与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练5含解析
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数 2-6
2.(2017·湖南长沙调研)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
B．a>1，b>0 D．0<a<1，b<0
[解析] 由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax－b 在 定义域上单调递减，所以 0<a<1.函数 f(x)＝ax－b 的图象是在 f(x) ＝ax 的基础上向左平移得到的，所以 b<0.
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范
围是________．
[思路引导]
(1)
由y＝kx＋a的图象
→
k、a的取 值范围
→
y＝ax＋k的图象
(2) 函数y＝2x＋1的图象 → 作关于x轴对称的图形 →
|y|＝2x＋1即为上述曲线 → 观察与y＝b相交情况 → 求b
是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象， 则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 c>d>1>a>b>0 .
[小题速练]
1
1．化简[(－2)6] 2 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
(2)若将本例(2)改为：函数 y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减， 则 k 的取值范围是什么？
(3)若将本例(2)改为：直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0 且 a≠1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是什么？
2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第二节 函数的单调性与最值实用
(2)若 k＞0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同，若 k＜0，则 kf(x) 与 f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)≠0)与 y＝－f(x)，y ＝f1x单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)≥0)与 y＝ fx单 调性相同；
所以有xx－＞80＞，0， xx－≤9，
解得 8＜x≤9.
[答案] (8,9]
[方法技巧]
含“f ”号不等式的解法
原不等式
函数的性质 ―――――→
fgx＞fhx
函数的单调性 ――――――→
去
解不等式 “f ”号，转化为“g(x)＞h(x)”型具体的不等式―――――→
[易错提醒] (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立 “定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表 示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连 结，也不能用“或”连结． (3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所 以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量 x1，x2 对应的函 数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个 变量是区间内的任意两个自变量．
(2)设 t＝x2－2x－3，由 t≥0， 即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以函 数 t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数 f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)③ (2)[3，＋∞)
应用(二) 解函数不等式
[例 3] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f(xy)＝f(x)
与名师对话2019届高三文数一轮复习课件：第2章 函数的概念与基本初等函数 2-3
[温馨提示]
(1)熟记基本初等函数的值域
①y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. ② y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的 值 域 是 ： 当 a>0 时 ， 值 域 为
4ac－b2 ，＋ ∞ ；当 4 a
a<0
2 4 ac － b 时，值域为－∞， . 4 a
(4)形如 y＝ax＋b± cx＋d (a＝t(t≥0)，转化为二次函数求值域． k (5)形如 y＝x＋ (k>0， x>0)的函数可用均值不等式法或函数单 x 调性求解，注意使用均值不等式时要满足条件“一正二定三相 等”． (6) 对于分段函数或含有绝对值符号的函数( 如 y＝ |x－ 1|＋ |x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．
函数值
，
函数值的集合
叫函数的值域．
求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的 结构特征来选择对应的方法求解，常见的有：
ax＋b (1)形如 y＝ (c≠0)的函数，可用分离常数法，将函数化 cx＋d a m 为 y＝ ＋ (其中 m 为常数)形式． c cx＋d ax＋b sinx－1 (2)形如 y＝ x 或 y＝ 的函数可用反解法． a ＋c sinx＋2 (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋ b[f(x)]＋c(a≠0)可用配方法及换元法．
第 二 章
函数的概念与基本初等函数
第二节
函数的值域与解析式
高考概览 1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求 一些简单函数的解析式． 说明：本考点内容一般与其他知识结合考查，不单独命题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
(新课标)2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数Ⅰ2.4二次函
自查自纠
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k (3)a(x－x1)(x－x2) 2 b b 4ac－b 2．(1)－ (2) － ， (3)向上 向下 2a 4a 2a 4ac－b2 4ac－b2 (4) ，＋∞ －∞， 4a 4a b b (5)－∞，－2a －2a，＋∞ 增函数 减函数 3．根 端点值 4．端点 顶点 6．{x|x≥0} {x|x≠0} (－∞，0] {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (0，＋∞) (1，1) [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0)
上是减函数，在 上是增函数；a＜0 b ，在－2a，＋∞上是________．
3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是 相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 ax2＋bx＋c≥0(或 ax2＋bx＋c≤0)解集的 4．二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值． 它只能在区间的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值． 5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布) 设 x1， x2 是实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根， 则 x1， x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示． 或二次函数的 ，也是一元二次不等式 ．
m＜x1＜n＜x2＜p
f（m）>0， ⑤ f（n）<0， f（p）>0.
m<x1＝x2<n
Δ ＝0， ⑥ b m<－2a<n.
