图上的路选址问题与连通p-中心和p-中位问题
图论课后习题答案
图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。
图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。
下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。
答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。
接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。
- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。
2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。
答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。
因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。
但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。
3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。
如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。
假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。
由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。
4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。
答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。
在生成树中，边数等于顶点数减一。
由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。
图论中的连通性与最短路径问题的解法
最短路径问题的变种问题
无向图中最小生成树问题
定义：在无向图中，最小生成树问题是指寻找一棵包含所有顶点的树，使得这棵树的边的权值和最小。 算法：常见的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。Kruskal算法基于并查集，通过不断添加边来形 成最小生成树；Prim算法基于优先队列，每次选择权值最小的边，直到所有顶点都被包含在树中。 应用：最小生成树问题在计算机网络中有着广泛的应用，如路由协议、网络设计、通信网络等。
交通规划：在道路 网络中，连通性分 析可以帮助优化路 径选择和交通流分 配。
计算机网络：在网 络拓扑结构中，连 通性分析可以用于 路由优化和容错设 计。
最短路径问题的解法
Dijkstra算法
定义：Dijkstra算法 是一种用于求解最短 路径问题的贪心算法
原理：通过不断选择 当前距离最短的边， 逐步扩展最短路径的 搜索范围，直到找到 最短路径
汇报人：XX
适用场景：适用 于稀疏图或稠密 图，但更适用于 稠密图。
Johnson算法
定义：Johnson 算法是一种用于求 解加权图中所有顶 点对间最短路径的 算法
适用场景：适用 于稀疏图，即边 的数量相对较少 的情况
算法思想：通过 预处理阶段和主 算法阶段实现最 短路径的求解
时间复杂度： O(V+E^2)，其 中V是顶点数，E 是边数
时间复杂度：O(VE)，其中V是顶点数，E是边数
Floyd-Warshall算法
简介：FloydWarshall算法是 一种用于求解所 有顶点对之间最 短路径的动态规 划算法。
算法思想：通过 构建一个距离矩 阵，逐步更新最 短路径，最终得 到所有顶点对之 间的最短路径。
时间复杂度： O(V^3)，其中V 是顶点数。
物流系统规划与设计3-选址模型
2012年6月28日星期四
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4、选址问题中的距离计算
选址问题模型中，最基本的一个参数是各个节
点之间的距离。 一般采用两种方法来计算节点之间的距离：一 种是直线距离，也叫欧几里得距离（Euclidean Metric）；另一种是折线距离（Rectilinear Metric），也叫城市距离（Metropolitan Metric）。
min Z
n i 1
wi xi x s yi y s
2
2 1/ 2
这是一个双变量系统，分别对xs和ys进行求偏微分，并且 令其为零，这样就可以得到两个微分等式。应用这两个等 式分别对xs和ys进行求解，即可以求出下面的一对隐含有 最优解的等式：
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其相应的目标函数为：
Z
w x
i i 1
n
i
xs yi ys
式中：
——与第i个点对应的权重（例如需求）； wi x i ，y i ——第i个需求点的坐标； x s ，y s ——服务设施点的坐标；
n
——需求点的总数目。
在这个问题里面，最优位置也就是由如下坐标组成的点： x s 是在x方向的对所有的权重的中值点； y s 是在y方向的对所有的权重的中值点。 考虑到 x s ，y s 两者可能同时是惟一值或某一范围，最优的 位置也相应的可能是一个点，或者是线，或者是一个区域。
