《数值分析》第五章课件

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可以期望，以上式估计的误差作为计算结果 的补偿，可以提高计算精度.
以 pn 及 cn 分别表示第 n 步的预测值和校正值， 则 有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其 中 在 p n+1 与 c n +1 尚 未 计 算 出 来 的 前 提 下 ， 以
p n − c n 代替 p n +1 − c n +1 ：
对于一个常微分方程： dy y' = = f ( x, y ) , x ∈ [ a , b] dx
为了使解存在，一般要对函数 f 施加限制条件， 例如要求 f 对 y 满足 Lipschitz 条件：
f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ L y1 − y2
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同时， 一个有解的微分方程通常会有无穷多个解 例如
y ( xn +1 ) − y ( x n ) 代替 h
相对于以上可以直接计算 y n +1 的 Euler 公式（显 式） ，上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计 算，而隐式具有更好的稳定性.
y ' ( x n+1 ) ， 则得到后退的 Euler 公
求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的 初值 y n +1 ，计算
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
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微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
dy = cos(x) ⇒ y = sin(x) + a, ∀a ∈ R dx
为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会 在端点出给出，如下面的初值问题：
常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数 特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的. 并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑 其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级 数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.
解差分方程，求出节点上的函数值
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§2 Euler 方法
注意：对常微分方程 y' = f ( x, y) ，有
y ( x ) = f ( x, y( x )) y''( x) = fx ( x, y( x)) + f y ( x, y( x)) y'( x)
'
2－1 Euler 公式
对常微分方程初值问题：
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' 预测： pn+1 = yn−1 + 2hyn
例 用 Euler 方法求解初值问题
⎧ y ' = − y − xy 2 ⎨ ⎩ y (0) = 1 x ∈ [0, 0.6]
预测的改进： m n +1
4 = p n +1 − ( p n − c n ) 5
计算： mn' +1 =
f ( x n +1 , m n +1 )
局部截断误差：类似于后退 Euler，可计算出
y ( x n +1 ) − y n +1 ≈ −
h ''' y ( xn ) 12
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3
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估计上式中第二式当 y n+1 为准确值时的局部截断 误差：
h y ( xn +1 ) − yn +1 = y ( xn +1 ) − ( y ( xn ) + [ y ' ( xn ) + y ' ( xn +1 )]) 2 h3 (3) ≈ − y ( xn ) 12
(k )
Euler 公式.
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局部截断误差：
假设 y n = y ( x n ) ，则
y n +1 = y ( xn ) + hf ( xn +1 , y n +1 ) .
则有
yn+1 = hf y (xn+1,η)[ yn+1 − y(xn+1)] + y(xn ) + hy' ( xn ) + h2 y'' (xn ) + O(h3 )
因此பைடு நூலகம்
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' 计算： y n +1 = f ( x n +1 , y n +1 )
例 用改进的 Euler 方法求解初值问题
y (0.2) ≈ y1 = 0.8 y0 − 0.2 x0 y = 0.8
2 0
⎧ y '+ y + y 2 sin x = 0 ⎨ y (0) = 1 ⎩
假设第一式中的 y n−1 及 y n ，以及第二式中的 y n 及
y n+1 均是准确值，则有，
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y ( xn+1 ) − y n +1 1 ≈− 4 y ( xn +1 ) − y n+1
从而可得以下的事后估计式，
4 ⎧ y ( xn +1 ) − y n +1 ≈ − ( y n +1 − yn +1 ) ⎪ ⎪ 5 ⎨ ⎪ y( x ) − y ≈ 1 ( y − y ) n +1 n +1 n +1 n +1 ⎪ 5 ⎩
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2
——单步、隐式格式
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梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：
(0) ⎧ yn = yn + hf ( xn , yn ) ⎪ +1 ⎨ ( k +1) h (k ) ⎪ yn +1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , yn +1 )] ⎩ 2
2－4 改进的 Euler 公式
h= b−a m
Euler 公式的局部截断误差：
假设 y n = y ( xn ) 情况下， y ( xn+1 ) − y n+1 称为局部 截断误差.
y( xn+1 ) − yn+1 = y( xn ) + hy ' ( xn ) + y'' ( xn ) 2 h + O(h3 ) 2 y'' ( xn ) 2 − y( xn ) − hf ( xn , y( xn )) = h + O(h3 ) 2
y ( xn +1 ) − yn +1 = y ( xn +1 ) − ( y ( xn −1 ) + 2hf ( xn , y ( xn ))) ≈ h3 (3) y ( xn ) 3
此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正 公式：
⎧ y n +1 = yn −1 + 2hf ( xn , yn ) ⎪ ⎨ h ⎪ yn +1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , y n +1 )] ⎩ 2
上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但 计算量也很大. 实际上常采用的方法是， 用 Euler 公式求得初始值（预测） ，然后迭代法仅施行一 次（校正）——改进的 Euler 公式：
⎧ yn+1 = yn + f ( xn , yn ) ⎪ ⎨ h ⎪ yn+1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn+1, yn+1 )] ⎩ 2
⎧ dy ⎪ = f ( x, y ), x ∈ [a, b] ⎨ dx ⎪ ⎩ y (a) = y0
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常微分方程的数值问题并不是求函数的近 似，而是求解函数在某些节点的近似值.
例：我们对区间[a, b]做等距分割：
h = (b − a) / n, xi = a + ihi , (i = 0, , n)
⎧ y ' = f ( x, y ) ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y 0
= ( fx + f y y')( x, y( x)) = ( fx + f y f )( x, y( x))
数值求解的关键在于消除其中的导数项——称 为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一 个基本途径.
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现在假设求解节点为 xi = a + ih(i = 0,1, , m) ，其中
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
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2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
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2－3 梯形公式
由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等， 符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：
h yn+1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn+1 , yn+1 )] 2