2018-2019学年人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 作业
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2
第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。
人教A版必修2第三章3.2.2 直线的两点式方程 精选课时练习(含答案)-2
人教A 版必修2第三章3.2.2《直线的两点式方程》精选课时练习（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2x a +2y b =1在y 轴上的截距是 ( ) A ．|b|B ．-b 2C ．b 2D ．±b 2． 直线2x －5y ＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为 ( ) A ．2,5 B ．2，－5 C ．－2，－5 D ．－2,5 3． 如右图所示，直线l 的截距式方程是x y a b＝1，则有 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．直线l 过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l 上，则b 的值为 ( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2016 5．已知△ABC 三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的截距式方程为 ( )A ．x 4+y 8=1 B ．x 8+y 4=1 C ．x 6+y 4=1 D ．x 4+y 6=1 6．两直线x m -y n =1与x n -y m =1的图象可能是图中的哪一个 ( ) A ． B ．C ．D ．7．过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为 ( )A ．x=2B ．y=2C ．x=3D ．x=68．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 9．直线x p -y q=1在y 轴上的截距为-3，则q= ( )A ．3B ．-3C ．D 10．两直线1x y m n -=与1x y n m-=的图象可能是图中的( )A. B. C. D. 11．已知732M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，A(1,2)，B(3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝512．直线1x y a b+=过一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜013．在y 轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )A ．143x y += B ．143x y -= C ．134x y += D ．136x y -= 14．直线125x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别为( ) A ．2,5 B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,515．下列命题中正确的是( )A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b +=表示 16．过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条17．已知(2,4)A 关于直线10x y -+=对称的点为B ，则B 满足的直线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y -+=C ．50x y +-=D ．0x y -=18．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的平分线方程为1+=x y ，则AC 所在的直线方程为（）A ．42+=x yB ．321-=x y C ．012=--y x D ．013=++y x 19．已知直线2()41x m m y m +-=-与直线250x y --=垂直，则m 的值为（）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．120．直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则n 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．0D ．1021．直线330kx y k --+=经过点（）A ．(3，0)B ．(3，3)C ．(1，3)D ．(0，3)二、填空题22．直线123x y +=--在x 轴，y 轴上的截距分别为____ 23．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 24．已知直线16x y a +=与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为_____ 25．经过点A(－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为________ 26．直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是______ 27．平面直角坐标系中，直线320x y ++=的斜率为________28．斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是______29．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为_____30．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为______31．光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为_____32．直线221x y a b -=在y 轴上的截距是_____ 33．已知△ABC 三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为______34．过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.35．过点P(1，3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________.36．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则11a b+=______. 37．过点P(6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是_______________．38．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________.39．已知直线():1210l ax a y a +-+-=不通过第四象限，则a 的取值范围是________.40．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是 .三、解答题41．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为（－1，2），（4，3），AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的方程．42．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC 的草坪，且PQ//BC,RQ BC ．