3.2.3 直线的一般式方程

3.2.3 │ 考点类析
► 考点三 直线的一般式方程的应用
例 3 已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0，若直线 l′与 l 垂直，且 l′与坐标轴围成的三角形面积为 6，则直线 l′的方程
为__4_x_－__3_y_＋__1_2_＝__0__或__4__x－___3_y_－__1_2_＝__0___．
解：设所求的直线方程为 2x－y＋c＝0， 令 y＝0，得 x＝－2c，令 x＝0，得 y＝c， 所以12－2c·c＝9，c＝±6， 故所求直线的方程为 2x－y±6＝0.
3.2.3 │ 当堂自测
当堂自测
1．若直线 3x＋y＋6＝0 的斜率为 k，在 y 轴上的截
距为 b，则( )
A．k＝3，b＝6
五点说明： (1)对于直线方程 Ax＋By＋C＝0，若 A≠0，则方程可变
为 x＋BAy＋CA＝0，只需确定BA________与_CA_________的值；若 B__≠_0_，__则__方的程 值． 可因变此为，ABx只＋要y给＋出CB ＝两0个，独只立需的确 AB条定件_就__可__求_CB_出_直 与
3.2.3 │ 重点难点
重点难点
• 【重点】 • 直线方程的一般式与各种形式的互化． • 【难点】 • 对直线方程一般式的理解与应用．
3.2.3 │ 教学建议
教学建议
(1)根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于 学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因
此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定
3.2.3 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 问题导入
直线的方程都可以写成关于x，y的二元一次方程吗？反过来，
二元一次方程都表示直线吗？
[解析] 当直线l经过点P0(x0，y0)，斜率为k时，直线l的方程 为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0. 当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x－x0＝0. 故直线的方程不一定能写成关于x，y的二元一次方程． 反之关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
解：(1)把原点(0，0)代入 Ax＋By＋C＝0，得 C＝0；(2) 此时斜率存在且不为零，即 A≠0 且 B≠0；(3)此时斜率不 存在，且不与 y 轴重合，即 B＝0 且 C≠0；(4)A＝C＝0， 且 B≠0.
(5)在一般式 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)中， 若 A＝0，则 y＝__－__CB____，它表示一条与 y 轴垂直的直线； 若 B＝0，则 x＝__－__CA____，它表示一条与 x 轴垂直的直线．
3.2.3 │ 预习探究
[思考] 直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程 相比，它有什么优点？
► 考点二 利用直线的一般式方程研究平行或垂直
例 2 (1)如果直线 l1：x＋2ay－1＝0 与直线 l2：(3a－1)x －ay－1＝0 平行，则 a＝( )
A．0
B.16
C．0 或 1
D．0 或16
[答案] D
(2)已知直线 l1：x＋my－2m－2＝0，直线 l2：mx＋y－1－
m＝0，则当 l1⊥l2 时，m＝___0_____；当 l1∥l2 时，m＝____1____．
为“了解”层次． (2)引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的 类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨 论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数
学思想，进一步研究一般式系数A，B，C的几何意义，渗透数
形结合的数学思想．
3.2.3 │ 教学建议
(3)对于直线的一般式方程，应引导学生从几何与代数两个角 度看待二元一次方程：在代数中研究方程，着重研究方程的解； 建立直角坐标系后，二元一次方程的每一个解都可以看成平面 直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的解集，就是坐标满 足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直 线．
π2所得的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0
B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0
D．x＋2y＋4＝0
D [解析] 直线 2x－y－2＝0 与 y 轴的交点为 A(0，－2)，
∵所求直线过点 A 且斜率为－12，∴所求直线的方程为 y＋2＝
－12x，即 x＋2y＋4＝0.
3.2.3 │ 考点类析
B．k＝－3，b＝－6
C．k＝－3，b＝6
D．k＝3，b＝－6
B [解析] 化为斜截式，得 y＝－3x－6，∴k＝－3， b＝－6.
