初中数学教程正切
九年级数学正切知识点
九年级数学正切知识点正文：正切（Tangent）是三角函数中的一种，它在数学中有着重要的应用。
在九年级的数学学习中，正切函数是一个重要的知识点。
本文将介绍正切函数的定义、性质以及它在求解三角形问题中的应用。
一、正切函数的定义正切函数的定义可以通过直角三角形来解释。
在一个直角三角形中，假设角A是一个锐角，A的对边长度为a，邻边长度为b。
那么角A的正切定义为对边与邻边的比值，即tanA = a/b。
二、正切函数的性质1. 定义域和值域正切函数的定义域是所有不等于π/2 + kπ (k为整数)的实数。
值域是整个实数集。
2. 奇偶性正切函数是一个奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3. 周期性正切函数的周期为π，即tan(x + π) = tan(x)。
4. 导函数正切函数的导函数为sec^2(x)。
5. 正切函数的图像正切函数的图像是由无数个周期为π的波峰和波谷组成的连续曲线。
三、正切函数的应用正切函数在解决三角形问题时具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用。
1. 解直角三角形问题在已知一个角和一个边的情况下，可以利用正切函数求解其他未知边的长度。
例如，已知一个锐角的正切值，可以使用反正切函数求解这个角的度数。
2. 测量高度或距离当无法直接测量高度或距离时，可以利用正切函数进行间接测量。
例如，可以利用三角仪测量地标的倾斜角度，再利用正切函数求解高度。
3. 计算机图形渲染在计算机图形渲染中，正切函数用于计算物体的旋转和投影。
通过调整正切值，可以实现物体的旋转效果。
4. 信号处理在信号处理中，正切函数用于处理周期信号的相位和频率。
正切函数可以将信号从时域转换到频域，方便进行频谱分析。
以上是正切函数的定义、性质以及应用的简要介绍，正切函数作为九年级数学的重要知识点，可以帮助我们更好地理解三角函数的概念和应用。
通过掌握正切函数的性质和运用，我们能够更好地解决各种三角形相关的问题，同时也能够应用到其他领域的数学和科学问题中。
正割函数知识点总结初中
正割函数知识点总结初中一、正切函数的定义正切函数的定义可以用直角三角形的边长来表示。
设直角三角形的一个锐角为θ，那么正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边其中，对边指的是与角θ相对的那条边，邻边指的是与角θ相邻的那条边。
通过这个定义，我们可以得到正切函数的值与角度的关系，从而可以求解各种三角形的问题。
二、正切函数的性质1. 周期性：正切函数是周期函数，它的周期是π。
也就是说，tan(θ + kπ) = tanθ，其中k为整数。
这个性质在图像中也可以得到验证，正切函数的图像在一个周期内是重复的。
2. 奇函数：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
这一点也可以从定义中得到验证。
3. 定义域：正切函数的定义域是全体实数，需要注意的是当邻边为0时，正切函数的值是无穷大。
这个点后面会在图像中得到进一步说明。
4. 导数：正切函数的导数是sec^2θ，这个公式也是非常重要的，对于求解正切函数的导数问题有很大的帮助。
5. 定义域：正切函数的定义域是全体实数，需要注意的是当邻边为0时，正切函数的值是无穷大。
这个点后面会在图像中得到进一步说明。
6. 单调性：正切函数的单调性也是一个非常重要的性质，其实这个性质与正切函数的图像有很大的关系。
正切函数的图像是振荡上升的，说明它是严格递增的。
三、正切函数的图像正切函数的图像是一条振荡上升的曲线，根据定义可以发现，当θ=0时，正切函数的值为0；当θ=π/4时，正切函数的值为1；当θ=π/2时，正切函数的值为无穷大。
这几个点是正切函数图像的特征点，在绘制图像时来占有重要的地位。
正切函数的图像有一些特点：首先是周期性，图像在一个周期内是重复的，这一点也符合正切函数的周期性；其次是渐近线，正切函数的图像在每个周期内有一条水平的渐近线，也就是说，当θ趋近于一些特定的值时，正切函数的值趋近于无穷大。
这个特征点也是正切函数图像的一个重要特征。
正切函数的图像还有一些其他的特点，比如对于不同的参数a和b，正切函数的图像会产生相应的变化，这些特点在求解正切函数的问题时也是非常重要的。
初中正弦余弦正切公式
初中正弦余弦正切公式“初中数学必背三角函数公式、三角函数值”主要包括正弦、余弦、正切函数的定义式和关系式，特殊锐角的正弦、余弦、正切值。
一、正弦、余弦、正切的定义假设在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边长度分别记为a、b、c，则有（注：初中数学里，三角函数的定义只适用于直角三角形。
）：1、锐角A的正弦值、余弦值、正切值的定义式分别如下：（1）∠A的正弦值=∠A的对边：斜边，记作sinA=a/c。
（2）∠A的余弦值=∠A的邻边：斜边，记作cosA=b/c。
（3）∠A的正切值=∠A的对边：∠A的邻边，记作tanA=a/b。
2、锐角B的正弦值、余弦值、正切值的定义式分别如下：（1）∠B的正弦值=∠B的对边：斜边，记作sinB=b/c。
