安徽省马鞍山市2014届高三数学第一次教学质量检测试题 文 新人教A版

2014年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交． 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1．设i 是虚数单位，则复数20141()1i z i +=-=（ ）A ． 1-B ．1C ．i -D ． i答案：A命题意图：本题考查复数的基本运算，简单题． 2．已知集合2{|30}A x x x =-<，{||2|1}B x x =-<，则“a A ∈”是“a B ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B命题意图：本题考查集合的基本运算及简易逻辑，简单题．3．高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ） A ．8 B ．13 C ．15 D ．18 答案：D命题意图：本题考查系统抽样方法，简单题．4．已知向量(1,2)a =-，(,4)b x =，且a ∥b ，则︱a b -︱=（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：B命题意图：本题考查平面向量的基本运算，简单题．5．已知倾斜角为α的直线l 与直线m ：220x y -+=平行，则tan2α的值为（ ）A ．43B ． 34C ．45D ． 23答案：A命题意图：本题考查直线的斜率、两倍角公式，简单题．6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：C命题意图：本题考查程序框图，简单题．7．各项均为正数的等比数列{}n a中，1232a a a +=，则4534a a a a ++的值为（ ）A ．1-B ．1-或2C ． 3D ．2答案：D命题意图：本题考查等比数列的运算性质，简单题．8．已知1a >，1b >，且1ln ln 4a b =，则ab （ ） A ．有最大值1 B ．有最小值1 C ．有最大值e D ．有最小值e 答案：D命题意图：本题考查不等式的基本运算，中等题．9．已知实数,x y 满足1;0;22 4.x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤+≤⎩则22x y +的取值范围是（ ）A ．416[,]55B ．5[,16]4C． D．答案：B命题意图：本题考查线性规划、点到直线的距离公式，中等题．10．已知函数ln ||()x f x x x =+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A. B. C.D.第6题图第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11．命题“任意x R ∈，20x >”的否定是 ．答案：存在0x R∈，200x ≤命题意图：全称命题、特称命题、命题的否定，简单题．12．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆:C 221x y +=相切，则p = ． 答案：2p =命题意图：本题考查抛物线与圆的性质，简单题． 13．已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于 ． 答案：10命题意图：本题考查三视图、三棱锥的体积，简单题． 14．已知直线y mx =与函数212(),0;3()11,0.2x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ．答案：m ≥命题意图：本题考查分段函数、曲线的切线斜率，渗透数形结合思想，中等题． 15．关于函数2()sin cos cos f x x x x=-，给出下列命题：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间(0,)8π上为增函数；③直线38x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ④函数()f x的图象可由函数()2f x x =的图象向右平移8π个单位得到；⑤对任意x R ∈，恒有()()14f x f x π++-=-．其中正确命题的序号是 ____________．答案：②③⑤命题意图：本题综合考察三角恒等变换、三角函数的性质，较难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．正视图 第13题图16． (本小题满分12分)已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若(cos ,sin )m B B =，(cos ,sin )n C C =-，且12m n ⋅=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．命题意图：本题综合考察平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题．解：（Ⅰ）(cos ,sin ),(cos ,sin )m B B n C C ==-，12m n ⋅=1cos cos sin sin 2B C B C ∴-=……………………………………2分1cos()2B C ∴+=又0B C π<+<，3B C π∴+=………………………………4分A B C π++=，23A π∴=． ……………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅得222()22cos3b c bc bc π=+--⋅即：1121622()2bc bc =--⋅-，4bc ∴= ………………………9分 11sin 422ABC S bc A ∆∴=⋅=⋅=12分17．（本小题满分12分）已知某年级1000名学生的百米跑成绩全部介于13秒与18秒之间，为了了解学生的百米跑成绩情况，随机抽取了若干学生的百米跑成绩，并按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为1∶4∶10，且第二组的频数为8． （Ⅰ）请估计该年级学生中百米跑成绩在[16，17）内的人数； （Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一和第五组所有成绩中随机取出2个，求这2个成绩差的绝对值大于1秒的概率．命题意图：本题考察频率分布直方图、古典概型，中等题． 解：（Ⅰ）百米成绩在[16,17)内的频率为0.32⨯1=0.32． 