0-1型整数线性规划模型理论
0-1规划
0-1规划0-1规划是决策变量仅取值0或1的一类特殊的整数规划。
在处理经济管理中某些规划问题时，若决策变量采用 0-1变量即逻辑变量，可把本来需要分别各种情况加以讨论的问题统一在一个问题中讨论。
目录简介应用范围隐枚举法简介应用范围隐枚举法展开简介0-1规划0-1 Programming一种特殊形式的整数规划。
这种规划的决策变量仅取值0或1，故称为0-1变量或二进制变量，因为一个非负整数都可以用二进制记数法用若干个0-1变量表示。
0-1变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件，因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计、工厂选址、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的多种问题。
实际上，凡是有界变量的整数规划都可以转化为0-1规划来处理。
由于0-1规划具有深刻的背景和广泛的应用，几十年来一直受到人们的重视。
求解0-1规划的方法主要是隐枚举法（如分枝定界法）。
对一些特殊问题还有一些更加有效的方法，例如对指派问题，用D.柯尼希发明的匈牙利法求解更显方便有效。
应用范围0-1规划主要用于求解互斥的计划问题、约束条件互斥问题、固定费用问题和分派问题等方面。
互斥计划问题如确定投资项目，选定投资场所，决定投产产品等。
设有几种产品，各产品投产后获得的利润为c j，投资限额为B，规定决策变量xj的取值为1则此0-1规划的数学模型为23式中max表示求极大值；s.t.表示“受约束于”；z是目标函数；aj是各种产品的投资额。
约束条件互斥问题设有m个互相排斥的约束条件（≤型）ai1x1＋ai2x2＋…＋ainxn≤bi(i＝1，2，…，m)为了保证这m个约束条件中只有一个起作用,引入m个0-1变量y i和一个足够大的常数M，构造m＋1个约束条件ai1x1＋ai2x2＋…＋ainxn≤bi＋yiMy1＋y2＋…＋ym＝m－1因为m个yi中只有一个能取0值，所以只有一个约束条件能起作用。
第四讲 0 1整数线性规划要点
? ??
x25 、? 项x1目3和4只能选中一项 x3i 、? 项0,1目5被i ?选1中,2,的? 前,5提是项目 1被选中;如何
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
整数规划建模举例
练习1 ：组合投资问题。
某财团有 B 万元的资金，经过其考察选中 n个投资
项目，其中第 j个项目需投资金额为 a j 万元，预
计获利 c j（ j ? 1,2..., n）万元，由于种种原因，
有两个附加条件：第一，项目 2和项目3至少选择一
个；第二项目 5，6，7恰好选择两个。问应如何选
例1：一个旅行者要到某地作两周的带包旅行 ,装背包时,他 发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他 打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又 能使使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值( 这里用打 分数的办法表示价值) 如下表所示,问旅行者应该选取哪些 物件为好？
解：建立模型为 max Z=6x 1 ? 7 x 2 ? 3 x3 ? 9 x4
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
投资额 （万元） 210 300 100 130
投资收益 （万元） 150 210 60 80
Z表示投资效益
5
260
180
max=150*x1+210*x2 +60*x3+80*x4+180* x5; 210*x1+300*x2+100 *x3+130*x4+260*x5 <=600; x1+x2+x3>=1; x3+x4=1; x5<=x1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5);
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
用Lingo求解整数(0-1)规划模型
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
整数线性规划及0-1规划 图文
例3 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i1
x 1x2x3x4x52
x3x5x6x8x93 x4x6x7x92
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
温州大学城市学院
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
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注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
温州大学城市学院 例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
,8
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上机作业题
要求：
1、建立数学模型，
2、用lingo循环语句编写程序.
