高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是让许多同学感到头疼的难点。
但别担心，让我们一起来深入剖析一下这些问题，找到解题的窍门。
首先，我们来谈谈排列组合。
排列组合是研究从给定的元素中按照一定的规则选取部分或全部元素的方法数。
比如说，从 5 个不同的苹果中选 2 个，有多少种选法？这就是一个简单的组合问题。
排列和组合的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑。
举个例子，从 3 个不同的字母 A、B、C 中选 2 个进行排列，有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这 6 种情况；但如果是组合，就只有 AB、AC、BC 这 3 种情况。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原理和方法需要掌握。
加法原理：如果完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
乘法原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如，安排一场晚会，有 5 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目，若歌唱节目和舞蹈节目相间演出，有多少种安排方法？我们可以先排舞蹈节目，有 A(3,3)种方法，再在舞蹈节目之间和首尾共 4 个位置排歌唱节目，有 A(5,5)种方法，根据乘法原理，总的安排方法有 A(3,3) × A(5,5) 种。
在排列组合问题中，还有一些常见的题型，比如捆绑法、插空法、隔板法等。
捆绑法：当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
例如，4 个男生和 3 个女生排成一排，要求 3 个女生必须相邻，我们可以先把3 个女生看作一个整体，与4 个男生一起排列，有A(5,5)种方法，然后 3 个女生内部有 A(3,3)种排列方法，所以总的排列方法有 A(5,5) ×A(3,3) 种。
高中数学练习题附带解析排列与组合的概率与计算
高中数学练习题附带解析排列与组合的概率与计算高中数学练习题附带解析：排列与组合的概率与计算一、排列与组合的概念简介在数学中，排列与组合是非常基础且重要的概念。
排列通俗的理解就是将对象按照一定的方式排列，而组合则是从一组对象中选择若干个对象（不考虑顺序）。
使用排列与组合，我们可以解决很多实际问题，比如说在排队、选票、集合中选择、生肖配对等许多场景中都能够应用到这些概念。
二、排列与组合的基本公式1. 排列的基本公式在排列中，我们有 n 个对象，选取其中的 r 个对象进行排列，一共会有 P(n,r) 种排列方式，其中 P(n,r) 的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示从 1 到 n 的阶乘（即 n! = 1×2×3×...×n），! 符号表示阶乘。
2. 组合的基本公式在组合中，我们有 n 个对象，选取其中的 r 个对象进行组合，一共会有 C(n,r) 种选择方式，其中 C(n,r) 的计算公式为：C(n,r) = n! / [r! × (n-r)!]三、练习题及解析1. 把“X,Y,Z”这三个字母排成三位无重复数字，其排列方式有多少种？解析：这是一个排列问题。
由于要求无重复数字，因此这里的 n 为3，r 也为 3，代入排列公式得：P(3,3) = 3! / (3-3)! = 3! / 0! = 6因此，排列方式有 6 种。
2. 从10个人中选出5人组成一个物理小组，其中必须有张三、李四，问有多少种选择方式？解析：这是一个组合问题。
由于必须选择张三、李四这两个人，因此我们只需要在剩下的 8 个人中选取 3 人即可，代入组合公式得：C(8,3) = 8! / [3! × (8-3)!] = 56因此，选择方式有 56 种。
3. 由“T,O,M”这三个字母组成的不同三位字母组合的个数是？解析：这是一个组合问题。
由于不考虑顺序，因此这里的 n 为 3，r 也为 3，代入组合公式得：C(3,3) = 3! / [3! × (3-3)!] = 1因此，不同三位字母组合个数为 1。
排列组合概率例题与讲解
排列组合概率例题与讲解排列、组合与概率一、基本知识点回顾：（一）排列、组合1、知识结构表：2、两个基本原理：（1）分类计数原理（2）分步计数原理3、排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：（3）全排列公式：4、组合（1）组合、组合数定义（2）组合数公式：（3）组合数性质：①②③④⑤即：5、思想方法（1）解排列组合应用题的基本思路：①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2）解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。
④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。
⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
⑦穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。
（二）二项式定理历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；（三）概率1、随机事件的概率2、等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包容的结果有m个，那么事件A的概率；3、互斥事件的概率：（1）互斥事件：试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：试验时如果两个互斥事件A、B必有一个发生，那么称A、B为对立事件；(2) 互斥事件有一个发生的概率：设A、B互斥，把A、B中有一个发生的事件记为A+B，则有：P（A+B）=P（A）+P（B）(3) 把一个事件A的对立事件记为，则：4、相互独立事件的概率：（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件；（2）相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件A、B同时发生的事件记作，则：(3) 独立重复试验：如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：5、解概率题关键是把应用题转化为相应的概率模型，即要弄清所求事件是属于何种事件，然后利用相关的公式进行计算。
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是重点和难点。
对于即将参加2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握这部分知识至关重要。
排列组合是研究从一些元素中取出部分元素，按照一定的顺序排列或组合成一组的方法数。
它的应用广泛，在解决实际问题时能帮助我们准确计算各种可能性。
首先，我们来了解一下排列的概念。
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n,m) 。
其计算公式为：A(n,m) ＝ n! ／（n m)！。
例如，从 5 个不同的球中取出 2 个进行排列，那么排列数就是 A(5,2) ＝ 5! ／（5 2)！＝ 5×4 ＝ 20 种。
组合则是从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
组合数的计算公式是：C(n,m) ＝ n! ／ m!×（n m)！。
比如，从 5 个不同的球中取出 2 个的组合数就是 C(5,2) ＝ 5! ／ 2!×（5 2)！＝ 10 种。
在实际解题中，我们需要准确判断是用排列还是组合。
如果元素的顺序对结果有影响，就用排列；如果顺序无关，就用组合。
接下来，我们看一些常见的题型。
“相邻问题”是经常出现的一种。
例如，将5 个人排成一排，其中甲、乙两人要相邻，我们可以将甲、乙看作一个整体，先计算整体的排列数，再计算甲、乙内部的排列数。
即 A(4,4)×A(2,2) 。
“不相邻问题”则相反。
