高中数学必修四三角函数
高中数学必修四三角函数
高中数学必修四中的三角函数主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数及其逆函数。下面是这些函数的定义和性质：
1. 正弦函数（sin）：对于任意实数θ，定义其正弦值为
y=sinθ，其中y满足-1≤y≤1。正弦函数是一个周期为2π
的周期函数，其图像呈现波浪形状。
2. 余弦函数（cos）：对于任意实数θ，定义其余弦值为
y=cosθ，其中y满足-1≤y≤1。余弦函数也是一个周期为
2π的周期函数，其图像呈现山峰和谷底的形状。
3. 正切函数（tan）：对于任意实数θ，定义其正切值为
y=tanθ，其中y为实数。正切函数在一些特定值上无定义，例如tan(π/2)和tan(3π/2)等。正切函数的图像呈现周期性，并且在某些点上会趋近于无穷大。
4. 逆正弦函数（arcsin）：对于任意实数y，定义其反正弦值为θ=arcsin(y)，其中θ满足-π/2≤θ≤π/2。逆正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
5. 逆余弦函数（arccos）：对于任意实数y，定义其反余弦值为θ=arccos(y)，其中θ满足0≤θ≤π。逆余弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
6. 逆正切函数（arctan）：对于任意实数y，定义其反正切值为θ=arctan(y)，其中θ满足-π/2<θ<π/2。逆正切函数的定义域是实数集R，值域是(-π/2, π/2)。
三角函数及其逆函数在数学中具有广泛的应用。在数学的计算中，可以通过这些函数相互转化，借助其性质求解各种数学问题。
高中数学必修4《三角函数》知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ︒ =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒ ︒+<<+∈ 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒ ︒+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα︒ ︒+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 任意角的概念 弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角 和角公式 倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用
5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒ =π 8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒ 弧度 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56 π π 2π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：211 22 S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+. 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 ︒ 270 360 弧度 6 π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π 32 π 2π sin α 0 12 22 32 1 32 22 12 1 0 cos α 1 32 22 12 12 - 2 2- 3 2- 1- 0 1 tan α 0 33 1 3 无 3- 1- 33 - 无 r y) (x,α P
高中数学(必修四)三角函数
高中数学必修四〔三角函数〕 一、典型例题 例1、已知函数f(x)= ) x cos x (sin log 21- （1）、求它的定义域和值域； （2）、求它的单调区间； （3）、判断它的奇偶性； （4）、判断它的周期性。 分析： （1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及 π+π<<π+π45k 2x 4k 2，k ∈Z ∴ 函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π，k ∈Z ∵ )4x sin(2x cos x sin π-=- ∴ 当x ∈)45k 2,4k 2(π+ππ+π时，1)4x sin(0≤π-< ∴ 2cos x sin 0≤-< ∴ 21 2log y 21-=≥ ∴ 函数值域为[+∞- ,21） （3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x) ∴ 函数f(x)最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx 的符号； 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx 的符号，如图。 例2、化简)cos 1(2sin 12α++α+，α∈（π，2π） 分析： 凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ∵ 2 22)2cos 2(sin 2cos 2sin 22cos 2sin sin 1α+α=αα+α+α=α+ 2c o s 4)12c o s 21(2)c o s 1(222α=-α+=α+ ∴ 原式=|2cos |2|2cos 2sin |2α+α+α ∵ α∈（π，2π） ∴ ),2(2ππ∈α ∴ 02cos <α
高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A
7、正切、余切的增减性： 一、任意角的三角函数的定义： 设 α是 任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>， 那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α= ≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线
高中数学必修4三角函数
1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 3．终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360 °， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o
高中人教A版数学必修4：第3课时 任意角三角函数的定义 Word版含解析
