线性代数-相似矩阵

第五章相似矩阵及二次型

§1 向量的内积、长度、正交性一、向量空间的内积、长度和夹角1．内积的定义：

内积的符号：括号或方括号

:

: 证（3）

二、向量空间的单位正交基

1．正交向量组定义

2．定理1 正交向量组线性无关

P113

解设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足

（a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0

即x1 ＋x2 ＋x3 = 0, x1－2x2 ＋x3=0

这是一个齐次线性方程组AX= 0,

即⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00121111321x x x ， 由⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010101~030111~121111A ，

得⎩⎨⎧=-=0231x x x ，方程组的通解为⎪⎩⎪

⎨⎧==-=c

x x c x 3210，即⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101321c x x x

取c = 1, 则a3=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-101即为所求。

3．正交基、规范正交基（单位正交基） 正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。

规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。 4．向量正交化

施密特方法：将基改造为正交基（P114）

例2 用施密特方法把基正交化（P114）

例3 已知 T a )1,1,1(1=，求一组非零向量32,a a ，使32,1,a a a 两两正交。

解 32,a a 应满足01

=x a T

，即

0321=++x x x

解这个齐次线性方程组得213

x x x --=，通解为

⎪⎩⎪⎨⎧--===2

13221

1c c x c x c x ，即⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11010121321c c x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110,10121ξξ，把基础解系正交化

111212312)

,(),(,ξξξξξξξ-==a a ，于是得

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2112110121110,101232a a

三、正交矩阵 1．定义4

因为

1A A E -=

所以 A 是正交矩阵←→1

T A A -= （充分必要）

2．正交矩阵的构造

定理

证 （略）

3．正交矩阵的性质P116

4．正交变换的保形性（略）

定义5 若P为正交矩阵，则线性变换Y= PX称为正交变换

正交变换保持向量的内积、长度、夹角

P---正交矩阵

5. 矩阵的QR分解（略）

定理5.8设A是满秩n阶矩阵，则存在n阶正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A=QR

证明：（略）

§2 方阵的特征值与特征向量1.定义6 (P117)

2.特征矩阵、特征多项式、特征方程

3. 求特征值和特征向量的步骤

例（类似P118 例6）

13作业

P134 1, 2(1), 3，4，5，

例 8 设λ是方阵A 的特征值，证明

（1）2λ是2A 的特征值；

（2）当A 可逆时，

λ

1

是1

-A 的特征值

证 （1）因为λ是方阵A 的特征值，设p 是λ对应的特征向量，故有 p Ap λ=，

p Ap p A Ap A p A 22)()()(λλλ====

所以2

λ是2

A 的特征值。

（2）当A 可逆时，1

-A 存在，由p Ap λ=，得p A p 1-=λ， 因为0,0≠≠λp ，所以有p p A λ11

=

-，即λ

1是1-A 的特征值。 3．特征向量的性质

例9 设三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，求 A*+3A- 2E 的特征值。 解 因为A 的特征值不为0，所以A 可逆，由

*

1

1A A A =-，得1

*-=A A A ，而2321-==λλλA ，所以

A*+3A- 2E= )(2321

A E A A ϕ令

=-+--

232)(1-+-=-λλλϕ

从而得)(A ϕ的特征值为3)2(,3)1(,1)1(=-=--=ϕϕϕ。

（即P120的定理2）

§3 相似矩阵

1．定义7 （P121）

2．性质

（即定理3 P121）

3． 矩阵可对角化的条件

定理4

推论

4 例11 （P123）

若1-Λ=P P A ，那么1-Λ=P P A K K （第二章 P45例13）

§4 对称矩阵的对角化 1． 定理 定理5

定理6

定理7

3．例

已知实对称矩阵 ⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛----0111101111011110

求正交矩阵Q, 使AQ Q T 为对角矩阵。 解