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例子：报刊亭选址 一个报刊连锁公司想在一个地区开设一个新的报刊零售点， 主要的服务对象是附近的5个住宿小区的居民，他们是新 开设报刊零售点的主要顾客源。下图笛卡儿坐标系中确切 地表达了这些需求点的位置，下表是各个需求点对应的权 重。这里，权重代表每个月潜在的顾客需求总量，基本可 以用每个小区中的总的居民数量来近似。经理希望通过这 些信息来确定一个合适的报刊零售点的位置，要求每个月 顾客到报刊零售点所行走的距离总和为最小。 解： 由于考虑的问题是在一个城市中的选址问题，评价是，使 用城市距离是合适的，交叉中值选址方法将会用来解决这 个问题。
运筹学选址分析PPT学习教案
(3) 中心选址问题——它考虑到不是某个节点的需
求，而是节点之间的流量。
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6.2.1 设施选址问题分析
(2)最大覆盖模型——其目标是选择固定数目的设
施使覆盖的需求最大。
(3)p中心问题——其目标是假定需求点均由距离它
最近的设施提供服务的情况下，开放固定数目的设施备选 点，使设施的覆盖距离最小。
2．ρ分散模型
以上的建模均是考虑需求点和设施之间的关系，而忽略 了设施之间的关系。该模型。与以往模型不同之处在于模型 考虑的是设施之间的距离关系，其目标是使设施之间的距离
（一）定性分析法。定性分析法主要是根据选 址影响因素和选址原则，依靠专家或管理人员丰富 的经验、知识及其综合分析能力，确定配送中心的 具体选址。主要有专家打分法、德尔菲法。定性方 法的优点是注重历史经验，简单易行。其缺点是容 易犯经验主义和主观主义的错误，并且当可选地点 较多时，不易做出理想的决策，导致决策的可靠性 不高。
——同学注意公式符号变了，内容没有变化。 (Xi , Yi)----现有目标的坐标位置
Qi ---运输量 Ri ----运输费率 F ----总运费 (X , Y)----新仓库的位置坐标 Di ----现有目标到新仓库的距离
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例2：某企业的两个工厂P1、P2 分别生产 A、B 两种产品， 供应三个市场 M1、M2、M3。已知条件如表一所示。现 需设置一个中转仓库，A、B 两种产品通过该仓库间接向 三个市场供货。请使用迭代重心法求出仓库的最优选址。
计量地理学 10.1 地理网络的图论描述
一、地理网络的图论描述
（一）图的定义
（1）图： 设V是一个由n个点vi (i=1，2，…， n)所组成的集合，即V={v1，v2，…，vn}，E是一 个由m条线ei（i=1，2，…，m）所组成的集合， 即E={e1，e2，…，em}，而且E中任意一条线，都 是以V中的点为端点；任意两条线除了端点外没 有其他的公共点。
例：列昂纳德·欧拉——7桥问题
东普鲁士的哥尼斯堡城（现在的加里宁格勒） 是建在两条河流的汇合处以及河中的两个小岛上 的，共有7座小桥将两个小岛及小岛与城市的其他 部分连接起来。那么，哥尼斯堡人从其住所出发， 能否恰好只经过每座小桥一次而返回原处？图论 研究结果告诉我们，其答案是否定的。
（7）需要说明的是：图的定义只关注点之间是否连 通，而不关注点之间的连结方式。对于任何一个图，他 的画法并不唯一。
（二）图的一些相关概念
（1）无向图与有向图： 无向图——图的每条边都没有给定方向， 即（u，v）＝（v，u）； 有向图——图的每条边都给定了方向， 即（u，v）≠（v，u）。
有向图
一般将有向图的边集记为A，无向图的边集记 为 E。 这 样 ， G=（V，A） 就 表 示 有 向 图 ， 而 G= （V，E）则表示无向图。
那么，V与E结合在一起就构成了一个图G， 记作G＝（V，E）。
（2）顶点： V中的每一个点vi（i=1，2，…， n）称为图G的顶点。
（3）边：E中每一条线称为图G 的边（或弧）； 若一条边e连接u，v两个顶点，则记为e＝（u，v）。
（4）在图G＝（V，E）中，V不允许是空集， 但E可以是空集。
（5）从以上定义可以看出，图包含两个方面的 基本要素： 点集（或称顶点集）；边集（或称弧 集）。
（12）树：不含回路的连通的无向图称为树。
p中心问题近似算法
P中心问题（p-Center Problem）是一种经典的离散选址问题，已经被证明是NP-难问题。
在P中心问题中，需要选定p个位置建造服务设施，使得所有客户到最近设施距离中的最大值最小。
对于P中心问题的近似算法，可以采用启发式算法、贪婪算法、模拟退火算法等。
1.启发式算法：启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，它通过一些启发式规
则来指导搜索过程，从而得到一个近似解。
在P中心问题中，可以采用一些启发式规则，如“最远距离优先”或“最小距离优先”等，来选择建造设施的位置。
2.贪婪算法：贪婪算法是一种贪心的算法，它总是选择当前看来最好的选择，从
而期望最终得到一个近似最优解。
在P中心问题中，可以采用贪婪算法来选择建造设施的位置，每次选择距离当前已选设施最远的客户作为下一个设施的位置。
3.模拟退火算法：模拟退火算法是一种受物理退火过程启发的全局优化算法，它
通过引入随机性来避免陷入局部最优解。
在P中心问题中，可以采用模拟退火算法来求解近似解，通过不断调整解的质量和随机性来得到一个近似最优解。
需要注意的是，由于P中心问题是NP-难问题，因此没有已知的多项式时间近似算法可以保证得到最优解。
以上介绍的近似算法只能得到一个近似解，其质量取决于问题的具体情况和算法参数的选择。
P-中心选址问题的一种降阶回溯算法
Vol. 33 No. 3Mrs. 2221第38卷第3期2021年3月计算机应用研究Application Research of ComputersR 中心选址问题的一种降阶回溯算法*尚春剑，宁爱兵，彭大江，张惠珍(上海理工大学 管理学院，上海220293)摘要：运筹学研究领域中的应急服务设施选址问题有许多求解模型，选取了 P-中心模型进行研究，首先研究了该问题的数学性质，并给出了证明，利用这些数学性质能对问题进行降阶从而缩小问题的规模；然后在此基础 上设计一个基于上界和下界的回溯算法来求解该问题；最后通过一个示例分析进一步阐述了该算法的原理，并 证明了该算法能在较短时间内求得问题的最优解。