另外的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB="100m," BC="80m," AE="30m," AF=20m,应如何设计才能使草坪的占地面积最大？43． △ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．44．求分别满足下列条件的直线l 的方程.(1)斜率是34,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6; (2)经过两点(1,0)A ，(,1)B m ;(3)经过点(4,3)-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.45．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l 的方程.46．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线12:l y x =-关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点(1，1)对称的直线方程．47．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的斜率为2.（1）若直线l 过点()2,1A -，求直线l 的方程；（2）若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为3，求直线l 的方程.参考答案1．C2．B3．B4．C5．A6．B7．B8．C9．A10．B11．B12．C13．B14．B15．C16．B17．D18．C19．C20．A21．B22．2,3--23．)40y x +=-14y=-4y =-40y --=24．2±25．210x y ++=或250x y +=26．15370x y --=27．28．3或3-29．3240x y -+=30．30x y -+=31．5270x y -+=32．2b -33．280x y +-=34．104120y x --=--- (或421402y x -+=-+ ) 35．126x y += 36．1237．132x y +=或12x y += 38．3x ＋2y －6＝0 39．]1,21[40．340x y ++=41．（1）(1,3)-；（2）21050x y --=．42．见解析43．（1）x －2y ＋8＝0. x ＋y －4＝0.（2）2x －y ＋10＝0.（3）2x ＋y ＋6＝0.（4）2x ＋y －2＝0.（5）x －y ＋6＝044．（1）y ＝43x ±3.（2）当m ≠1时，y ＝11m -(x －1)，当m ＝1时， x ＝1.（3）x ＋y ＝1或70x y --=或y ＝－34x . 45．y=-23x+2或y=-12x+1. 46．(1)219,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)l 2的方程为7x －y －14＝0(3)x ＋2y －4＝047．（1）052=+-y x （2）062=+-y x。
课时作业5：3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程1．过A (1，1)、B (0，－1)两点的直线方程是 ( )A.y ＋11＋1＝x B.y －1－1＝x －1－1 C.y －10－1＝x －1－1－1 D ．y ＝x解析：由直线方程的两点式知，过A 、B 两点的直线方程是y －（－1）1－（－1）＝x －01－0， 即y ＋11＋1＝x . 答案：A2．过P 1(2，0)，P 2(0，3)两点的直线方程是 ( )A.x 3＋y 2＝1 B.x 2＋y 3＝1 C.x 3－y 2＝0 D.x 2－y 3＝1 解析：由题意知，直线在x 轴，y 轴上的截距分别为2，3，故其方程为x 2＋y 3＝1. 答案：B3．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为 ( ) A.12B.12或0 C ．0D ．－2 解析：法一：当a ＝0时，两直线重合，不合题意；当a ≠0时，a －1a ＝－12a ，解之得a ＝12. 经检验a ＝12时，两直线平行． 法二：∵直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行．∴1×(－a )－(a －1)×2a ＝0.即2a 2－a ＝0.∴a ＝0或a ＝12. 验证：当a ＝0时，两直线重合，故a ＝12. 答案：A4．已知直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为－3和4，则m ，n 的值分别为________，________．解析：在mx ＋ny ＋12＝0中，令y ＝0，得x ＝－12m， 令x ＝0，得y ＝－12n. ∴－12m ＝－3，－12n＝4，∴m ＝4，n ＝－3. 答案：4 －35．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1垂直，且在y 轴上的截距是l 1在y 轴上的截距的相反数，则l 2的一般式方程为________．解析：l 1的斜率为2，在y 轴上的截距为3，l 2⊥l 1，故l 2的斜率k 2＝－12，l 2在y 轴上的截距b 2＝－3，所以l 2的方程为y ＝－12x －3，化成一般式为x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝06．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)，(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，显然相等，所以a ＝2，方程为3x ＋y ＝0；由题可知a ＋1≠0，即a ≠－1.当a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0， 所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，解得a ≤－1.。
课时作业6：3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程一、选择题1．直线3x －2y ＝4的截距式方程是 ( ) A.3x 4－y2＝1B.x 13－y 12＝4C.3x 4－y－2＝1D.x 43＋y－2＝1 解析：将3x －2y ＝4化为：x 43＋y－2＝1即得．答案：D2．已知M (3，72)，A (1，2)，B (3，1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 ( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5解析：由中点坐标公式得AB 的中点坐标为(2，32)，由直线方程的两点式可得所求直线方程为y －3272－32＝x －23－2，即4x －2y ＝5.答案：B3．过点P (4，－1)且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0 B ．4x －3y －19＝0 C ．3x －4y －16＝0D ．3x ＋4y －8＝0解析：设所求直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由点P 在直线上，所以4×4＋3×(－1)＋c ＝0，c ＝－13，直线方程是4x ＋3y －13＝0.答案：A4．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( ) A.12ab B.12|ab | C.12abD.12|ab |解析：在ax ＋by －1＝0中，令x ＝0，得y ＝1b ；令y ＝0，得x ＝1a ，故所求三角形的面积为12|1a ||1b |＝12|ab |.