3.2.3 │ 当堂自测
2．若直线 l 的一般式方程为 2x－y＋1＝0，则直线 l 不经过 ()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
D [解析] 把直线方程变为 y＝2x＋1，可知直线经过第一、 二、三象限．
线的方程．
3.2.3 │ 预习探究
(2)直线方程的其他形式都可化为一般式，解题时如果没 有其他说明一般把最后结果化为一般式，但并不是所有的一 般式都可化为其他形式．例如当 C＝0 时，一般式就不能化 为截距式．在解题时，有时把一般式化为其他形式可以直观 地得到一些量，如将一般式化为斜截式就可直接从方程中得 到斜率和纵截距．
3.2.3 │ 考点类析
【拓展】设坐标平面内两点 A(－2，3)，B(3，2)，若直线 ax＋y＋2＝0 与线段 AB 没有交点，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－52]∪[43，＋∞) B．(－43，52) C．[－52，43] D．(－∞，－43]∪[52，＋∞)
3.2.3 │ 考点类析
－xCA＋－yCB＝1
转化条件
B≠0 B≠0 A、B、C 均不为零
3.2.3 │ 备课素材
2.一般式方程 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示特殊的直线时，系数 满足的条件．
特殊直线
系数满足的条件
垂直于 x 轴 垂直于 y 轴
B＝0 A＝0
与 x、y 轴都相交 过原点
A·B≠0 C＝0
3.2.3 │ 考点类析
(3)一般式化为斜截式的步骤：移项，得 By＝－A
3.2.3 │ 预习探究
(4)若 A，B 全不为 0，则表示与两坐标轴都__相__交____的 直线．将其化为截距式的步骤：把常数项移到方程右边，得 Ax＋By＝－C；当 C≠0 时，方程两边同时除以－C，得－AxC＋ －ByC＝1，即____－__xCA__＋__－_y_CB_＝__1_____．
B [解析] 由题意得，直线 ax＋y＋2＝0 恒过点 M(0，－ 2)，且斜率为－a，
∵kMA＝3－－（2－ －20）＝－52， kMB＝2－（ 3－－02）＝43，由图可知，若直线与线段 AB 没有 交点，则－a>－52且－a<43，∴a∈－43，52.
3.2.3 │ 备课素材
备课素材
1．求直线的一般式方程的关键是选准合适的方程形式，最后化成 一般式，对于一般式方程，x 的系数一般为非负数且 x，y 的系数不要 有分数．
由①②可得 5a2－32a＋48＝0，解得ab＝＝43，或ba＝＝19252，，
∴所求直线的方程为x4＋y3＝1 或51x2＋29y＝1， 即 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
3.2.3 │ 备课素材
(2)设直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)， 由题意可知 ab＝12，34a＋2b＝1，整理得 a2－6a＋8＝0， 解得ab＝＝43，或ab＝＝26，， ∴所求直线的方程为x4＋y3＝1 或x2＋y6＝1， 即 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0. 综上所述：存在这样的直线，同时满足(1)(2)两个条件的直线方程 为 3x＋4y－12＝0.
3.2.3 │ 考点类析
【变式】若直线 l：ax＋y－2＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相 等，则 a＝________．
1 [解析] 将 x＝0 代入直线方程，得 y＝2，因为直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，所以点(2，0)也在直线上，将(2， 0)代入直线方程，得 a＝1.
[小结] 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形 式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问 题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
3.2.3 │ 当堂自测
3．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0 的倾斜角 是 45°，则实数 m 的值为________．
3 [解析] 由已知得2m2m－2－5m4＋2＝1，∴m＝3. m2－4≠0，
3.2.3 │ 当堂自测
4．已知直线 Ax＋By＋C＝0. (1)系数为何值时，方程表示通过原点的直线； (2)系数满足什么关系时，直线与坐标轴都相交； (3)系数满足什么条件时，直线只与 x 轴相交； (4)系数满足什么条件时，直线表示 x 轴．
③在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32和－3 的直线方程为 ___2_x－___y－___3_＝__0_____；
3.2.3 │ 考点类析
④ 经 过 点 P1(3 ， － 2) ， P2(5 ， － 4) 的 直 线 方 程 为 ____x_＋__y_－__1_＝__0_____．
(2)直线 2x－y－2＝0 绕它与 y 轴的交点按逆时针方向旋转
3．2.3 直线的一般式方程
3.2.3 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 (1)明确直线方程一般式的形式特征． (2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距． (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式． 【过程与方法】 学会用分类讨论的思想方法解决问题． 【情感、态度与价值观】 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化． (2)用联系的观点看问题．
[例]直线过点 P43，2且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点， O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：