⑦ f(m)· f(n)<0.
只有一根在区间(m，n)内
6.幂函数 α (1)定义： 形如 y＝x (α∈R)的函数称为幂函数， 其中 x 是自变量， α 是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 图象 性质 定义 公共 值域 奇偶性 单调性 域 点 ____ 在 R 上单调递 y＝x R R 函数 增 在____上单 调递减；在 ____ y＝x2 ____ R 函数 ____上单调 递增 ____ 在 R 上单调递 ___ y＝x3 R R 函数 增 1 在____上单 ____ ____ ____ y＝x2 函数 调递增 在____和 ____ －1 y＝x ____上单调 ____ ____ 函数 递减
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练12含解析
课时跟踪训练(十二)[基础巩固]一、选择题1、若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f (x )在(－2,2)内有一个零点,则f (－2)·f (2)的值( )A 、大于0B 、小于0C 、等于0D 、不能确定[解析] 若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点,且该零点是变号零点,则f (－2)·f (2)<0,否则, f (－2)·f (2)>0,故选D.[答案] D2、若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点,则实数a 的取值为( )A 、0B 、－14C 、0或－14D 、2[解析] 当a ＝0时,函数f (x )＝－x －1为一次函数,则－1是函数的零点,即函数仅有一个零点；当a ≠0时,函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根、∴Δ＝1＋4a ＝0,解得a ＝－14.综上,当a ＝0或a ＝－14时,函数仅有一个零点、 [答案] C3、(2017·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、3[解析] 由题意知f (x )单调递增,且f (0)＝1＋0－2＝－1<0,f (1)＝3＋1－2＝2>0,即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0,1)内连续不断,所以f (x )在区间(0,1)内有一个零点、[答案] B4、(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0,则x 0所在的区间是( )A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(2,3)D 、(3,4)[解析] ∵f (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－2<0,f (2)＝ln2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln2－1<0.f (3)＝ln3－12＝ln3－lne12 ,∵3>e12,∴f (3)>0,故x 0∈(2,3),选C.[答案] C5、(2017·辽宁大连二模)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0),若函数g (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A 、1B 、3C 、2D 、4[解析] 作出函数f (x )与g (x )的图象如图,由图象可知两个函数有3个不同交点,所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点,故选B.[答案] B6、(2017·河北承德模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≤0，x 2－4ax ＋a ，x >0有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B 、⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12C 、(－∞,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12D 、(－∞,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [解析] 由题意知,当x ≤0时,函数f (x )有1个零点,即2x －2a ＝0在x ≤0上有根,所以0<2a ≤1解得0<a ≤12；当x >0时函数f (x )有2个零点,只需⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4a >0，4a >0，a >0，解得a >14,综上可得实数a 的取值范围是14<a ≤12.[答案] B 二、填空题7、已知函数f (x )＝3x ＋3x －8,用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x 0＝2,那么下一个有根区间为________、[解析] f (1)＝31＋3－8＝－2<0,f (2)＝32＋6－8＝7>0,f (3)＝33＋9－8＝28>0,故下一个有根区间为(1,2)、[答案] (1,2)8、(2017·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是________、[解析] 由题意,知函数f (x )在(1,2)上单调递增,又函数一个零点在区间(1,2)内,所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3,故填(0,3)、[答案] (0,3)9、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋2x ＋1，x ≤0，ax －3，x >0，有3个零点,则实数a的取值范围是________、[解析] 因为函数f (x )有3个零点,所以当x >0时,方程ax －3＝0有解,故a >0,所以当x ≤0时,需满足⎩⎨⎧－22a<0，Δ＝4－4a >0，即0<a <1.综上,a的取值范围是(0,1)、[答案] (0,1) 三、解答题10、已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1,g (x )＝x ＋e2x (x >0)、(1)若y ＝g (x )－m 有零点,求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围,使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根、图(1)[解] (1)作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(1)、 可知若使y ＝g (x )－m 有零点,则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根,即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点,图(2)作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(2)、 ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e,开口向下, 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e,即m >－e 2＋2e ＋1时,g (x )与f (x )有两个交点,即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根、∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1,＋∞)、[能力提升]11、(2017·云南昆明一模)设函数f (x )＝e x ＋x －2,g (x )＝ln x ＋x 2－3.