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上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
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整数规划方法
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法，它主要 用于求解纯ILP。 割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新约束 称为割平面方程或切割方程。其基本思路为： 若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的 非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其 加入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之 。若新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优 解；否则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
用割平面法求整数规划问题最优解的步骤： 1. 求整数规划问题所对应的线性规划问题的最优 解。如果是整数解，则停止计算，否则，进行下一步。 2. 由最终单纯形表得到：
xi aik xk bi
k
xi 是基变量
将a ik，bi 都分解为整数部分 和非负真分数之和， N f 即:
aik N ik f ik bi N i f i 0 f ik 1 0 fi 1
为最终获得整数最优解，每次增加的线性约束条件应当两 个基本性质： （1）已获得的不符合整数要求的LP最优解不满足该线性 约束条件，从而不可能在以后的解中出现； （2）凡整数可行解均满足该线性约束条件，因而整数最优 解始终被保留在每次剩余的线性规划可行域中。
例1 用割平面法求解整数规划问题
max z x1 x 2 x1 x 2 1 3 x x 4 1 2 s.t. x1 , x 2 0 x1 , x 2是整数
继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为 止。
7
二、整数规划求解方法
2. 分枝定界法一般步骤
1)将原整数规划问题（A）去掉所有的整数约束变为线 性规划问题（B） ，用线性规划的方法求解问题（B）:
关于求解0_1型整数规划的若干问题
0 前言化问题，可知最优解的目标函数一定不小于 5。
为此，在求最优解之前先增加一个约束条件，即过滤0- 1 型整数规划是整数规划的特例，其数学模型的目 条件：3x - 2x +5x !5##⊙ 标函数、约束条件与线性规划相同，不同的是其变量只能1 2 3 过滤条件的作用是：在检验一个解是否为可行解之取 0 和 1，分别表示两种截然相反的结果。
0- 1 型整数规前，先看目标函数是否不小于 5，若小于 5，则肯定不是最 划应用很广，如土木工程系统的最优工程配置问题，城建优解，其可行性无须再检验而直接被淘汰，可以大大减少规划中的居民点、给水点、加油站和商业网点的最优布局计算工作量。
问题，均可应用 0- 1 型整数规划求得最优解。
有了过滤条件，就可以列表计算。
对解集中的解逐个检0- 1 型整数规划的数学模型如下：验，先检验过滤条件，若不符合则直接淘汰该解;若符合条 目标函数：件⊙，再按①~④顺序检验每一个约束条件，当某一个约 束条件不满足时即行淘汰，其右边的约束条件再无检验 约束条件：的必要。
这样，计算工作量可大为减少。
本例中有 3 个变量，共有 23=8 个解需要检验，通过计 算求得的最优解为: .本例以 为初始可行解，通过建立过滤条1 求解 0- 1 型整数规划三种通用的方法 件，只计算了 18 次就找到了最优解，而用穷举法需要计算1.1 穷举法40 次，技术工作量大大减少了。
如在求解过程发现更好的 由于 0- 1 型整数规划的变量个数有限且取值非 0 即可行解及时更换过滤条件 ，计算工作量还可进一步减少。
1，所以不难将解的集合找出来，再检验每个解的可行性， 1.2.2 对隐枚法法 I 的评价 凡符合全部约束条件者均为可行解，通过比较目标函数 对隐枚举法 I 来说其数学模型无须转化为标准型,减的值便可找到最优解，这个解法称为穷举法。
当变量和约 少了人工处理的工作量，但它需要检验的方案较多,而且 束条件很多时，其工作量是非常大的。
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0-1型整数线性规划模型理论
(1) 0-1型整数线性规划
0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:
T min ..01(1,2,
,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c x
Ax =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m n
a ⨯=A ()T 12,,,.m
b b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.
(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令
x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.
x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:
T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.
x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.
例如：求解0-1型整数线性规划模型:
1min n
i i Z x ==∑
()()()
123453568946791234712567
5812923
2200..20
0020
01(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩
或
用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足
所给条件, Matlab程序代码如下：
c = ones(1,9);
a =
[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;
-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];
b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];
A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];
x = bintprog(c,a,b)
f = A*x
运行结果：
Optimization terminated.
x =
1
1
1
1
1
1
f =
20。