比如，将 5 个人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻。
我们先计算所有人的排列数，再减去甲、乙相邻的情况，即 A(5,5) A(4,4)×A(2,2) 。
“定序问题”也比较典型。
若有 5 个人排成一排，其中甲必须在乙前面，此时无需考虑甲、乙的顺序，直接计算全排列除以 2 即可，即A(5,5) ／ 2 。
在排列组合问题中，还常常需要用到分类讨论和分步计算的思想。
分类讨论时，要确保不重复、不遗漏。
高三数学冲刺专题练习—排列组合概率(含答案详解) (2)
高三数学冲刺专题练习——排列组合概率1. 概率1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p 为 .【分析】根据题意，分析可得两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，由相互独立事件的概率公式可得关于p 的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为2125， 则两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=， 则有2425p =，解可得25P =． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，注意分析事件之间的关系，属于基础题．2．某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为 . 【分析】根据古典概率模型的概率公式即可求解．【解答】解：4袋不同垃圾投4个不同的垃圾桶有4424A =种不同投法， 而恰好有两袋垃圾投对的投法数为246C =， ∴恰好有两袋垃圾投对的概率61244P ==． 【点评】本题考查古典概率模型的概率公式，属基础题．3．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为 .【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为23A ，然后进行计算即可． 【解答】解：每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，∴四名同学总共的选择为44个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，剩下两名同学的选择有23A 种，∴恰有两人参加同一项活动的概率为21244349416C C A ⋅⋅=． 【点评】本题考查了古典概型及其概率的计算公式，解题的关键是能用排列组合的知识将满足条件的选择方案数计算出来．4．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组的概率是 . 【分析】本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算【解答】解：不同的分组数为3227421052!C C C a ==甲、乙分在同一组的方法种数有（1）若甲、乙分在3人组，有122542152!C C C =种（2）若甲、乙分在2人组，有3510C =种，故共有25种， 所以25510521P ==． 【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的5．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是 .【分析】所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．【解答】解：所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法有(1，2，3)、(1，3，4)、(1，4，5)、(1，5，6)、(1，6，7)、(1，7，8)、(1，9，10)、(2，3，5)、(2，4，6)、(2，5，7)、(2，6，8)、(2，7，9)、(2，8，10)、(3，4，7)、(3，5，8)、(3，6，9)、(3，7，10)、(4，5，9)、(4，6，10)，共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是2011206=． 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．6．把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为.【分析】利用插空法和古典概型可解决此题．【解答】解：根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共2 1155C=种，其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有(1，1，10)，(1，10，1)，(10，1，1)，(2，2，8)，(2，8，2)，(8，2，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(4，4，4)，(5，5，2)，(5，2，5)，(2，5，5)共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有551342-=（种)，甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有1936C-=（种)，∴甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为61 427=．【点评】本题考查插空法和古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．7．2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.【分析】分郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，四类分别求出每地至少安排一名专家和甲，乙被安排在不同地点工作的排法种数，从而得出答案．【解答】解：当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有155C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有2510C=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有3510C=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有455C=种排法；所以每地至少安排一名专家共有51010530+++=种不同的排法，若甲，乙被安排在不同地点工作，当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有122C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有11236C C⋅=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有12236C C⋅=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有13232C C ⋅=种排法； 所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有266216+++=种不同的排法， 所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为1683015=． 【点评】本题考查古典概型及其计算公式，考查学生的分析解决问题的能力，属于中档题．8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A ，B ，C 三个项目的意向如表：扶贫项目 ABC选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为 .【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【解答】解：由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以． 