高一数学 等比数列 等比数列的前n项和 重难点解析 人教版

数学 等比数列 等比数列的前n 项和【重点难点解析】这两节的主要知识点是：等比数列的定义、通项公式，等比数列的性质，前n 项和的公式及导出该公式所使用的方法．1．等比数列的定义等比数列实质上是“比相等”的数列，由于除法没有交换律，因此，要说清楚被除数和除数．等比数列的定义就在于要说清楚这一点．当n ∈N ，且n ≥2时，总有q a a 1n n =-(q 是常数) 成立，那么数列}a {n 叫做等比数列，常数q 称为公比．根据这个定义，只要已知1a 和q ，那么逐次“乘q ”就可得到等比数列的各个项：312111q a q a q a a ，，，，…2．通项公式通项公式是定义的自然延伸．由定义知q a a 12⋅=2123q a q a a ⋅=⋅=3134q a q a a ⋅=⋅=…1n 1n q a a -=这就是通项公式． 或者q a a q a a q a a q a a 1n n 342312====-，，，， 把这n －1个等式相乘，得1n 1n q a a -= 所以1n 1n q a a -⋅=对等比数列的通项公式可以从以下几个方面去认识：①从已知数和未知数的角度看：通项公式中，含有1a ，q ，n ，n a 四个量，其中已知任意三个量的值，那么第四个量的值就是未知数，通项公式就是方程，解之，可得第四个量的具体数值．②从常量和变量的角度看：对于一个确定的等比数列，1a 和q 是常量，n 和n a 是变量，n a 是n 的函数，这个函数由一次函数u a a 1n ⋅=和指数函数1n q u -=复合而成．③从变形的角度看：从通项公式中，解出1a ，得1n n 1)q1(a a -= 与通项公式相比较，可以认为n a 是第一项，1a 是第n 项，此时公比是q1，即沿n 1a a →的方向与1n a a →的方向，公比恰好互为倒数．又 1n 1n q a a -⋅= 1m 1m q a a -⋅=相除 m n mn q a a -= 所以m n m n q a a -⋅=这个公式是广义的通项公式．④从发展的角度看：若}a {n 是等比数列，则1p 1p q a a -⋅=，1r 1r q a a -=所以2r p 21r p q a a a -+⋅=⋅同理2n m 21n m q a a a -+⋅=⋅因此有如下命题：在等比数列}a {n 中，如果p ＋r ＝m ＋n(p ，r ，m ，n ∈N*)，那么n m r p a a a a ⋅=⋅3．前n 项和的公式由于等比数列的任意一项乘以q 后，变为下一项，因此，得到如下求和方法——错位相减法： n 1n 321n a a a a a S +++++=-1n n 1n 32n a a a a a S q +-+++++=⋅n 111n 1n q a a a a S )q 1(⋅-=-=⋅-+若q ≠1，则q1)q 1(a S n 1n --= 若q ＝1，则1n a n S ⋅= 于是⎪⎩⎪⎨⎧≠--=⋅=时时1q q 1)q 1(a 1q a n S n 11n 对于等比数列的前n 项和的公式可以从以下几个方面去认识 ①不能忽略公式q1)q 1(a S n 1n --=成立的条件：q ≠1，特别是公比用字母表出时，要注意分类讨论． ②公式建立过程中，所使用的“错位相减”法，可以用在减后所得的式子能够求和的情形． 设}a {n 是等差数列，n n 33221n x a x a x a x a S ++++= ，则 1n n n 1n 433221n x a x a x a x a x a S x +-+++++=⋅相减，得1n n n 321n x a dx dx dx x a )x 1(S +-++++=-⋅1n n n 321x a )x x x (d x a +-++++=x ≠1时，1n n 1n 21n x a x1)x 1(dx x a )x 1(S +----+=- 21n 21n n 1n )x 1()x 1(dx x 1x a x a S --⋅+--=-+ x ＝1时，d )1n (n 21na a a a S 1n 21n -+=+++= ③从已知数和未知数的角度看：前n 项和公式中有n S 、1a ，q ，n 四个量，因此，其中三个是已知数时，第四个就是未知数，公式变为这个未知元的方程．④从常数和变数的角度看：n S 是n 的函数，此时q 和1a 是常数，这个函数是广义的指数函数．1． 证明一个数列是等比数列；2．1a 、n a 、n 、d 、n S 的互求；3．等比数列性质的应用；4．等比数列求和方法(错位相减)的灵活运用及裂项求和法；5．等比数列综合题；6．等比数列应用题．【典型热点考题】例1 已知}a {n 是等差数列，公差d ≠0，且931a a a ，，成等比数列，则1042931a a a a a a ++++等于_____________． 解：∵}a {n 是等差数列∴d 8a a d 2a a 1913+=+=，∵931a a a ，，成等比数列∴2391a a a =⋅ ∴2111)d 2a ()d 8a (a +=+整理，得d a 1= 于是1613d 10d 4d 2d 9d 3d a a a a a a 1042931=++++=++++．例2 已知正数组成的等比数列}a {n 的前m 项的和45S m =，前2m 项的和765S m 2=，在前m 项中，最大的一项是24．求：公比q 和项数m ．