若函数f (x ),g (x )的零点分别为a ,b ,则有( )A 、g (a )<0<f (b )B 、f (b )<0<g (a )C 、0<g (a )<f (b )D 、f (b )<g (a )<0[解析] 易知函数f (x ),g (x )在定义域上都是单调递增函数,且f (0)＝－1<0,f (1)＝e －1>0,g (1)＝－2<0,g (2)＝ln2＋1>0,所以a ,b 存在且唯一,且a ∈(0,1),b ∈(1,2),从而f (1)<f (b )<f (2),g (0)<g (a )<g (1),于是f (b )>0,g (a )<0,即g (a )<0<f (b )、[答案] A12、(2017·甘肃省兰州市高三诊断)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R ,都有f (x ＋2)＝f (x )、当0≤x ≤1时,f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点,则实数a 的值是( )A 、n (n ∈Z )B 、2n (n ∈Z )C 、2n 或2n －14(n ∈Z )D 、n 或n －14(n ∈Z )[解析] 依题意得,函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数,在[0,2)上,由图象(图略)易得,当a ＝0或－14时,直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点,∵函数f (x )的周期为2,∴a 的值为2n 或2n －14(n ∈Z )、[答案] C13、(2017·陕西省宝鸡市高三一检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <1，log 2x ，x ≥1，若函数y ＝f (x )－k 有且只有两个零点,则实数k 的取值范围是________、[解析] ∵当x <1时,2－x>12；当x ≥1时,log 2x ≥0,依题意函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝k 的交点有两个,∴k >12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14、(2017·云南省高三统一检测)已知y ＝f (x )是R 上的偶函数,对于任意的x ∈R ,均有f (x )＝f (2－x ),当x ∈[0,1]时,f (x )＝(x －1)2,则函数g (x )＝f (x )－log 2017|x －1|的所有零点之和为________、[解析] 因为函数f (x )是偶函数,f (x )＝f (2－x ),所以f (x )＝f (－x )＝f (x ＋2),所以函数f (x )的周期为2,又当x ∈[0,1]时,f (x )＝(x －1)2,将偶函数y ＝log 2017|x |的图象向右平移一个单位长度得到函数y ＝log 2017|x －1|的图象,由此可在同一平面直角坐标系下作函数y ＝f (x )与y ＝log 2017|x －1|的图象(图略),函数g (x )的零点,即为函数y ＝f (x )与y ＝log 2017|x －1|图象的交点的横坐标,当x >2018时,两函数图象无交点,又两函数图象在[1,2018]上有2016个交点,由对称性知两函数图象在[－2016,1]上也有2016个交点,且它们关于直线x ＝1对称,所以函数g (x )的所有零点之和为4032.[答案] 403215、(2018·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a , (1)判断命题：“对于任意的a ∈R ,方程f (x )＝1必有实数根”的真假,并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点,求实数a 的取值范围、[解] (1)“对于任意的a ∈R ,方程f (x )＝1必有实数根”是真命题、依题意,f (x )＝1有实根,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根,因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根,从而f (x )＝1必有实根、(2)依题意,要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点, 只需⎩⎨⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎨⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.16、已知二次函数f (x )的最小值为－4,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3,x ∈R }、(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数、[解] (1)∵f (x )是二次函数,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3,x ∈R },∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ,且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4,a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0), ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0,得x 1＝1,x 2＝3.当x 变化时,g ′(x ),g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3,＋∞)上单调递增,因而g (x )在(3,＋∞)上只有1个零点、故g (x )在(0,＋∞)上仅有1个零点、[延伸拓展](2017·郑州市高三一测)对于函数f (x )与g (x ),若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0},μ∈{x ∈R |g (x )＝0},使得|λ－μ|≤1,则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”,现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”,则实数a 的取值范围是________、[解析] 易知函数f (x )为增函数,且f (2)＝e 2－2＋2－3＝0,所以函数f (x )＝e x －2＋x －3只有一个零点x ＝2,则取λ＝2,由|2－μ|≤1,知1≤μ≤3.由f (x )与g (x )互为“零点密切函数”知函数g (x )＝x 2－ax －x ＋4在区间[1,3]内有零点,即方程x 2－ax －x ＋4＝0在[1,3]内有解,所以a ＝x ＋4x －1,而函数a ＝x ＋4x －1在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以当x ＝2时,a 取最小值3,又当x ＝1时,a ＝4,当x ＝3时,a ＝103,所以a max ＝4,所以实数a 的取值范围是[3,4]、[答案] [3,4]。
2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第三节 函数的奇偶性及周期性实用
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
3.[考点二]设函数 f(x)为偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x， 则 f(－ 2)＝________. 解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－ 2)＝f( 2)＝log2 2＝12. 答案：12
4.[考点二]设函数 f(x)＝x＋1xx＋a为奇函数，则 a＝________. 解析：∵f(x)＝x＋1xx＋a为奇函数， ∴f(1)＋f(－1)＝0， 即1＋111＋a＋－1＋1－1－1＋a＝0，∴a＝－1.
