相量图及相量运算
电路的相量图
I1
j10
AA
C1
I2
C2 B
已知： I1=10A、 UAB =100V，
I
U C1
UO 5 Uj5AB
U O 求：A、UO旳读数
I I1 I2 100 A
U AB 1000 V
UC1 I（ j10) j100 V
U o UC1 U AB 100 j100
由上式可得： 4cos =2+3cos 3 (1) 4sin =–3sin 3 (2)
由 (1)2+(2)2 得：16 =(2+3cos 3)2+(–3sin 3)2
=4+12cos 3+9(cos 3)2+9(sin 3)2
= 4+12cos 3+9
31 cosφ3 12 4 ,
φ3 75.5o
I2
•
（5）由KVL作 U 0
（6）看成果：A=10，U0=141
•
U AB
•
I1
•
U C1
•
U0
•
例4 I1
+
•
U
–
A1 A2
已知：U=220V，f=50HZ，电流
A3
表A1旳读数为4A, A2旳读数为2A， A3旳读数为3A，Z3为感性负载。
•
I2
•
R2 I 3
Z3 试求：R2和Z3。
解：设Z3 =|Z3| 3
电路旳相量图
相量图可直观反应各电压、电流量旳关系，可用于辅助 电路旳分析计算（指导您怎样算、判断成果对不对）
画相量图环节: 1. 选用参照相量:
串联选电流 并联选电压
正弦量与相量法的基本概念
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设 i(t) = Im cos(t + i ) = Re( Ime jt ) uS (t) = U Sm cost = Re(U Sme jt )
代入微分方程得：
L
d
•
[Re(I m
e jt )]+
•
R Re(I m
e jt )
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
18
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120 ) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。
•
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
2
正弦电压与电流
3
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu或φi)≤π的 主值范围内取值。
F1·F2=Fej ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
电路第五版 8、相量法
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
电路相量的运算法则
电路相量的运算法则1相量简介相量是表述交流电路中电压和电流的一种方法。
它是一个复数，包括大小和相位两个部分。
电压和电流的相量不仅可以进行加减运算，还可以进行乘除运算，使得我们更加方便地进行分析和计算。
2相量的表示方法相量可以用极坐标和直角坐标两种方式表示。
以电压为例，极坐标中大小表示电压的幅值，即其最大值；相位表示电压的相位角，即从时间轴开始算起，电压的正弦波的已过时间。
直角坐标中，实数轴表示电压的实部，即电压*cos相位角；虚数轴表示电压的虚部，即电压*sin相位角。
3相量加法在电路中，可以将相同频率下的电压或电流当作相量，进行加减运算。
相量加法有两种形式：数学形式和几何形式。
数学形式就是把电压或电流的实部和虚部相加，例如：U1=3cos(θ)+j3sin(θ)U2=4cos(θ+π/4)+j4sin(θ+π/4)则U=U1+U2=(3+4cos(π/4))cos(θ+π/4)+j(3+4sin(π/4))sin(θ+π/4)几何形式则是将相量用矢量的方式表示，然后使用平行四边形法则求和，例如：将U1和U2表示为两个矢量，其大小与相位角分别为（3，θ）和（4，θ+π/4）。
画出两个相量的矢量图，然后在起点处连线，得到相量的和U。
通过测量得到U大小约为（5.7，θ+0.18π）。
4相量减法和相量加法类似，相量减法也有两种形式。
数学形式为将两个相量的实部和虚部相减。
例如：设U1=3cos(θ)+j3sin(θ)，U2=4cos(θ+π/4)+j4sin(θ+π/4)则U=U1-U2=(3-4cos(π/4))cos(θ-π/4)+j(3-4sin(π/4))sin(θ-π/4)几何形式则是将两个相量的矢量相减，例如：将U1和U2表示为两个矢量，其大小与相位角分别为（3，θ）和（4，θ+π/4）。
画出两个相量的矢量图，然后将U2的矢量反向，得到相量的差U。
通过测量得到U大小约为（2.2，θ-0.18π）。
第6章 相量法
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4
i2(t) 10cos(100 t 2)
j 5 4 2 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10cos(100t 1050 )
i2(t) 10sin(100 t 150 ) j 300 (1050 ) 1350
duC dt
uC
u(t )
i
+R
u
_
C L
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t 1 ) i2 2 I2 cos(w t 2 )
正弦稳态电路特点： 若所有激励为频率相同的 正弦量，则线性电路响应 为同频率的正弦量。
6.1 正弦量
ui1, i
i2
角频率： w
a2b2 ) j(a2b1 b12 b22
a1b2 )
c1
jc2
c1
a1b1 b12
a2b2 b2 2
c2
a2b1 b12
a1b2 b22
6.2 复数
4.复数乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A1 A2 A1 e j1 A2 e j2
*无线通讯频率：30 KHz - 3×104 MHz
6.1 正弦量
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
初相位：最大值与纵轴之间的
角度，与计时起点有关。
规定： ||
最大值点在 纵轴的左边
最大值点在 纵轴的右边
推迟到达 最大值点
提前到达 最大值点
【例】已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式；
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
相量图及相量运算.
48
45
U 2
U
2. 正弦量的相量表示法
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的 复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。 设正弦量: u Umsin( ω t ψ )
相量表示:
Ue j ψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值 U
或：
Um Ume jψ Umψ
相量辐角=正弦量的初相角 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
【例题讲解】 u(t ) 2U sin(t θ )
对应
o
U U θ
I 10030o A U 220 60o V
例1. 已知
i 141.4 sin(314t 30 )A u 311.1sin(314t 60 )V
91.3 78 91.3 cos(78 ) j sin(78 ) 19 j89.3
58269 58(cos269 j sin 269 ) 1.01 j57.99
例 某正弦电压
u 20 2 sin t 30 V
，求其相量表达式。
旋转矢量A具有正弦量的三个特征（幅值、初相 角和角频率）可用来表示正弦量。
u
正弦量
t
对应
相量图
U
ห้องสมุดไป่ตู้
314t 48)V ， 例 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
u u1 u 2
u 2 (t ) 50 sin( 314t 45)V
U 1
解：瞬时值相加很繁琐 采用相量图法计算：
20 cos30 j sin 30 2030 V U
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相量图及相量运算
一、相量图
相量图——相量用有向线段表示在复平面上就构成相量图。
模——有向线段的长度表示该相量的模，
辐角——模与实轴的夹角就等于该相量的辐角。
只有正弦周期量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
相量图的主要功能：
①在相量图上能清楚地看出电路中各个正弦量的初相位，以及各个相量间的相互关系。
②几个同频率正弦量的加减，可以借助于相量图用图解法进行。
相量图在电路的正弦稳态分析中有着重要的作用。
二、相量分析/相量法：对于含有L、C的正弦电路，基本的描述方程应是微一积分方程。
虽然正弦量的微、积分还是正弦量，但直接进行三角函数运算仍然是十分麻烦的。
在正弦稳态电路中，电流和电压等都是同频率的正弦时间函数，我们的任务仅在于分析和确定这些物理量的有效值（或最大值）与初相。
相量正是包含模与辐角两个要素，我们引入正弦量的相量表示法、向量图，通过相量这一数学工具可以用分析正弦稳态电路。
这种分析法，称之为相量分析/相量法。
相量法的实质：是一种数学变换，将时域（正弦时间函数）的运算转换成频域中复数运算。