由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法． （3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有211223()10A C C +=种方法．故基本事件共有241016++=种． 甲乙选同一种项目的共有246+=种． 故甲乙选同一项目的概率63168P ==． 【点评】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题， 9．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为 .【分析】分类计算游客甲去梵净山包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率计算公式即可．【解答】解：设{A=游客甲去梵净山}，则基本事件的总数为112321431236C CC AA⨯=个．事件A发生时①若甲单独去梵净山，有22326C A⨯个基本事件，②去梵净山的游客除甲外还有1人，则有12326C A⨯=个基本事件．P∴（A）661363+==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，在求事件A包含的基本事件个数时，牵扯到了平均分组问题，容易出错，本题为中档题．10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数2101-60岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1-代表“生活不能自理”．按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是35（用分数作答）．【分析】由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．列举出从这五人中抽取3人的选法，列举出恰有1位老龄人的健康指数不大于0的选法，代入古典概型概率公式求出．【解答】解；该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，)B，(1，3，4)，(1，3，)B，(1，4，)B，(2，3，4)，(2，3，)B，(2，4，)B，(3，4，B，)，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：(1，2，)B ，(1，3，)B ，(1，4，)B ，(2，3，)B ，(2，4，)B ，(3，4，B ，)，∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为63105= 故答案为：35【点评】本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是 .【分析】根据等差数列前n 项和公式得出首项与公差m 的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论． 【解答】解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m 的等差数列， 设“男”分的橘子个数为1a ，其前n 项和为n S ，则51545802S a m ⨯=+⨯=， 即1216a m +=，且1a ，m 均为正整数， 若12a =，则7m =，此时530a =， 若14a =，6m =，此时528a =， 若16a =，5m =，此时526a =， 若18a =，4m =，此时524a =， 若110a =，3m =，此时522a =， 若112a =，2m =，此时520a =， 若114a =，1m =，此时518a =， ∴ “公”恰好分得30个橘子的概率为17． 【点评】本题考查了等差数列的性质，古典概型的概率计算，属于中档题．12．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为 .【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有42214-=种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有224⨯=种，42147P ∴==． 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．13．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为 . 【分析】利用古典概型、排列组合直接求解．【解答】解：冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个， 基本事件总数2721n C ==，买到隐藏款包含的基本事件个数11166m C C ==， ∴买到隐藏款的概率62217m P n ===． 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，则恰好得到10分的概率是 6831024． 【分析】分类讨论，依据独立重复试验公式即可求得恰好得10分的概率． 【解答】解：抛掷一枚硬币，得1分的概率为12，得2分的概率为12， 恰好得到10分可分为6种情况：5个2分，共抛掷5次，概率为55511()232C ⨯=； 4个2分，2个1分，共抛掷6次，概率为466115()264C ⨯=； 3个2分，4个1分，共抛掷7次，概率为377135()2128C ⨯=； 2个2分，6个1分，共抛掷8次，概率为28817()264C ⨯=；1个2分，8个1分，共抛掷9次，概率为19919()2512C ⨯=； 10个1分，共抛掷10次，概率为1011()21024=；故恰好得到10分的概率是1153579168332641286451210241024+++++=，故答案为：6831024． 【点评】本题考查了独立重复试验的应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．15．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是120． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66A 种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66720A =种结果， 满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高， 则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有3333A A 种结果， ∴后排每人均比前排同学高的概率是36172020=， 故答案为：120【点评】本题考查等可能事件的概率，站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素．2. 排列组合1．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成 32 种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若角排在一或五，有12A 种方法，再排商、徵，有22A 种方法，排宫、羽用插空法，有23A 种方法，利用乘法原理可得：12222324A A A =种， 若角排在二或四，同理可得：有222228A A =， 根据分类计数原理可得，共有24832+=种，故答案为：32．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势．2．从0，1，2，3，4，5中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有600个．【分析】根据题意，分当0被选用，且用两次；当0被选用，但用一次；当0没被选用三种情况讨论求解即可．