当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．
(4)∵4|x－＋x32|≥≠03，， 解得－2≤x≤2 且 x≠0，
∴函数的定义域关于原点对称，
∴f(x)＝x＋4－3－x23＝
4－x2 x.
又 f(－x)＝ 4－－－x x2＝－ 4－x x2，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．
[方法技巧] (1)定义法
判断函数奇偶性的两种方法
(2)图象法 函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．
函数奇偶性的应用
[例 2] (1)已知函数 f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R )，若 f(a)＝
2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第三节 函数的奇偶性及周期性
(5)(易错题)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00，. 解：易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点 对称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x， 则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
(4)f(x)＝|x＋4－3|－x23；
解：因为由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2 且 x≠0. 所以 f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
所以 f(x)＝|x＋4－3|－x23＝x＋4－3－x23＝
4－x2， x
所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x； 解：(2)因为函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为32， 不关于坐标原点对称， 所以函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)因为 f(x)的定义域为 R， 所以 f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是 奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[小题纠偏] 1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
＝________. 解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所 以 a－1＋2a＝0，所以 a＝13.又 f(－x)＝f(x)，所以 b＝0，所以 a＋b＝13. 答案：13
那么函数f(x)就叫做偶函数
2019届江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示实用讲义文
3．(2018·如皋中学月考)已知 f(sin x＋cos x)＝cos 2x－π4，则 f(x) 的解析式为____________________． 解析：设 t＝sin x＋cos x，则 t＝ 2sinx＋π4∈[－ 2， 2]， t2＝1＋2sin xcos x， cos 2x－π4＝cos2x－π2＝cosπ2－2x＝sin 2x＝2sin xcos x＝t2 －1， 所以 f(t)＝t2－1(－ 2≤t≤ 2)，即 f(x)＝x2－1(－ 2≤x≤ 2)．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求给定解析式的函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R .
(4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a＞0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x 的定义域均为 R .
5.[考点三]若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为________．
解析：函数 f(x)的定义域是不等式 ax2＋abx＋b≥0 的解集．不 等 式 ax2 ＋ abx ＋ b≥0 的 解 集 为 {x|1≤x≤2} ， 所 以
a＜0， 1＋2＝－b， 1×2＝ba，
[易错提醒] (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的 形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表 示，不能用“或”连结，而应该用并集符号“∪”连结．
求抽象函数的定义域 对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x)) 的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域 为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域．
(名师对话)2019届高三数学(文)一轮复习-第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练8
课时跟踪训练(八)[基础巩固]一、选择题1．函数y ＝x13 的图象是( )[解析] 函数图象过(1,1)点，排除A 、D ；又当x ∈(0,1)时，y >x ，故选B. [答案] B2．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－5]B ．(－∞，5]C ．[－5，＋∞)D ．[5，＋∞)[解析] 对称轴x ＝－a 2≤52，解得a ≥－5. [答案] C3．(2018·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3[解析] 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y ＝x －1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1,3.[答案] A4．(2017·山东菏泽模拟)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0[解析] 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.故选A.[答案] A5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2[解析] ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.[答案] B6．(2017·湖南长沙一模)已知函数f (x )＝x12 ，则( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，使得f x 1－f x 2x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)[解析] 由f (x )＝x12 的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上，f (x )≥0恒成立，故A 错误，B 正确；易知f (x )是[0，＋∞)上的增函数，∴∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，故C 错误；在D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)，故D 错误．故选B.[答案] B 二、填空题7．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．