一类多变量导数压轴题的破解策略

导数压轴题的几种处理方法

等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法： 1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算 1+ ln x 例：已知函数 f (x ) = ．（Ⅰ）若函数在区间 (a , a + 12) （其中 a > 0 ）上存在极值，求实数 a 的取值范围；（Ⅱ）如果当 x ≥ 1 时，不等式 f (x ) ≥ k 恒成立，求实数 k 的取值范围； x +1 解：（Ⅰ）因为 f (x ) = 1+ ln x ， x > 0 ，则 ' = - ln x ， … 1 分 x f (x ) x 当 0 < x < 1 时， ' > 0 ；当 x > 1 时， ' ．所以 f (x ) 在（0，1）上单调递 f (x ) f (x ) < 0 增；在 (1, +∞) 上单调递减，所以函数 f (x ) 在 x = 1 处取得极大值． … 2 分因为函数 f (x ) 在区间 (a , a + 1 ) （其中 a > 0 ）上存在极值， 2 ?a < 1 1 所以 ?? 1 , 解得 < a < 1. … 4 分 ?a + > 1 2 2 ? （Ⅱ）不等式 f (x ) ≥ k ，即为 (x +1)(1+ ln x ) ≥ k , 记 g (x ) = (x +1)(1+ ln x ) , x +1 x x 所以 ' ' x - ln x … 6 分 [(x +1)(1+ ln x )] x - (x +1)(1+ ln x ) g (x ) = x 2 = x 2 , 令 h (x ) = x - ln x , 则 h '(x ) = 1 - 1x ， x ≥ 1,∴ h '(x ) ≥ 0. ∴ h (x ) 在 [1, +∞) 上单调递增，∴[h (x )]min = h (1) = 1 > 0 ，从而 g '(x ) > 0 故 g (x ) 在 [1, +∞) 上也单调递增，∴[g (x )]min = g (1) = 2 ，所以 k ≤ 2 …8 分 2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围

2020年高考数学导数压轴题每日一题 (1)

第 1 页共 1 页 2020年高考数学导数压轴题每日一题例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例1 (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－10＋m ＝0?m ＝1，定义域为{x |x >－1}， f ′(x )＝e x －1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2 >0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132 <0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－12，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0????－12g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0.

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读淘宝上的博约书斋店铺：唯一正版且第二版例.（2018全国3卷第21题）已知函数()() ()x x ax x x f 21ln 22-+++= （1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0x 时，()0>x f ；（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a 【解析】（1）若0=a ，则()()()()()?? ? ??? +- ++=-++=221ln 221ln 2x x x x x x x x f 令()()221ln +-+=x x x x g ，则()()()()0212411'2 2 2>++=+-+=x x x x x x g 所以()x g 在()+∞,0单增，又因为()00=g 故当01<<-x 时，()()00=x 时，()()00=>g x g ，即()0>x f ；点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》在第四章在4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数单独存在，则一次求导就瞬间可破。（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数=y ()x f 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前12-n 阶导数等于0，第n 2阶导数小于0。） ()()()21 21ln 21'2-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f ()()()()()()2 211431ln 22121ln 21''+++++=-++++++=x a ax x x a x ax x x ax x f ，()00''=f ()()3 211 662'''+++-+= x a x ax ax x f ，由()0'''=x f 得6 1 - =a 下证：当6 1 - =a 时，0=x 是()x f 的极大值点， ()()() 3 1631 '''++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减

函数与导数压轴题方法归纳与总结

函数与导数压轴题方法归纳与总结题型与方法题型一切线问题例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结：题型二利用导数研究函数的单调性例2 已知函数f (x )＝ln x －a x . (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为3 2，求a 的值； (3)若f (x )

归纳总结：题型三已知函数的单调性求参数的围例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数，且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ （1）求θ的值. （2）若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数，求m 的取值围. 归纳总结：

题型四已知不等式成立求参数的围例4..设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈????12，2都有f (s )≥g (t )成立，数a 的取值围. 归纳总结：跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++（m,n 为常数）在x=1处的切线为x+y －2=0（10月重点高中联考第22题）（1）求y=f(x)的单调区间；

（2）若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ，使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立，数a 的取值围。跟踪2. 设f (x )＝－13x 3＋12 x 2＋2ax .（加强版练习题） (1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值围； (2)当0