0.32⨯1000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人． ……3分 （Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为x ，4x ，10x 依题意，得 x+4x+10x+0.32⨯1+0.08⨯1=1 ，∴x=0.04 ……4分设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则840.04n ⨯=∴n=50 ∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩． ……6分（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有1⨯0.04⨯1⨯50=2，记他们的成绩为a ，b 百米成绩在第五组的学生数有0.08⨯1⨯50= 4，记他们的成绩为m ，n ，p ，q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共15个 ……9分设事件A 为满足成绩的差的绝对值大于1秒，则事件A 所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，共8个， ……10分所以P(A )=815 ……12分 本试题主要考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力． 18． (本小题满分12分)如图，边长为2的正三角形ABC ∆所在平面与等腰直角三角形DBC 所在平面相互垂直，已知DB DC =，1AE =，AE ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：DE ∥平面ABC ;（Ⅱ）求证：BD ⊥平面CDE ; （Ⅲ）求三棱锥C BDE -的体积． 命题意图：本题综合考察空间线、面的位置关系，体积的计算公式，中等题．解：（Ⅰ）取BC 的中点O ，连接,OA ODDBC ∆是等腰直角三角形，面ABC ⊥面DBC ，DO BC ⊥∴DO ⊥面ABC ，1DO =，又AE ⊥平面ABC ，∴AE ∥OD ，1AE =，∴四边形AODE 为平行四边形∴AO ∥DE,OA ABC DE ABC⊂⊄面面，DE ∴∥平面ABC ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得AO ∥DE ，又AO ⊥平面BCDAO BD ∴⊥，∴ED BD ⊥，又CD BD ⊥，CD ED D =，∴BD ⊥平面CDE ………8分（Ⅲ）AO ⊥平面BCD A O D E ∴⊥ AO ∥DE DE ∴⊥平面BCD DE CD ∴⊥1122EDC S DE DC ∆∴=⋅=1133C BDE B CDE CDE V V S BD --∆∴==⋅= ……………12分19．（本小题满分13分） 已知函数()ln 1f x x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()0,x ∈+∞时，()2f x ax ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．命题意图：本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．解：（Ⅰ）由题意得，1()1f x x '=- ，11(2)122f '∴=-=∴函数()f x 在2x =处的切线方程为：1(1ln 2)(2)22ln 202y x x y --=-⇒-+=………5分 （Ⅱ）当()0,x ∈+∞时，()2f x ax ≥-恒成立，1ln 1xa x x ∴≤+- ………7分 令1ln ()1x g x x x =+-，则22ln 2()0x g x x e x -'==⇒=，可得()g x 在2(0,)e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增， ………10分2min 21()()1g x g e e ∴==-，即211a e ≤- 故实数a 的取值范围是21,1e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ ………13分20．（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a的前n 项和．（Ⅰ）若数列{}n a ，{}2n a 都是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若22n n n S a a =+，试比较12231111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+与1的大小．命题意图：本题综合考察等差数列的通项公式、裂项求和，中等题．解：（Ⅰ）数列{}n a ，{}2n a 都是等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，则2222222221311122()(2)2(1)1(12)a a a a d a a d d d =+⇒+=++⇒+=++得 220d =， ∴0d =1n a ∴= …………………………………5分（Ⅱ）由于22n n nS a a =+ ①当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+②由①-②得：2211,n n n n a a a a --+=-又n a > ∴11(2,)n n a a n n N *--=≥∈ ，………………………………………10分又11a = ∴n a n =∴122311111111111223(1)n n a a a a a a n n n+++⋅⋅⋅+=+++=-<⨯⨯+ (13)分21．（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =，右焦点F 到直线0x ya b +=的距离为1．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点,M N 为椭圆的长轴的两个端点，作不平行于坐标轴的割线AB ，若满足AFM BFN ∠=∠，求证：割线AB 恒经过一定点．命题意图：本题综合考察椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系、直线的斜率，较难题．解：（Ⅰ）设,0)F c （由e =，得c a =，即c =……①又右焦点到直线0x ya b +=的距离为1，1= ……②由①②及222a b c =+得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y += … ……………… ………5分（Ⅱ）设割线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，由222221(13)636062x y k x kbx b y kx b ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩则有2121222636,1313kb b x x x x k k -+=-=++（*） … ……………… ………8分 由AFM BFN ∠=∠得1212121212002()022AF BF y y k k x y y x y y x x +=⇒+=⇒+-+=-- ………10分即122112()()2()0x kx b x kx b kx b kx b +++-+++=12122(2)()40kx x b k x x b +-+-=将（*）代入上式，2223662(2)()401313b kb k b k b k k -⋅+---=⇒++3b k =- 所以割线AB 方程为3(3)y kx b kx k k x =+=-=-，即割线AB 恒过点（3，0）… ………13分。