（2）∠B的余弦值=∠B的邻边：斜边，记作cosB=a/c。
（3）∠B的正切值=∠B的对边：∠B的邻边，记作tanB=b/a。
【注】正弦=“对比斜”、余弦=“邻比斜”、正切=“对比邻”。
3、互余的两个角间的正弦、余弦、正切值关系假设在直角三角形ABC中，∠C为直角，则∠A与∠B互余。
通过∠A和∠B的正弦、余弦、正切值的定义式的对比，我们不难发现：∠A的正弦值与∠B的余弦值相等，∠A的余弦值与∠B的正弦值相等，∠A的正切值与∠B的正切值互为倒数。
所以，当∠A与∠B互余时我们有以下3个同时成立的等式关系：（1）sinA=cosB；（2）sinB=cosA；（3）tanA·tanB=1。
二、同角的正弦值、余弦值、正切值间的关系式1、商数关系：tanA=sinA/cosA；tanB=sinB/cosB.2、平方关系：同一个锐角的‘正弦的平方’与‘余弦的平方’的和为1，即(sinA)^2+(cosA)^2=1；(sinB)^2+(cosB)^2=1.3、倒数关系：tanA·cotA=1；tanB·cotB=1.【注】“cotA”称为为∠A的余切，它等于∠A的邻边比上∠A的对边。
正切的课件
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
九年级数学下册《正切》教案、教学设计
3.提高拓展题：完成课本习题第5题，探讨正切函数图像的性质，以及与正弦、余弦函数的关系。此题旨在提高学生的分析问题和逻辑推理能力。
4.思考题：思考正切函数在生活中的应用，并撰写一篇短文，阐述正切函数在实际问题中的作用。此题旨在培养学生的写作能力和创新意识。
（二）教学难点
1.正切与正弦、余弦的区分：学生在学习过程中容易混淆这三个三角函数，需要通过直观的图形和实际例题来加深理解。
2.正切在实际问题中的应用：如何将正切函数应用于解决实际问题是学生的一个难点，需要教师设计贴近生活的情境题，引导学生运用所学知识解决。
3.正切函数图像的理解：正切函数的图像与其他三角函数不同，需要学生通过动态演示等方法，直观感受其变化规律。
（三）教学设想
1.创设情境，引入新课：通过生活中的实例，如测量旗杆高度等，引出正切的概念，激发学生探究的兴趣。
2.自主探究，合作交流：给予学生足够的时间，让他们自主探究正切的定义和性质，鼓励学生之间进行讨论、交流，共同解决问题。
3.多元化教学手段，突破重难点：运用多媒体、教具等教学手段，结合实际例题，帮助学生理解正切的符号规律和图像特点。
九年级数学下册《正切》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解正切的定义，知道正切是直角三角形中锐角的边的比值，能够准确运用正切定义进行计算。
2.掌握正切的符号规律，知道在各个象限内正切的符号特点，能够根据角度判断正切值的符号。
3.学会使用计算器计算正切值，掌握正切函数在单位圆上的变化规律，了解正切函数的图像特点。
三、教学重难点和教学设想
九年级数学上册《正切》教案、教学设计
1.学生在完成作业时，要注重解题思路的清晰和计算过程的准确；
2.鼓励学生尝试不同的解题方法，培养他们的创新思维；
3.小组合作题要求各成员积极参与，共同完成任务，锻炼团队合作能力；
4.学生在完成作业后，要对自己的解答进行反思，总结正切知识在实际问题中的应用。
d.布置课后作业，要求学生结合本节课所学，尝试解决更复杂的实际问题，为下一节课的学习做好铺垫。
五、作业布置
为了巩固学生对正切知识的掌握，提高他们运用正切解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第章节后的练习题1-5，要求学生在理解正切定义的基础上，熟练计算正切值，并掌握正切在直角三角形中的应用。
4.小组合作题：以小组为单位，共同探讨以下问题，并在课堂上进行分享：
a.正切函数的图像特点及其与正弦、余弦函数图像的联系与区别；
b.正切函数在工程、物理等领域的实际应用。
5.思考拓展题：思考以下问题，并尝试给出解答：
a.正切函数的周期性和奇偶性是如何影响其在实际问题中的应用的？
b.如何利用正切函数的性质解决一些复杂的几何问题？
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.正切的概念及其在直角三角形中的应用；
2.正切函数的图像、性质，以及在实际问题中的应用；
3.培养学生运用正切知识解决实际问题的能力。
（二）教学难点
1.正切函数图像和性质的理解，特别是周期性和奇偶性；
2.解决涉及正切的几何问题时，对问题的分析和解决策略的运用；
3.学生对正切知识的灵活运用，特别是在综合问题中的应用。
d.针对学生的错误，进行针对性讲解，帮助他们纠正错误，巩固知识。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的正切知识进行总结，提炼关键点，形成知识体系。
冀教版九年级数学上册正切课件
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')
探究新知
引导思考:
(3)由三角形相似的性质可以得到
BC
与 B C 之间的关系吗?