任意角三角函数的定义 1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P 2 3sin(α＋k ·2π)＝sin α cos(α＋k ·2π)＝cos α tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )． 一、选择题 1．已知点P (4－3)是角α终边上一点则下列三角函数值中正确的是( ) A ．tan α＝－43 B ．tan α＝－3 4 C ．sin α＝－45 D ．cos α＝3 5 答案：B 解析：由三角函数的定义知x ＝4y ＝－3r ＝5所以sin α＝y r ＝－35cos α＝x r ＝45tan α＝y x ＝－3 4 2．如果角α的终边过点P (2sin30°－2cos30°)则sin α的值等于( ) A 12 B ．－12 C ．－32 D ．－3 3 答案：C 解析：由题意得P (1－3)它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2∴sin α＝－3 2 3．设a <0角α的终边经过点P (－3a 4a )则sin α＋2cos α的值等于( ) A 25 B ．－25 C 15 D ．－15 答案：A 解析：∵a <0角α的终边经过点P (－3a 4a )∴点P 与原点的距离r ＝－5a sin α＝－4 5 cos α ＝35∴sin α＋2cos α＝2 5 选A 4．若sin θ A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：由条件可知cos θ>0sin θ<0则θ为第四象限角故选D 5．cos480°的值是( ) A ．－12 B 12 C 32 D ．－32 答案：A 解析：480°＝360°＋120°所以cos480°＝cos120°＝－1 2 6．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π 3的值为( ) A ．－1＋32 B 1－32 C 3－12 D 3＋12 答案：C 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 23π＋sin 23π＝－12＋32＝3－12 二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________ 答案：0 解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0 8．若点P (2m －3m )(m ＜0)在角α的终边上 则sin α＝______cos α＝______tan α＝______ 答案：31313 －21313 －32 解析：因为点P (2m －3m )(m ＜0)在第二象限且r ＝－13m 所以sin α＝－3m r ＝－3m －13m ＝31313cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313tan α＝－3m 2m ＝－3 2 9．如果cos x ＝|cos x |那么角x 的取值范围是________． 答案：⎣ ⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π 2k ∈Z 解析：由cos x ＝|cos x |知cos x ≥0 ∴角x 的终边落在y 轴或其右侧从而角x 的取值范围是⎣ ⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π 2k ∈Z 三、解答题 10．已知角α的终边经过点P (－4a 3a )(a ≠0)求sin α、cos α、tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a | 若a >0则r ＝5|a |＝5a 此时角α是第二象限角 ∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－4 5 tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34 ； 若a <0则r ＝5|a |＝－5a 此时角α是第四象限角∴sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35cos α＝x r ＝－4a －5a ＝ 4 5 tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34 综上可得当a >0时sin α＝35cos α＝－45tan α＝－34；当a <0时sin α＝－35cos α＝45tan α＝－3 4 高一必修四：三角函数 一任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义： (1) 正角，负角，零角：见上文。 (2) 象限角：角的终边落在象限内的角, 根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等 (3) 轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在x 轴上的角的集合：| k 180 , k Z 终边在y 轴上的角的集合：| k 180 90 , k Z 终边在坐标轴上的角的集合：| k 90 , k Z (4) 终边相同的角：与终边相同的角x 2k (5) 与终边反向的角：x(2k 1) 终边在y=x 轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z 终边在y x轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z (6) 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180 k (7) 成特殊关系的两角 若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：360 k 若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：360 k 180 若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360 k 90 注：（1）角的集合表示形式不唯一 （2）终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同• 3、本节主要题型： 1. 表示终边位于指定区间的角• 例1:写出在 720到720之间与 1050的终边相同的角• 例2:若 是第二象限的角，则2，—是第几象限的角？写出它们的一般表达形式 2 例3:①写出终边在y 轴上的集合. ② 写出终边和函数 y x 的图像重合，试写出角 的集合• ③ 在第二象限角，试确定2 ,,所在的象限. 2 3 ④ 角终边与168角终边相同，求在［0 ,360 ）内与—终边相同的角. 3 （二）弧度制 1、弧度制的定义： — R 2、 角度与弧度的换算公式： 360° =2 180°= 1° = 1= ° =57° 18' 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 一个式子中不能角度，弧度混用. 3、 题型 （1）角度与弧度的互化 7 4 例:315，330，，- 6 3 ⑵ L , l r ，s R 例1:已知扇形周长10cm ,面积4cm 2,求中心角 例2:已知扇形弧度数为 72 ,半径等于20cm ,求扇形的面积. 例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时，面积最大. 3 7 例 4: 1 570 , 2 750 , , 2 - 5 3 l|r 丄『的应用问题 2 2 高中数学必修4知识点总结：第一章_三角函数 高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角? 2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k 第三象限角的集合为??k?360?180k?360?270,k 第四象限角的集合为??k?360?270k?360?360,k 终边在x轴上的角的集合为k?180,k 终边在y轴上的角的集合为k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为k?90,k??? 3、与角?终边相同的角的集合为k?360??,k??? 第一象限角的集合为?k?360k?360?90,k?? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是?? 6、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1? 7、若扇形的圆心角为?l．r?180，118057.3．为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r，C?2r?l，11S?lr??r2． 22 8、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标 是?x,y?