[解析] 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.[答案] f (x )＝12(x －2)2－1 8．(2017·安徽安庆模拟)已知P ＝2－32 ，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123，则P ，Q ，R的大小关系是________．[解析] P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253，即P >R >Q . [答案] P >R >Q9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.[答案] (0,1] 三、解答题 10．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212 ＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x12 ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，32. [能力提升]11．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1[解析] 由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2.∴m ＝2或m ＝1.[答案] B12．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝()A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 由f (x )＝f (2－x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又函数y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两个函数的图象的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑i ＝1m x i ＝x m ＋x m－1＋…＋x 1，所以2∑i ＝1mx i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑i ＝1mx i ＝m .取特殊函数f (x )＝0(x ∈R )，它与y ＝|x 2－2x －3|的图象有两个交点(－1,0)，(3,0)，此时m ＝2，x 1＝－1，x 2＝3，故∑i ＝1mx i ＝2＝m ，只有B 选项符合．[答案] B13．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． [解析] 解法一：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f ，f⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.解法二：∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x＋4x ，则函数y ＝x ＋4x 在(1,2)上是减函数，∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5.[答案] (－∞，－5]14．(2018·河北“五个一名校联盟”质量监测)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．[解析] 由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－94，－215．(2017·兰州调研)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．[解] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝x ＋2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝x －2＋2，x >0，其图象如图所示，又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．16．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值．[解] (1)依题意，函数y ＝f (x )在R 上至少有一个零点，即方程f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3＝0至少有一个实数根，所以Δ＝16－4(a ＋3)≥0，解得a ≤1.(2)函数y ＝f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3的图象的对称轴方程是x ＝2.①当a ＋12≤2，即a ≤32时，y max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3.解得a ＝0或a ＝3.又因为a ≤32，所以a ＝0.②当a ＋12>2，即a >32时，y max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3，解得a ＝1±132.又因为a >32，所以a ＝1＋132.综上，a ＝0或a ＝1＋132.[延伸拓展](2018·西安模拟)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上 [解析] A 项中，－1是f (x )的零点， 则有a －b ＋c ＝0；① B 项中，1是f (x )的极值点，则有b＝－2a；②C项中，3是f(x)的极值；则有4ac－b24a＝3；③D项中，点(2,8)在曲线y＝f(x)上，则有4a＋2b＋c＝8.④联立①②③解得a＝－34，b＝32，c＝94；联立②③④解得a＝5，b＝－10，c＝8，由a为非零整数可判断A项错误，故选A.[答案] A。
2019高考数学文一轮：第2章函数的概念与基本初等函数 第3讲
线 x＝1 对称．不妨设 x1＜x2＜…＜xm，则x1＋2 xm＝1，即 x1＋
m
xm＝2，同理有 x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又xi＝xm＋
i＝1
m
xm－1＋…＋x1，所以 2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)
i＝1
m
＝2m，所以 xi＝m.
i＝1
2．(必修 1 P83B 组 T4 改编)设 f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，
g(x)的定义域均为 R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数
B．f(x)g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数
解析：选 D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．
m
(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )
i＝1
A．0 C．2m
B．m D．4m
【解析】 法一：(通性通法)由 f(x)＝f(2－x)知 f(x)的图象关于 直线 x＝1 对称，又函数 y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也 关于直线 x＝1 对称，所以这两个函数的图象的交点也关于直
(必修 1 P35 例 5(4)改编)函数 f(x)＝x12的大致图象为(
)
解析：选 D.因为 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0， ＋∞)上为减函数， 又因为 f(－x)＝（－1x）2＝x12＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，故选 D.