答案：D 二、填空题5．过点A (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为________． 解析：由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0， 将点A (－1，3)代入，可得m ＝7， 所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0. 答案：x －2y ＋7＝06．已知光线经过点A (4，6)，经x 轴上的B (2，0)反射照到y 轴上，则光线照在y 轴上的点的坐标为________．解析：点A (4，6)关于x 轴的对称点A 1(4，－6)，则直线A 1B 即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x ＋y －6＝0，令x ＝0，得y ＝6，所以反射光线经过y 轴上的点的坐标为(0，6)．答案：(0，6)7．过点P (1，2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________．解析：当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，满足题意．此时直线方程为 y ＝2x ，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，因为直线过P (1，2)，所以1－2＝a ，所以a ＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0.答案：y ＝2x 或x －y ＋1＝08．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________． 解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∵直线不经过第一象限，∴3－2t ≤0，得t ≥32.答案：[32，＋∞)三、解答题9．已知三角形的三个顶点A (0，4)，B (－2，6)，C (－8，0)． (1)求三角形三边所在直线的方程；(2)求AC 边上的垂直平分线的方程．解：(1)直线AB 的方程为y －46－4＝x －0－2－0，整理得x ＋y －4＝0；直线BC 的方程为y －06－0＝x ＋8－2＋8，整理得x －y ＋8＝0；由截距式可知，直线AC 的方程为x －8＋y4＝1，整理得x －2y ＋8＝0.(2)线段AC 的中点为D (－4，2)，直线AC 的斜率为12，则AC 边上的垂直平分线的斜率为－2，所以AC 边的垂直平分线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，整理得2x ＋y ＋6＝0.10．求与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l 的方程．解：法一：因为所求直线l 与已知直线平行，可设l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，① ∵直线l 交x 轴于A (－m 3，0)，交y 轴于B (0，－m4)，由12·|－m 3|·|－m4|＝24，得m ＝±24，代入①得所求直线的方程为：3x ＋4y ±24＝0. 法二：设l 在x 轴上截距为a ，在y 轴上截距为b ，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则有12|ab |＝24，因为l 的倾斜角为钝角，所以a 、b 同号， |ab |＝ab ＝48.①由x a ＋y b ＝1，可得直线的斜率k ＝－ba ， 而直线3x ＋4y ＋12＝0的斜率为－34，所以－b a ＝－34，即b a ＝34.②由①②联立方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－6，所以直线方程为x 8＋y 6＝±1，即3x ＋4y ±24＝0.。
高中数学必修二(人教A版)练习3.2.2 直线的两点式方程 Word版含答案
直线的两点式方程一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．过坐标平面内两点(，)和(，)的直线的方程为( )．＝－．＝＋．＝－＋．＝－－．下列说法中正确的是( )．经过定点(，)的直线都可以用方程－＝(－)来表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋来表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝来表示．经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)来表示．两条直线－＝与－＝的图像可能是下图中的( )图--．若直线过点(－，－)和(，)，且点(，)在直线上，则的值为( )．．．．．过点(，)且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为( )．＋－＝．－＝．＋－＝或＋＝．＋－＝或－＝．若直线经过(，)，(，－)(∈)两点，则直线的倾斜角α的取值范围是( )．≤α≤<α<π≤α<<α≤．已知两点(，)，(，)，动点(，)在线段上运动，则( )．无最小值且无最大值．无最小值但有最大值．有最小值但无最大值．有最小值且有最大值二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．过点(，)，且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程是．．已知点(－，－)，(，)，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标是．．已知直线过原点且平分▱的面积，若平行四边形的两个顶点分别为(，)，(，)，则直线的方程为．．若直线在轴上的截距比在轴上的截距大，且过定点(，－)，则直线的方程为．三、解答题(本大题共题，共分)．(分)如图--所示，△的三个顶点分别为(，)，(－，)，(－，)．()求边和所在直线的方程；()求边上的中线所在直线的方程．图--．(分)设直线的方程为(＋)＋＋－＝(∈)．()若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；()若不经过第二象限，求实数的取值范围．．(分)若直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为，则直线的方程为．。
人教A版必修2 3.2.2 直线的两点式方程 作业
[A 基础达标]1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2解析：选A ．由两点式得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，x ＝－32．2．已知△ABC 三顶点坐标A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y ＋8＝0 C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A ．由中点坐标公式可得M (2，4)，N (3，2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即2x ＋y －8＝0． 3．光线从A (－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1，6)，则BC 所在直线的方程为( )A ．5x －2y ＋7＝0B ．2x －5y ＋7＝0C ．5x ＋2y －7＝0D ．2x ＋5y －7＝0解析：选A ．点A (－3，4)关于x 轴的对称点A ′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为x －（－3）1－（－3）＝y －（－4）6－（－4），即5x －2y ＋7＝0．4．