析：记2名男生分别为a、b,3名女生分别为c、d、e.则从5名学生中任选3名的可能选法是(a、b、 c)、(a、b、d)、(a、b、e)、(a、c、d)、(a、c、e)、(a、d、e)、(b、c、d)、(b、c、e)、(b、d、e)、(c、 d、e)，共10种选法. (1)设“3名代表中恰好有1名男生”为事件A，则事件A共有6种情况，所以P(A)＝＝. (2)设“3名代表中至少有1名男生”为事件B，则事件B包含了“2男1女”和“1男2 女”的选法，共有9种情况，所以P(B)＝. (3)设“3名代表中女生比男生多”为事件C，则事件C包含了“3名女生”和“2 女1男”的选法，共有7种情况，所以P(C)＝. 7．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率． 解析：设“命中9环或10环”为事件A，则由题意得P(A)＝＋0.28＝0.52. 8．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查.6人得分情况为：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数； (2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数及总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解析：(1)总体平均数为×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. (2)设A表示事件“样本平均数及总体平均数之差的绝对值不超过0.5”． 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8, 9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果． 事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果． 所以所求的概率为P(A)＝. 9．从1, 2, 3,4,5,6,7中任取一个数，求下列事件的概率： (1)取出的数大于3； 3.1.2概率的意义 课时过关·能力提升 一、基础巩固 1.概率是指() A.事件发生的可能性大小 B.事件发生的频率 C.事件发生的次数 D.无任何意义 2.若某篮球运动员的投篮命中率为98%,则估计该运动员投篮1 000次命中的次数为() A.20 B.98 C.980 D.998 1000次命中的次数约为1000×98%=980. 3.天气预报中预报某地明天降雨的概率为90%,则() A.降雨的可能性是90% B.90%太大,一定降雨 C.该地有90%的区域降雨 D.降雨概率为90%没有什么意义 90%说明明天降雨的可能性是90%. 4.已知某学校有教职工400名,从中选举40名教职工组成教职工代表大会,每名教职工当选的概率是1 10,则下列说法正确的是() A.10名教职工中,必有1人当选 B.每名教职工当选的可能性是1 10 C.数学教研组共有50人,该组当选教工代表的人数一定是5 D.以上说法都不正确 5.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品.若用C表示抽到次品这一事件,则下列说法正确的是() A.事件C发生的概率为1 10 B.事件C发生的频率为1 10 C.事件C发生的概率接近1 10 D.每抽10台电视机,必有1台次品 6.某医院治疗一种疾病的治愈率为1 5,若前4位病人都未治愈,则第5位病人的治愈率为() A.1 B.4 5 C.1 5D.0 1 5,表明每位病人被治愈的可能性均为 1 5,并不是5人中必有1人治愈.故选C. 7.在乒乓球、足球等比赛中,裁判员经常用掷硬币或抽签法决定谁先发球,这种方法.(填“公平”或“不公平”) ,这两种方法都是公平的.因为采用掷硬币得正面、反面的概率相等;采用抽签法,抽到某一签的概率相等. 5 4 . 必修三概率单元测试题 1．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个白球和全是白球 B ．至少有一个白球和至少有一个红球 C ．恰有一个白球和恰有 2 个白球 D ．至少有一个白球和全是红球 2．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的的概率是（ ） 1 1 2 A ． 2 B ． 3 C ． 3 D ．1 3．从 1，2，3，4 这 4 个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ） 1 1 1 1 A ． 6 B ． 4 C ． 3 D ． 2 4．在两个袋内，分别写着装有 0，1，2，3，4，5 六个数字的 6 张卡片，今从每个袋中各 任取一张卡片，则两数之和等于 5 的概率为（ ） 1 1 1 1 A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 12 5．袋中装有 6 个白球， 只黄球， 个红球， 从中任取 1 球，抽到的不是白球的概率为（ ） 2 A ． 5 4 3 B ． 15 C ． 5 D ．非以上答案 6．以 A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这 种分数是可约分数的概率是（ ） 5 A ． 13 5 9 5 B ． 28 C ． 14 D ． 14 7．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假 2 定甲每局比赛获胜的概率均为 3 ，则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为（ ） 8 64 4 8 A ． 27 B ． 81 C ． 9 D ． 9 8．袋中有 5 个球，3 个新球，2 个旧球，每次取一个，无放回抽取2 次，则第 2 次抽到新球 的概率是（ ） 3 5 2 3 A ． 5 B ． 8 C ． 5 D ． 10 10．袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套 15 只，白色手套 10 只.现从中随机 地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜 试问：甲、 乙获胜的机会是（ ） A ． 一样多 B ． 甲多 C ． 乙多 D ． 不确定的 12．甲用一枚硬币掷 2 次，记下国徽面（记为正面）朝上的次数为 n. ，请填写下表： 正面向上次数 n 2 概率 P （n ） 1 0 高中数学必修三：概率与统计 1．要从已编号1－50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是 . A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,4,8,16,32 2．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾,从中任选9尾,称得每尾鱼的质量分别是,,,,,,,,单位：千克．依此估计这240尾鱼的总质量大约是 .A．300克B．360千克C．36千克D．30千克 3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位:分 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为 A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8 4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2,已知两人得的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都分别相等,且值分别为s与t,那么下列说法正确的是 . A．直线l1和l2一定有公共点s,tB．直线l1和l2相交,但交点不一定是s,t C．必有直线l1∥l2 D．直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y单位：kg与身高x单位：cm具有线性相关关系,根据一 组样本数据x i ,y i i=1,2,…,n,用最小二乘法建立的回归方程为y =,则下列结论中不正确的是 .与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心x ,y C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为 6．对于两个变量之间的相关系数,下列说法中正确的是 A ．r 越大,相关程度越大 B ．()0,r ∈+∞,r 越大,相关程度越小,r 越小,相关程度越大 C ．1r ≤且r 越接近于1,相关程度越大；r 越接近于0,相关程度越小 D ．以上说法都不对 7、.如图,样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为sA 和sB,则 A A x ＞ B x ,sA ＞sBB A x ＜B x ,sA ＞sB C A x ＞B x ,sA ＜sB D A x ＜B x ,sA ＜sB 8.山东采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B 的人数为 A7 B 9 C 10 D1 9某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人,则样本容量为 A7 B15 C25 D35 10..样本12,,,n x x x 的平均数为x ,样本12,, m y y y 的平均数为()y x y ≠,若样本 12,, ,n x x x ,12,, m y y y 的平均数(1)z ax a y =+-,其中1 02 α<< ,则n ,m 的大小关系为 一、选择题 1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．316 B ．38 C ． 14 D ． 18 2．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共 5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ） A ．110 B ．310 C ．12 D ．35 3．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ） A ． 8 π B ． 16 π C ．18 π - D ．116 π - 4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ） A ． 518 B ． 718 C ． 716 D ． 516 5．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ． 35 B ． 79 C ． 715 D ． 3145 6．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ． 310 B ． 25 C ． 825 D ． 35 7．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ． 23 B ． 14 C ．38 D ． 34 8．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，2 3 CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ） A ．12 B ．34 C ．27 D ． 38 9．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）(好题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)
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