【解答】解：当0被选用，且用两次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选2个位置放0，再从剩下的5个数中选2个数字排在其他两个位置上，故有223560C A=个；当0被选用，但用一次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选1个位置放0，再从剩下的5个数字中选2个数字，进而从选出的两个数字中选一个为出现两次的数字，最后在剩下的三个位置上选一个位置放置选出的2个数字中出现1次的数字，进而完成任务，故有12113523180C C C C=个；当0没被选用，则从1，2，3，4，5选3个数字，再从中选一个出现两次的数字，最后将其他两个数字选2个位置排序，故有312534360C C A=个所以，一共有60180360600++=个．故答案为：600．【点评】本题考查排列组合，考查学生推理能力，属于中档题．3．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有246C=种选法，②、将3名学生分为2组，有233C=种分法，③，进而将2组全排列，对应2个社团，有222A=种情况，则恰有2个社团没有同学选报的报法数有63236⨯⨯=种； 故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种； 故答案为：36【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，关键是正确进行分步分析．4．设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，则集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”元素个数为 130 ．【分析】从条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由{1i x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”， 由于||i x 只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况： ①i x 中有2个取值为0，另外3个从1-，1中取，共有方法数：2352⨯； ②i x 中有3个取值为0，另外2个从1-，1中取，共有方法数：3252⨯； ③i x 中有4个取值为0，另外1个从1-，1中取，共有方法数：452⨯．∴总共方法数是：23324555222130⨯+⨯+⨯=．故答案为：130．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +为奇数的不同排列方法有 180 种．【分析】按照分类讨论，先选后排的步骤，求出结果． 【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c 为奇数，d e 为偶数时，有323336A A ⨯= 种； 若a b c 为偶数，d e 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种； 故a b c d e +为奇数的不同排列方法有共36144180+=种， 故答案为：180．【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．6．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 40 种．【分析】根据题意，先排好7个空车位，注意空车位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3车插入6个空位中，注意甲必须在乙、丙两车之间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空车位，由于空车位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三车的顺序，将3辆车插入6个空位中，则共有361120A ⨯=种情况， 由于甲车在乙、丙两车之间，则有符合要求的坐法有1120403⨯=种；故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．7．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有 29 种不同选取方法【分析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分5种情况讨论： ①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C =种， ②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C ⨯⨯=种， ③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种．故答案为：29．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．8．有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是34．（用数字作答）【分析】根据题意，按取出3张的卡片中写有1的卡片的张数分4种情况讨论，求出每种情况下排出不同的三位数的个数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①、取出3张的卡片全部是写有数字1的，有1种情况，②，取出3张的卡片有2张写有数字1的，有11339C C=种情况，③，取出3张的卡片有1张写有数字1的，有223318C A=种情况，④，取出3张的卡片没有写有数字1的，有336A=种情况，则一共有1918634+++=种情况，即可以排出34个不同的三位数；故答案为：34．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意6张卡片中相同的情况．9．分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，有246C=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有336A=种分配方法，则有6636⨯=种不同的分配方案；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．10．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有40种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，②，六名学生按女男女男女男排列，分析每种情况的安排方法数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3名男生和3名女站成一排，男生、女生各不相邻，则有2种情况；①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有1224⨯⨯=种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有222216⨯⨯⨯=种安排方法；则此时有41620+=种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有202040+=种；故答案为：40【点评】本题考查排列组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为.【分析】不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，由此可得结论． 【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法， 故所求的取法共有332116441245601672472C C C C --=--= 故选：C ．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有 .种【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可． 【解答】解：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，1，6两处是排列里最低的，3，8两处是最高点，设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8， 则 3号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：①第3个位置选6号：先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8号放入最后两个位置也是确定的，此时共2510C =种情况；②第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置， 余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置， 余下的号和8号放入最后两个位置，此时共226345C C =种情况；。