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的哪一个( )解析：选B ．由x m －y n ＝1，得y ＝n m x －n ；由x n －y m ＝1，得y ＝m nx －m ，即两直线的斜率同号且互为倒数．5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C ．当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x a ＋yb＝1．由题意得⎩⎨⎧1a ＋4b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝5.综上符合题意的直线共有3条．6．以点P (5，8)和Q (3，－4)为端点的线段的方程是____________．解析：过两点P (5，8)，Q (3，－4)的线段的方程是y －8－4－8＝x －53－5，即6x －y －22＝0(3≤x ≤5)．答案：6x －y －22＝0(3≤x ≤5)7．直线2x －y －k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则k 的值为________． 解析：令x ＝0，则y ＝－k ，令y ＝0，则x ＝k2，由题意知k2＋(－k )＝2，解得k ＝－4．答案：－48．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)、D (5，0)，则直线l 的方程为____________．解析：由题意可知l 过平行四边形ABCD 的中心，BD 的中点为(3，2)，所以由两点式可得直线l 的方程为x －03－0＝y －02－0，即y ＝23x ．答案：y ＝23x9．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，－2)，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 与y 轴的交点为(0，b )，则直线l 的方程的两点式为y －b －2－b ＝x －06－0．令y ＝0，得x ＝6bb ＋2．于是6b b ＋2＝1＋b ，解得b 1＝1或b 2＝2．故直线l 的方程为y ＝－12x ＋1或y ＝－23x ＋2．法二：设直线l 的截距式方程为x b ＋1＋yb＝1， 因为直线l 过点(6，－2)， 所以6b ＋1＋－2b＝1， 解得b 1＝1，b 2＝2．所以直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1．10．已知△ABC 中A (－8，2)，AB 边上中线CE 所在的直线方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程． 解：如图所示．设B (x 1，y 1)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－82，y 1＋22，因为点B 在直线BD 上，点E 在直线CE 上，故可得方程组⎩⎨⎧2x 1－5y 1＋8＝0，x 1－82＋y 1＋2－5＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝6，y 1＝4.从而B (6，4)． 设C (x 2，y 2)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－82，y 2＋22， 同理可得方程组⎩⎨⎧2x 2－5y 2－10＝0，x 2＋2y 2－5＝0，解得⎩⎨⎧x 2＝5，y 2＝0.从而C (5，0)．故有直线BC 的方程是4x －y －20＝0．[B 能力提升]11．过点(－2，0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是( ) A ．x－2＋y ＝1 B ．x －2＋y －5＝1C ．x－2＋y－1＝1D ．x －2＋y ＝1或x －2＋y－5＝1解析：选D ．因为直线过点(－2，0)，所以在x 轴上的截距为－2． 又直线在两坐标轴上的截距之差为3， 所以直线在y 轴上的截距为1或－5． 所以直线方程为x －2＋y ＝1或x －2＋y－5＝1．12．已知两点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________． 解析：设线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，则y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3(0≤x ≤3)，所以xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，当x ＝32时，xy 取得最大值为3．答案：313．求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为－34的直线方程．解：设直线方程为x a ＋yb＝1．由题意知⎩⎨⎧|a |＋|b |＋a 2＋b 2＝9，①－b a ＝－34.②由②知，b ＝34a ，代入①得，|a |＋34|a |＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝9，|a |＋34|a |＋54|a |＝9，所以3|a |＝9，|a |＝3， 所以a ＝3时，b ＝94，a ＝－3时，b ＝－94．所以直线方程为x 3＋y 94＝1或x －3＋y－94＝1，即3x ＋4y －9＝0或3x ＋4y ＋9＝0．14．(选做题)如图所示，已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程．解：设A (a ，0)，B (0，b )，显然a >3，b >2， 则直线l 的方程为x a ＋y b＝1，因为P (3，2)在直线l 上，所以3a ＋2b ＝1，于是b ＝2aa －3，所以S △AOB ＝12ab ＝a 2a －3，整理得a 2－S △AOB ·a ＋3S △AOB ＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S 2△AOB －12S △AOB ≥0， 又因为S △AOB >0，所以S △AOB ≥12，S △AOB 最小值＝12． 将S △AOB ＝12代入(*)式，得a 2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4． 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0．。
课时作业14：3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程一、选择题1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A.可以写成两点式或截距式B.可以写成两点式或斜截式或点斜式C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案 B解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式.故选B.2.直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距是( ) A.|b |B.－b 2C.b 2D.±b考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 B解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.3.若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( )A.l 的倾斜角为锐角且不过第二象限B.l 的倾斜角为钝角且不过第一象限C.l 的倾斜角为锐角且不过第四象限D.l 的倾斜角为钝角且不过第三象限考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 B解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y －b＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.4.