AC
AC
（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴
BC
AC
BC
BC
=
，即
.
BC
AC
AC
AC
探究新知
2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'.
结论：tan
∠的邻边
B＝
＝ .
∠的对边
tan A与tan B互为倒数，即tan A×tan B＝1.
典例精讲
例1:在Rt△ABC中,∠C= 90°.
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB 的值.
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.
典例精讲
解:(1)在Rt△ABC中,
个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形
有什么关系？在这些直角三角形中，锐角Ａ的对边与邻边的比值
1 1
1
,
，……有怎样的关系？由此你能得到什么结论？
B2
B1
当直角三角形中一锐角确定时，
B
其对边与邻边的比值也随之确定。
A
C
C1
C2
探究新知
知识归纳
正切的定义
1
，tan 60°＝
.
.
第1课时
初中直角三角函数公式
初中直角三角函数公式
直角三角函数是初中数学学习中的一个重要知识点，下面整理了直角三角函数公式，供大家学习参考。
直角三角函数公式
正弦：sinA=a/c (即角A的对边比斜边)
余弦：cosA=b/c (即角A的邻边比斜边)
正切：tanA=a/b (即角A的对边比邻边)
余切：cotA=b/a (即角A的邻边比对边)
正割：secA=c/b (即角A的斜边比邻边)
余割：cscA=c/a (即角A的斜边比对边)
直角三角形的判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。
那么这个三角形为直角三角形。
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4.2 正切
教学目标
【知识与能力】
使学生了解正切的概念，能够正确的用tanA表示直角三角形（其中一个锐角为∠A）中两边的比。
【过程与方法】
经历探索正切定义的过程，逐步培养观察、比较、分析、归纳的能力，在讨论的过程中，培养团队意识。
【情感态度价值观】
逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。
培养学生独立思考、勇于创新的精神。
教学重难点
【教学重点】
了解正切的概念。
【教学难点】
正切的概念的运用
课前准备
无
教学过程
一、预学、指导预习
学习目标：理解并掌握正切的定义。
预学检测：
1、30°、45°、60°特殊角的正余弦函数值。
2、计算。
⑴、Sin30°Cos45°＋Cos30°－Sin45°Sin60°
⑵、用计算器求Sin35°25′＝ Cos40°45′＝
⑶、Sinα＝0.8873，求∠α。
Cosα＝0.2034，求∠α。
二、探究、组织交流
如图，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用
仪器测得塔顶的仰角为25°(在视线与水平线所
成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平
线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m .
你能求出上海东方明珠塔的高BD 吗？
分析：求东方明珠塔高的关键是求三角形ABC 的边长BC ，因为塔高等于BC 加上仪器的高1.7m. 而现在已知的是AC ，我们能不能像探索正弦值一样来探究AB BC 的值呢？ 类似地，可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值也为一个常数.
三、精导、讲授新知 定义 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作 tan α，即
其使用方法与求正弦值或余弦值类似，只是按的键应为 键．
提问：现在你能求出图4-15中东方明珠塔的高BD 吗？
在右图的Rt △ABC 中，∠A =25°，AC =1000m ，
∠A 的对边为BC ，邻边为AC ，
因此
从而 BC ≈ 1000×tan25°≈ 466.3(m). 因此铁塔的高BD =466.3+1.7=468(m).
四、提升、指导练习
例1 如图4-17，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，
BC =3，求 tan A ，tan B 的值。
例2 求 tan 30°，tan60°的值． 分析：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°
∠B =60°求 tan30°tan60°的值？
（学生自主完成）
提问： tan45°的值是多少？
填空：把30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列
30° 45° 60° sin
cos
tan
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6
角 的对边 tan = . αα α 角 的邻边
解: 3tan = = 4
BC A AC ； 4tan = = .3AC B BC tan25==.1000BC BC AC ︒
1.7m
求：SinA、CosA、tanA的值。
2. 用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001)：tan 21°13’
已知正切值，求相应的锐角(精确到1′)：tan a= 2.874
五、课后反思：
本课时内容是对前几课时所学知识进一步的延伸变换，在情景导入部分适当引导，学生即能够理解，
在合作探究环节依旧以引导为主，鼓励学生自主探究，发现问题，解决问题，进一步提升学生的独立思考能力.。