关键词：设施选址问题；P 冲心模型；降阶算法；上界；下界；回溯算法中图分类号：TP301.6 文献标志码：A 文章编号：1001-3695(2221)23-218-2734-04doi ：10. 10734/j. isse. 102)-3035.6222.64.6253Brchtrrching algoritim with reduction for P-ceetec location proilemShang Chunjiaa, Ning AiCing , Peeg Dajiang , Zhang Huizhee(Business School , University of Shanghai for Science & Technology , Shanghai 220093 , China )Abstract : There were varions solution moCele foe the emercency service facility location proilem ang thin papec stuCied theP-ceetcc monei. This papev proposeU a bachtraching algoVthmw:ith upper anU lowev bonng,ang aPUee a reenchon algoVthm bystuUyino the mathemahchl properties. The algoVthm conlg Uecreaso the schle ang the Ueeree of complexity of the P-ceeter loch- tion problem,sc as to accelerate the execuhon speee. At the eng,this panee illustrateU an instance to eUnorate this algoethmfurthee.Key words ： facility location prodem ； P-ceeter moOee ； reUuction algorithm ； upper bonnU ； lower bonng ； bachtraching ae-ooethm日常生活中的各类紧急突发事件给人们的安全和生活造 成了巨大的影响，当灾害发生时,应急服务设施是提供救援支 持、保障人民群众人身安全最基本最重要的设施，具有十分重要的作用。
第五章复习思考题及参考答案
第五章复习思考题及参考答案第五章复习思考题及参考答案一、基本概念1. 物流结点物流结点是物流网络中货物运往最终消费者过程中临时经过停顿的地方，是物流网络的重要组成部分，是整个物流网络的灵魂所在。
2. 专家选择法专家选择法是以专家为索取信息的对象，运用专家的知识和经验，考虑选址对象的社会环境和客观背景，直观地对选址对象进行综合分析研究，寻求其特性和发展规律，并进行选择的一种选址方法。
专家选址法中最常用的有因素评分法和德尔菲法。
3. 解析法解析法是通过数学模型进行物流网点布局的方法。
采用这种方法首先根据问题的特征、外部条件以及内在的联系建立数学模型，然后对模型求解以获得最佳布局方案。
4. 模拟法模拟法是将实际问题用数学方法和逻辑关系表示出来，然后通过模拟计算及逻辑推理确定最佳布局方案。
5. 启发法该法是针对模型的求解而言的，是一种逐次逼近的方法。
对这种方法进行反复判断，实践修正，直到满意为止。
6. 费用一效果分析法费用一效果分析法是对技术方案的经济效果进行分析评价的一种方法。
其实质是要求系统给社会提供财富或服务的价值一效益必须超出支出费用。
该方法以经济评价为主，是所有评价方法的基础。
7. 中点问题在区域中选择（若干个）设施位置，使得该位置离客户到最近设施的距离（或成本）的“合计”最小。
这种目标通常在企业问题中应用，所以也称为“经济效益性” （Economic Efficiency）。
在中点问题中，被选择设施的数量往往预先确定，当选择设施数量为P 时，称为P 中点问题。
8. 中心问题根据使得离客户最近的设施的距离（或成本）“最大值” 最小的原则，在区域中选择设施位置的方法称为中心问题。
P- 中心问题也叫min--max 问题，是探讨如何在网络中选择P 个服务站，使得任意一需求点到距离该需求点最近的服务站的最大距离最小问题。
9. 重心模型重心模型是选址问题中最常用的一种模型，可解决连续区域直线距离的单点选址问题。
基于p-中值模型的物流中心选址问题研究
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2016, 5(2), 276-281Published Online May 2016 in Hans. /journal/aam/10.12677/aam.2016.52035Research on Logistics Center LocationProblem Based on p-Median ModelXu Tong, Huan Liang, Lina Zheng, Yanyan Wang, Rongyu LuoSchool of Mathematics and Statistics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao HebeiReceived: May 3rd, 2016; accepted: May 23rd, 2016; published: May 26th, 2016Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/AbstractFor logistics center location problem, this paper analyzed and compared several commonly used location methods and algorithms. The p-median model for solving the logistics