以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A.3x －y －8＝0B.3x ＋y ＋4＝0C.3x －y ＋6＝0D.3x ＋y ＋2＝0考点 中点坐标公式题点 与垂直平分线有关的问题答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13， AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5.若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b )在直线l 上，则b 的值为( )A.2 019B.2 018C.2 017D.2 016考点 直线的两点式方程题点 直线两点式方程的应用答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)， 即y ＝2x ＋1，令x ＝1 009，则有b ＝2×1 009＋1，即b ＝2 019.6.一条光线从点A ⎝⎛⎭⎫－12，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( ) A.y ＝2x ＋1B.y ＝－2x ＋1C.y ＝12x －12D.y ＝－12x －12考点 直线的两点式方程题点 直线两点式方程的应用答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝⎛⎭⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝⎛⎭⎫12，0在反射光线所在的直线上.再由点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1.7.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 符合.8.直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 D解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 二、填空题9.过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_______________________________________________________.题点 利用截距式求直线方程答案 x 2＋y 6＝1 解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则l 的截距式方程是x 2＋y 6＝1. 10.过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________.考点 直线的两点式方程题点 利用两点式求直线方程答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，y －03－0＝x －21－2， 整理得3x ＋y －6＝0.11.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3.三、解答题12.在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；考点 中点坐标公式题点 求过中点的直线方程解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3. 即C (－5，－3).(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y －52＝1. 13.已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0).(1)求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边上的中垂线的方程.考点 中点坐标公式题点 与垂直平分线有关的问题解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y 4＝1，即x －2y ＋8＝0. 由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0， 即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)， 即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2. 又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.四、探究与拓展14.若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________.考点 直线的截距式方程题点 利用截距式求直线方程答案 x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0解析 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15.已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程.考点 对称问题的求法题点 光路可逆问题解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2).设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4).由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程，得y－4－2－4＝x＋11＋1，即3x＋y－1＝0.故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课时作业新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程选题明细表基础巩固1.一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程( B )(A)可以写成两点式或截距式(B)可以写成两点式或斜截式或点斜式(C)可以写成点斜式或截距式(D)可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式解析:由于直线不与坐标轴平行或重合,所以直线的斜率存在,且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同,所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0,所以直线不一定能写成截距式.故选B.2.直线-=1在x轴、y轴上的截距分别为( B )(A)2,5 (B)2,-5 (C)-2,-5 (D)-2,5解析:将-=1化成直线截距式的标准形式为+=1,故直线-=1在x轴、y轴上的截距分别为2,-5.故选B.3.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( A )(A)- (B)- (C) (D)2解析:由两点式得过(-1,1)和(3,9)的直线的方程为=,即2x-y+3=0.令y=0,得x=-.故选A. 4.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的哪一个( B )解析:由题意一直线在x,y轴上的截距分别是另一直线在y轴、x轴上截距的相反数,只有B符合.故选B.5.