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
高中数学排列组合与概率的实际问题综合解析
高中数学排列组合与概率的实际问题综合解析在高中数学中，排列组合与概率是一个重要的章节，它涉及到很多实际问题的解决。
通过掌握排列组合与概率的知识，我们可以解决很多实际生活中的问题，比如抽奖、选课、组队等等。
本文将通过几个具体的例子，来说明排列组合与概率的实际应用。
首先，我们来看一个与抽奖有关的问题。
假设有一个抽奖活动，参与者需要从1到10中选择3个不重复的数字，中奖的条件是选择的3个数字与主办方事先设定的3个数字完全一致。
那么，我们应该如何计算中奖的概率呢？首先，我们需要计算一共有多少种可能的选择方式。
根据排列组合的知识，从10个数字中选择3个数字的方式有10*9*8=720种。
而中奖的方式只有一种，所以中奖的概率就是1/720。
接下来，我们来看一个与选课有关的问题。
假设某个学校有5个不同的选修课程，学生需要选择其中3门进行学习。
那么，我们应该如何计算学生的选课可能性呢？根据排列组合的知识，从5门课程中选择3门的方式有5*4*3=60种。
但是，由于选修课程的顺序不重要，所以我们需要除以3!（即3的阶乘）。
最终，学生的选课可能性就是60/6=10种。
最后，我们来看一个与组队有关的问题。
假设某个班级有10个学生，需要将他们分成两个小组，每个小组5个人。
那么，我们应该如何计算不同的分组方式呢？根据排列组合的知识，从10个学生中选择5个学生的方式有10*9*8*7*6=30,240种。
但是，由于两个小组的顺序不重要，所以我们需要除以2（即2的阶乘）。
最终，不同的分组方式就是30,240/2=15,120种。
通过以上几个例子，我们可以看到排列组合与概率在解决实际问题中的重要性。
在解决这类问题时，我们需要灵活运用排列组合的知识，确定问题的求解方式，并计算出相应的概率。
同时，我们也需要注意问题中的条件，合理地进行排列组合的计算。
总结起来，排列组合与概率是高中数学中的重要章节，它们在解决实际问题中具有广泛的应用。
高考数学中的概率与排列组合与平面解析几何与三角函数与向量的综合运用方法
高考数学中的概率与排列组合与平面解析几何与三角函数与向量的综合运用方法在高考数学中，概率、排列组合、平面解析几何、三角函数和向量是重要的知识点。
这些知识点通常会独立出现在题目中，但也有一些综合运用的题目需要考生熟练掌握多个知识点的综合运用方法。
本文将展示一些高考数学中概率、排列组合、平面解析几何、三角函数和向量的综合运用方法。
一、概率与排列组合的综合运用1. 在许多高考数学试题中，会出现概率与排列组合的综合运用。
例如，有关抽签和选课的问题通常涉及到概率和排列组合的知识。
2. 在解决这类问题时，首先需要确定事件的样本空间和事件的可能性。
然后，根据概率和排列组合的知识，计算事件发生的可能性。
3. 举例来说，某班有10名男生和5名女生，从这15名学生中随机选取3名学生。
求选出的3名学生中恰好有2名男生的概率。
解题思路：首先确定事件的样本空间，即从15名学生中选取3名学生，记为C(15, 3)。
然后确定事件的可能性，即选出的3名学生中恰好有2名男生，记为C(10, 2) * C(5, 1)。
最后，根据概率的定义，概率P = 事件的可能性 / 样本空间，即 P = C(10, 2) * C(5, 1) / C(15, 3)。
计算得到 P 的值即可得到答案。
二、平面解析几何与三角函数的综合运用1. 在高考数学中，平面解析几何和三角函数的知识点经常会同时出现在题目中。
解决这类题目时，需要熟练掌握平面解析几何和三角函数的运用方法。
2. 例如，求三角函数表达式的最大值或最小值时，需要使用平面解析几何和三角函数的综合运用方法。
3. 解决这类题目时，可以通过将平面解析几何和三角函数相互转化来简化求解过程。
举例来说，已知椭圆的方程为 x^2/4 + y^2/9 = 1，求函数y = sinθ 在椭圆上的最大值。
解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以将 x 表达为 y 的函数：x = 2√(1 -y^2/9)。
然后，将 x 的表达式代入y = sinθ 的表达式中，得到y = sinθ 的表达式为y = 2sinθ/3。
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高中数学排列组合与概率的综合应用题解析
与求解
在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。
排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。
在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。
本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。
题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。
求这样的小组的可能数。
解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。
根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：
1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 10
2. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 28
3. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280
所以，这样的小组的可能数为280。
通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。
根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。
2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。
3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。
所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。
通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。
根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：从10个男生中选出2个人的可能数为C(10, 2) = 45，再从8个女生中选出1个人的可能数为C(8, 1) = 8。
将这两个结果相乘得到满足条件的小组数：45 * 8 = 360。
2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。
3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：360 / 816 ≈ 0.441。
所以，这样的小组中至少有2个男生的概率约为0.441。
通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
综上所述，排列组合与概率在高中数学中是两个重要的概念和技巧。
通过具体的题目，我们可以看到它们在解决实际问题时的应用。
掌握排列组合与概率的知识
和技巧，对于高中学生来说，是非常重要的。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些知识，提高数学解题的能力。