center location problem is established and the fast solution of the model is realized by using Greedy Dropping Heuristic Algorithm. Combined with specific cases, a kind of actual location problem is solved to verify the correctness of the model and the feasibility of the algorithm by writing the program corresponding to the algorithm.KeywordsLogistics Center, Location, p-Median, Heuristic Algorithm基于p-中值模型的物流中心选址问题研究童旭，梁欢，郑丽娜，王岩焱，罗融宇东北大学秦皇岛分校数学与统计学院，河北秦皇岛收稿日期：2016年5月3日；录用日期：2016年5月23日；发布日期：2016年5月26日摘要针对物流中心选址问题，分析和比较了几种常用的选址方法和求解算法。
第07章_图c ppt课件
7.4 图的连通性
连通图：在路无径向, 则图称中顶, 若点从v1与顶v点2是v1连到通顶的点。v2有如
果图中任意一对顶点都是连通的, 则 称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通 分量。
强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj,
都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
所得生成树权值和
= 14+8+3+5+16+21 = 67
一般情况下所添加的顶点应满足下列 条件: 在生成树的构造过程中，图中 n 个 顶点分属两个集合：已落在生成树上的 顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集 V-U ，则应在所有连通U中顶点和V-U中 顶点的边中选取权值最小的边。
//新顶点并入U后重新选择最小边
if (G.arc[k][j].adj<closedge[j].lowcost) closedge[j]={G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj};
}//for i }//MiniSpanTree
取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根， 之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加 的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间 必定存在一条边，并且该边的权值在所有 连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之 后继续往生成树上添加顶点，直至生成树 上含有 n-1 个顶点为止。
例如:
a 19
b5
14 12
// 此时closedge[k].lowcost = // MIN{closedge[vi].lowcost | closedge[vi].lowcost>0, vi ∈V-U.
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图上的路选址问题与连通p-中心和p-中位问题选址问题是运筹学中重要的问题之一.设施选址问题的应用十分广泛,从城市,产业带,经济技术开发区到机场,水利设施,销售网点以及仓库都涉及到选址问题,涉及经济,政治,社会,管理,心理及工程地质等多门学科.本文主要研究了一些特殊图上路选址问题,连通p-中心和p-中位选址问题.人们已经证明路选址问题和连通p-中心和p-中位选址问题在一般图上都是NP-困难问题,因此考虑这些问题在某些图类上的多项式算法就成为有意义的问题.本文着重讨论了树(tree),区间图(interval graph),圆弧图(circular-arc graph)和块图
(block-graph)等重要图类上的算法设计问题.首先,我们介绍了选址问题的背景和本文涉及的相关记号及术语,并提出了本文研究的主要问题.本文所做的主要研究工作如下：第二章,研究了树上的半厌恶型p-路选址问题.当p=2时,即树上的半厌恶型2-路选址问题,对该问题的MWD模型和WMD模型,分别设计了O(n2)和O(n3)时间算法.对p>2时,考虑相交p-路和不相交p-路这两种特殊的情形.树上的半厌恶型相交p-路问题的MWD模型和WMD模型都可以转化为树上的k-子树核心问题,由此可证明该问题可以在多项式时间内求解.对树上的半厌恶型不相交p-路选址问题的MWD模型,我们设计了O(np+1)时间算法；而对于该问题的WMD模型,给出了其最优解得一些性质.第三章,应用鲁棒优化理论研究了带区间权重的树上的鲁棒核心选址问题,其中允许顶点的权重为负数.对绝对鲁棒核心选址问题设计了O(n2)时间算法.对偏差鲁棒核心选址问题,证明了该问题的计
算复杂性为O(n3).第四章,讨论区间图和圆弧图上的连通p-中心和p-中位选址问题.在区间图上,证明了连通p-中心问题和连通p-中位问题的计算复杂性都是O(n).在圆弧图上,证明了连通p-中心问题可以在O(n)时间内求解,而连通p-中
位问题可以在O(n2)时间内求解.第五章,讨论了块图上的连通p-中心和p-中位选址问题.对连通p-中心问题给出了O(mn logn)时间算法,对连通p-中位问题,证明了该问题线性时间可解.对双目标规划：连通p-中心-中位问题,证明了该问题的计算复杂性为O(n2),并且帕雷托最优解的个数不超过n个.对厌恶型连通p-中心和p-中位问题分别给出了O(mn)时间算法和O(p2mn)的拟多项式时间算法.最后给出了需要进一步研究的问题.。