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P(0,),则直线AB的方程为( C )(A)y=-x+5 (B)y=x-5(C)y=x+5 (D)y=-x-5解析:依题意,a=2,P(0,5).设A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点坐标公式,得解得所以A(4,8),B(-4,2).由直线的两点式方程,得直线AB的方程是=,即y=x+5,选C.6.与直线y=3x+4在y轴上有相同的截距且和它关于y轴对称的直线方程为. 解析:由条件知所求直线的斜率为-3,在y轴上截距为4,所以其方程为y=-3x+4.答案:y=-3x+47.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是.解析:设直线方程是4x+3y+d=0,分别令x=0和y=0,得直线在两坐标轴上的截距分别是-,-, 所以6=×-×=.所以d=±12,则直线在x轴上截距为3或-3.答案:3或-38.已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程;(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程.解:(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线.因为线段AB,AC中点坐标为(,1),(-,-2),所以这条直线的方程为=,整理得6x-8y-13=0,化为截距式方程为-=1.(2)因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即7x-y-11=0,化为截距式方程为-=1.能力提升9.经过点A(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( B )(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条解析:当直线过原点时1条,不过原点时有两条,故选B.10.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,则实数m的值是( C )(A)-2 (B)-7 (C)3 (D)1解析:由中点坐标公式,得线段MN的中点是(,0).又点(,0)在线段MN的垂直平分线上,所以+0=1,所以m=3.故选C.11.(2018·青岛一中高一检测)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是.解析:直线AB的方程为+=1,设P(x,y),则x=3-y,所以xy=3y-y2= (-y2+4y)= [-(y-2)2+4]≤3.即当P点坐标为(,2)时,xy取得最大值3.答案:312.已知三角形三个顶点是A(-5,0),B(4,-4),C(0,2).(1)求BC边上的中线所在直线方程;(2)求BC边上的高AE所在直线方程.解:(1)因为B(4,-4),C(0,2),所以BC的中点坐标为D(2,-1),可得直线AD的斜率为k AD==-,因此直线AD方程为y=- (x+5),化简得x+7y+5=0,即为BC边上的中线所在直线方程.(2)因为直线BC的斜率为k BC==-,所以BC边上的高AE的斜率为k==,由此可得直线AE的方程为y= (x+5),化简得2x-3y+10=0,即BC边上的高AE所在直线方程为2x-3y+10=0.探究创新13.已知直线l:y=-x+1,试求:(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;(2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.解:(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0,y0),则线段PP′的中点M在直线l上,且PP′⊥l.所以解得即P′点的坐标为(,).(2)由得l与l1的交点A(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设B关于l的对称点B′为(x1,y1),则即所以即B′(,),所以l2的斜率为k AB′==7.所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′,直线l上任一点P2(x2,y2)关于点A的对称点P2′(x,y)一定在直线l′上,反之也成立.由得将(x2,y2)代入直线l的方程得x+2y-4=0,所以直线l′的方程为x+2y-4=0.。
课时作业10：3．2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB |C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1 D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝04．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <05．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________________.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是____________________．三、解答题10．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．11．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．12．已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)．(1)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C的直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围．答案精析1．D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C7.x 2＋y 6＝1 8．3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝09．3x ＋2y －6＝010．解 设所求直线方程为x a ＋y b＝1. ∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5， 即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1 或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0， 所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y －52＝1. 12．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)， 整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－(－5)＝25， k BC ＝2－(－3)0－3＝－53. 要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。
高中数学 3.2.2直线的两点式方程练习 新人教A版必修2