(必修 1 P39 B 组 T3 改编)已知函数 f(x)是奇函数，在(0，
＋∞)上单调递增．若实数 a 满足 f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则
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课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A 、32B 、16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12,故选C. [答案] C2、(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A 、(－∞,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B 、(－∞,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2,＋∞) D 、(0,＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞,1)∪[2,5), 则x －1∈(－∞,0)∪[1,4)、∴2x －1∈(－∞,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3、(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ,则f (cos x )＝( ) A 、3－cos2x B 、3－sin2x C 、3＋cos2xD 、3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ,所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x . [答案] C4、下列函数中,值域是(0,＋∞)的是( )11C 、y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD 、y ＝1－2x[解析] A 项,因为5－x ＋1>1,所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0,＋∞)；C 项,因为1－x ∈R ,根据指数函数的性质可知函数的值域为(0,＋∞),故选C.[答案] C5、已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ,则f (x )＝( ) A 、(x ＋1)2 B 、(x －1)2 C 、x 2－x ＋1D 、x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1,令x ＋1x ＝t ,得f (t )＝t 2－t ＋1,即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6、(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0,＋∞),则a 的取值范围是( )A 、(3,＋∞)B 、[3,＋∞)C 、(－∞,0]∪[3,＋∞)D 、(－∞,0)∪[3,＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3,∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0,＋∞),∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数,∴a 为正实数,∴该函数图象开口向上,∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0,即a 2－3a ≥0,解得a ≥3或a ≤0(舍去)、故选B.[答案] B 二、填空题7、函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________、[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0,∴y ≠－12, ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 8、已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2,则f (3)＝________. [解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0),∴f (x )＝x 2＋2,∴f (3)＝32＋2＝11. [答案] 119、若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ,则a 的取值范围为________、 [解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1,由题意知, f (x )取遍所有的正实数、当a ＝0时, f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1] 三、解答题10、求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1,得0<21＋x 2≤2,所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]、 (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258,得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时,x ＋1x ≥2,当且仅当x ＝1时取等号, 所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时,x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2, 当且仅当x ＝－1时取等号,所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞,－1]∪[3,＋∞)、 (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π),则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4由0≤θ ≤π,得π4≤θ＋π4≤5π4,所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1,－2≤y ≤22,故函数的值域为[－2,22]、[能力提升]11、下列函数中,不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A 、f (x )＝|x |B 、f (x )＝x －|x |C 、f (x )＝x ＋1D 、f (x )＝－x[解析] 选项A,f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |,故f (2x )＝2f (x )；选项B,f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |,故f (2x )＝2f (x )；选项C,f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2,故f (2x )≠2f (x )；选项D,f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ,故f (2x )＝2f (x )、故选C.[答案] C12、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ,那么a 的取值范围是( )A 、(－∞,－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时, f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ,所以当x <1时,f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数、当a ＝12时,(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时,(1－2a )x ＋3a >1＋a ,不成立；当a <12时,(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0,得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13、定义新运算⊕：当a ≥b 时,a ⊕b ＝a ；当a <b 时,a ⊕b ＝b 2,则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x ),x ∈[－2,2]的最大值等于__________、[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时,2⊕x ＝2,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2,f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数、∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614、(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )、若当0≤x ≤1时,f (x )＝x (1－x ),则当－1≤x ≤0时,f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时,有0≤x ＋1≤1,所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x ),又f (x ＋1)＝2f (x ),所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215、已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0,＋∞),求实数a 的取值范围、 [解] (1)①若1－a 2＝0,即a ＝±1,(ⅰ)当a ＝1时,f (x )＝6,定义域为R ,符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时, f (x )＝6x ＋6,定义域不为R .②若1－a 2≠0,g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数, ∵f (x )的定义域为R ,∴g (x )≥0,∀x ∈R 恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.(2)∵函数f (x )的值域为[0,＋∞),∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数,①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1,当a ＝1时,f (x )＝6不合题意、当a ＝－1时,f (x )＝6x ＋6的值域为[0,＋∞),符合题目要求、故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511.16、已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数,且a ≠0)满足条件：f (2)＝0,且方程f (x )＝x 有两个相等实根、(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n ),使f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[2m,2n ]？如存在,求出m 、n 的值；如不存在,说明理由、[解] (1)方程f (x )＝x ,即ax 2＋bx ＝x , 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0,由方程有两个相等实根,得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0, ∴b ＝1.①由f (2)＝0,得4a ＋2b ＝0,②由①、②得,a ＝－12,b ＝1,故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件,由(1)知, f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12, 则2n ≤12,即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1, ∴当n ≤14时,f (x )在[m ,n ]上为增函数、于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2,n ＝0,使f (x )的定义域为[m ,n ],值域为[2m,2n ]、[延伸拓展]设f (x ),g (x )都是定义在实数集上的函数,定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ,(f ·g )(x )＝f [g (x )]、若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A 、(f ·f )(x )＝f (x )B 、(f ·g )(x )＝f (x )C 、(g ·f )(x )＝g (x )D 、(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A,(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时,f (x )＝x >0,(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时,f (x )＝x 2>0,(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时,(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02,因此对任意的x ∈R ,有(f ·f )(x )＝f (x ),故A 正确,选A.[答案] A。