解： ∵45q1)q 1(a S m 1m =--= 765q1)q 1(a S m 21m 2=--= ∴17q 1S S m mm 2=+= ∴16q m =依题意，q>0，∴q>1于是前m 项中，最大项是m a故24a m =．数列m a ，1m a -，…，2a ，1a 是以24为首项，以q1为公比的等比数列． ∴45q11])q 1(1[24m =-- ∴45q11)1611(24=--解之 q ＝2由16q m =知162m =∴m ＝4例3 等比数列}a {n 中，0a 1>，q ＝2，如果30303212a a a a =⋅⋅ ，那么30963a a a a ⋅⋅＝_____________．解：用1a 和q ＝2表示3032a a a 、、、 ． 得30292130122a =⋅+++ ∴302293030122a =⋅⨯∴27153012a ⋅-=而31510130963aa a a a a ⋅⋅=⋅⋅ ∴2031527530963222a a a a =⋅=⋅⋅⋅⋅- ．例4 求下列的和：(1)个n 5550555055050....++++． (2)2n n 2222)a1a ()a 1a ()a 1a (++++++ (a ≠0)． 解：(1))9999099090(95n 个...原式+++= )]101()101()101[(59n 2...-++-+-= ]101)101(10n [95n ...---= 81)101(59n 5n .--=． (2))a12a ()a 12a ()a 12a (n 2n 24422+++++++++= 原式 n 2)a1a 1a 1()a a a (n 242n 242++++++++= ． 当1a 2=时，原式＝4n ．当1a 2≠时，n 21a 1]1)a 1[(a 11a ]1)a [(a 2n 222n22+--+--=原式 n 2)1a (a )1a )(1a (2n 22n 2n 2+-+-=+．例5 设等差数列}a {n 与等比数列}b {n 中，0b a 11>=，0b a 22>=，且两个数列满足：n 1n n 1n b ，ba a >>++(n ＝1，2，3，…)．求证：当n>2时，n nb a <．证明： 设}a {n 的公差为d ，}b {n 的公比为q ，则1a a b b q 1212>== 0)1q (a a q a a a d 11112>-=-=-=所以q>1当n>2时，d )1n (a a 1n -+=)]1q )(1n (1[a 1--+=)]q q q 1)(1q (1[a 2n 21-++++-+<)]1q (1[a 1n 1-+⋅=-n b =．例6 已知数列}a {n 的通项公式为：8)1(12n 4n a n2n --++= 求证：对任意正整数n ，均有：1n 2n 21n 2a a a +-，，是等比数列；而2n 21n 2n 2a a a ++，，是等差数列．证明：2221n 2n 4)1n 2(41n 44121n 24)1n 2(a =-+-=+-+-=- n n n 4)n 2(a 22n 2+=+= 2221n 2)1n (44n 8n 44121n 24)1n 2(a +=++=++++=+ 显然2n 21n 21n 2a a a =⋅+-∴1n 2n 21n 2a a a +-、、成等比数列． 而2n 3n 22n 24)2n 2(a 222n 2++=+++=+ ∴1n 2222n 2n 2a 2)1n (22n 4n 2a a ++=+=++=+∴2n 21n 2n 2a a a ++、、成等差数列．例7 已知0z log )b a (y log )a c (x log )c b (m m m =-+-+-．(1)若a 、b 、c 成等差数列且公差不为零，求证：x 、y 、z 成等比数列；(2)若x 、y 、z 成等比数列，且公比不为1，求证：a 、b 、c 成等差数列． 证明：(1)∵a 、b 、c 成等差数列，公差不为零∴b －c ＝－d ，c －a ＝2d ，a －b ＝－d∴0z log d y log d 2x log d m m m =-+-∴y log 2z log x log m m m =+∴2y z x =⋅∴x 、y 、z 成等比数列(2)∵x 、y 、z 成等比数列，公比q ≠1， ∴y ＝xq ，2xq z =∴0xq log )b a (xq log )a c (x log )c b (2m m m =-+-+- ∴0)]b a (2)a c [()q (log )]b a ()a c ()c b [()x (log m m =-+-⋅+-+-+-⋅ 即0)b 2a c ()q (log m =-+⋅∵0q log m ≠∴c ＋a ＝2b∴a 、b 、c 成等差数列．例8 设二次方程01x a x a 1n 2n =+-+(n ∈N*)有两根α、β，满足6α－2αβ＋6β＝3．(1)试用n a 表示1n a +；(2)求证}32a {n -是等比数列；(3)当67a 1=时，求数列}a {n 的通项公式． 解： (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=β⋅α=β+α+n n 1n a 1a a 代入已知中：3a 2a a 6nn 1n =-+ ∴31a 21a n 1n +=+(n ∈N*)． (2)证明：31a 2132a n 1n -=-+ ∴2132a 32a n 1n =--+∴}32a {n -是等比数列． (3)1n 1n )21()32a (32a -⋅-=-21)21(1n ⋅=-n )21(= ∴32)21(a n n +=．。