3．2.2 直线的两点式方程基础梳理直线方程的两点式和截距式． 名称 已知条件 示意图方程 使用范围两 点 式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝ x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为截 距 式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且ab≠0x a ＋y b＝1 斜率存在且不为0，不过原点练习1：两点式直线方程不能表示与x 轴或与y 轴平行的直线．练习2：(1)截距式中a 表示在x 轴上的截距，b 表示在y 轴上的截距，它们均可正可负． (2)直线x －3＋y2＝1在x 轴上截距为：－3，y 轴上截距为：2．►思考应用直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？解析：不能用之代替．因为此方程中x －x 1≠0，会比原来方程表示的直线少一点．自测自评1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(B )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式2．过两点(6，2)，(3，2)的直线方程是(B )A ．x ＝5B ．y ＝2C ．x ＋y ＝2D ．x ＝23．在x ，y 轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(A )A .x －3＋y 4＝1B .x 3＋y－4＝1 C .x －3－y 4＝1 D .x 4＋y－3＝1 4．直线l 过点(－1，0)和(2，6)，点(1 004，b)在直线l 上，则b 的值为(D )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．2 010解析：由两点式可得直线方程为y －06－0＝x ＋12＋1，即y ＝2(x ＋1)．点(1 004，b)代入直线方程得，b ＝2×(1 004＋1)＝2 010. 基础达标1．过P 1(2，0)，P 2(0，3)两点的直线方程是(B )A .x 3＋y 2＝1B .x 2＋y 3＝1 C .x 3－y 2＝1 D .x 2－y 3＝12．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是(C ) A ．1 B ．－2 C ．－2或1 D ．2或1解析：①令x ＝y ＝0得a ＝－2，②令x ＝0，得y ＝a ＋2；令y ＝0，得x ＝2＋aa .由a ＋2＝2＋aa得a ＝1.3．下列四个命题中是真命题的是(B )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)·(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示 D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示4．直线x a ＋yb＝1过一、二、三象限，则(C )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：∵x a ＝yb ＝1过一、二、三象限，且a 是x 轴上的截距，b 是y 轴上的截距，∴a ＜0，b ＞0.5．若三角形ABC 的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB 、BC 两边中点的直线方程为________．答案：x －3y －2＝06．过点C(－4，0)，D(0，－6)的直线的截距式方程是__________，化为斜截式方程是__________．答案：x －4＋y －6＝1 y ＝－32x －6 巩固提升7．过点A(－1，2)作直线l ，使它在x 轴、y 轴上的截距相等，则这样的直线有(C )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：分截距为0和不为0的两种情况讨论，各有一条直线．8．若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b )(ab≠0)共线，则1a ＋1b ＝________．解析：设直线方程为x a ＋yb ＝1，∴2a ＋2b ＝1，∴1a ＋1b ＝12. 答案：129．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程．解析：解法一 设直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k(x －6)(k≠0)． 令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k ＋6.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得：k 1＝－23或k 2＝－12. ∴直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)．即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1.解法二 设直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b. 令y ＝0，则x ＝－bk.依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧－b k ＝b ＋1，6k ＋b ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12，b 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－23，b 2＝2. ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1或y ＝－23x ＋2.解法三 设直线l 与y 轴的交点为(0，b)，则直线方程的两点式为y －b －2－b ＝x －06－0.令y ＝0，得x ＝6b b ＋2. ∴6bb ＋2＝1＋b ，解得b 1＝1或b 2＝2. ∴直线l 的方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0.解法四 设直线方程的截距式为x b ＋1＋y b ＝1，又直线l 过点(6，－2)．∴6b ＋1＋－2b ＝1，解得b 1＝1，b 2＝2.∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.即x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0.1．直线的两点式方程既不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，但若把方程改写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0则克服了这一缺点．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便，注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且都等于0.3．截距式既不能表示与坐标轴垂直的直线，也不能表示过原点的直线．当遇直线在两坐标上截距相等或是倍数关系时，务必考虑截距为0的情形．。
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[课时作业]
[A组基础巩固]
1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是()
A.x
－3＋
y
4＝1 B.
x
3＋
y
－4
＝1
C.x
－3－
y
4＝1 D.
x
4＋
y
－3
＝1
解析：代入截距式方程即得．
答案：A
2．直线l过点(－1,0)和(2,6)，点(1 007，b)在直线l上，则b的值为() A．2 013B．2 014 C．2 015D．2 016
解析：由两点式可得直线方程为y－0
6－0
＝
x＋1
2＋1
，
即y＝2(x＋1)．点(1 007，b)代入直线方程得，
b＝2×(1 007＋1)＝2 016.
答案：D
3．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是() A．1B．－2 C．－2或1D．2或1
解析：①令x＝y＝0得a＝－2，
②令x＝0，得y＝a＋2；令y＝0，得x＝2＋a a.
由a＋2＝2＋a
a得a＝1.
答案：C
4．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为()
A．x－y－1＝0 B．x－y－2＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1，
∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，
即x＋y－1＝0.
故选C.
答案：C
5．已知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，72，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线的斜率为( ) A ．－2
B ．2 C.12 D ．－12
解析：AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋32，2＋12， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，故所求直线的斜率k ＝72－323－2
＝2. 答案：B
6．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．
解析：平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，又直线l 过
原点，所以直线l 的方程为y ＝23x .
答案：y ＝23x
7．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．
解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，
∴y ＝－32x ；
(2)不过原点时，设为x a ＋y －a
＝1， ∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，
∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.
答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0
8．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是________．
解析：k AB ＝1－3－5－1
＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.
答案：3x ＋y ＋4＝0
9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．
(1)求点C 的坐标；
(2)求直线MN 的方程．
解析：(1)设顶点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，
由中点坐标公式：⎩⎪⎨⎪⎧ m －12＝0，
n ＋32＝0，
解得⎩⎨⎧
m ＝1，n ＝－3， ∴C 点的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0， 由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y －12
＝1，即y ＝15x －12，即2x －10y
－5＝0.
10.某房地产公司要在荒地ABCDE (如图所示)上划出一块长
方形地面(不改变方位)建造一幢8层楼公寓，问如何设计才能
使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m 2)．
解析：建立如图所示的坐标系，
则线段AB 的方程为：
x 30＋y 20＝1(0≤x ≤30)．
设P 的坐标为(x ，y )，
则y ＝20－2x 3
. ∴公寓占地面积
S ＝(100－x )(80－y )＝(100－x )(80－20＋2x 3)
＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)．
当x ＝5，y ＝503时，S 最大，最大值为
S max＝－2
3×5
2＋
20
3×5＋6 000≈6 017(m
2)．
即当长为95 m，宽为190
3m时，
公寓占地面积最大，最大值为6 017 m2.
[B组能力提升]
1．直线x
a＋y
b＝1过一、二、三象限，则()
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：∵x
a＋
y
b＝1过一、二、三象限，且a是x轴上的截距，b是y轴上的截距，
∴a＜0，b＞0.
答案：C
2．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为
x a＋y
a＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条．
答案：B
3．过(a,0)，(0，b)和(1,3)三点且a、b均为正整数的直线方程为________．
解析：∵直线过(a,0)，(0，b)和(1,3)，
∴由斜率相等可得3a＋b＝ab.
又∵a、b均为正整数，
∴a＝2，b＝6或a＝4，b＝4；
∴y＝－x＋4或y＝－3x＋6.
答案：y＝－x＋4或y＝－3x＋6
4．若两点A(x1，y1)和B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是____________．
解析：两点确定一条直线，点A、B均满足方程3x－5y＋6＝0.
答案：3x－5y＋6＝0
5．△ABC的三个顶点是A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，直线l：x＝a将△ABC分割成
面积相等的两部分，求a 的值．
解析：由题意可得0<a <3，S △ABC ＝12×3×3＝92.
若a <2，则x ＝a 与AC 交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，3－32a ， ∴12×32a 2＝94，得a ＝3；
若a >2，则x ＝a 与BC 交于点(a,3a －6)，
∴12×(3－a )×(9－3a )＝94，得a ＝3－62，与a >2矛盾，舍去．故a ＝ 3.
6．已知三角形的顶点是A (8,5)、B (4，－2)、C (－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．
解析：设AB 、BC 、CA 的中点分别为D 、E 、F ，根据中点坐标公式得D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，32、E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，12、F (1,4)． 由两点式得DE 的直线方程为y －3212－32
＝x －6－1－6
. 整理得2x －14y ＋9＝0，这就是直线DE 的方程．
由两点式得y －124－12
＝x －(－1)1－(－1)， 整理得7x －4y ＋9＝0，这就是直线EF 的方程．
由两点式得y －324－32
＝x －61－6， 整理得x ＋2y －9＝0，
这就是直线DF 的方程．。