，它与原点的距离是rr??0，则sinyxy，cos??，tanx?0?． rrx系9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin，cos，tan． 11、角三角函数的基本关1 1?sin2??cos2??1 2?sin??tan?cos??sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??； 公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变； ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4为偶数,所以取sinα. 当α是锐角时,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符号为“－”. 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变,符号看象限. 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限. 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”,弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型. （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积. （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式. （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方. 任意角 一、知识概述 1、角的分类：正角、负角、零角. 2、象限角：〔1〕象限角. 〔2〕非象限角〔也称象限间角、轴线角〕. 3、终边一样的角的集合：所有与角终边一样的角，连同α角自身在，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边一样． 4、准确区分几种角 锐角：0°<α<90°； 0°～90°：0°≤α<90°； 第一象限角：． 5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角〔1 rad〕. 1 rad=，1°=rad. 6、弧长公式：l=αR. 7、扇形面积公式：. 二、例题讲解 例1、写出以下终边一样的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来： 〔1〕60°；〔2〕－21°；〔3〕363°14′． 解： 〔1〕， S中满足的元素是 〔2〕， S中满足的元素是 〔3〕， S中满足的元素是 例2、写出终边在y轴上的角的集合. 解析： ∴. 注： 终边在x轴非负半轴：. 终边在x轴上：. 终边在y=x上：. 终边在坐标轴上：. 变式：角α与β的终边关于x轴对称，那么β=_______. 答案：. 角α与β的终边关于y轴对称，那么β=_______. 答案： 任意角的三角函数 一、知识概述 1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P〔x，y〕，那么sinα=y，cosα=x，tanα=. 注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，那么 . ②α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边一样的角所在的位置. 2、公式一：， ， ，其中. 3、三角函数线 角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，那么sinα=MP(正弦线)，cosα=OM 〔余弦线〕.过A作单位圆的切线，那么α的终边或其反向延长线交此切线于点T，那么tanα=AT〔正切线〕. 注：假设，那么. 人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α, π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2 π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x =1，x x x tan cos sin =. 6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响. 7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、知识框图 三、教学要求 1．1任意角、弧度 四、教学建议 1．课时分配：(共16个课时) 倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （s ina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) §04。 三角函数 知识要点 1. ①与α(0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合):{} Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-⨯=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0。01745 1=57。30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57。30°=57°18ˊ． 1°＝180 π ≈0。01745（rad ） 3、弧长公式：r l ⋅=||α。 扇形面积公式:211||22 s lr r α==⋅扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y)P 与原点的距离为r,则 r y =αsin ； r x =αcos ； =αtan y x = αcot ； x r =αsec ；。 y r =αcsc 。 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP ； 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 16. 几个重要结论: 数学必修四所有三角函数公式 “三角函数”是从古希腊数学家凯撒伯罗的一篇论文中来的，它开始于一个环状几何图形的旋转动作，因此他们又被称为“旋转函数”。三角函数在数学必修四中有着广泛的应用，其基本公式包括正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式，以及余切函数公式等。 正弦函数公式： sin x=y/r 其中，x为角度值（单位为弧度），y为三角形直角边，r为斜边。此函数表示，角度X对应的正弦值为y/r。 余弦函数公式：cos x=a/r 其中，x为角度值（单位为弧度），a为三角形的邻边，r为斜边。此函数表示，角度X对应的余弦值为a/r。 正切函数公式： tan x=y/a 其中，x为角度值（单位为弧度），y为三角形的直角边，a为邻边。此函数表示，角度X对应的正切值为y/a。 余切函数公式：cot x=a/y 其中，x为角度值（单位为弧度），a为三角形的邻边，y为直角边。此函数表示，角度X对应的余切值为a/y。 此外，还有一些特殊的三角函数，比如正割函数sec x、余割函数csc x、双曲正切函数tanh x和双曲余切函数coth x等。 正割函数公式：sec x=r/a 其中，x为角度值（单位为弧度），r为三角形的斜边，a为邻边。此函数表示，角度X对应的正割值为r/a。 余割函数公式：csc x=r/y 其中，x为角度值（单位为弧度），r为三角形的斜边，y为直角边。此函数表示，角度X对应的余割值为r/y。 双曲正切函数公式：tanh x=y/(ar) 其中，x为角度值（单位为弧度），y为三角形的直角边，a为邻边，r为斜边。此函数表示，角度X对应的双曲正切值为y/(ar)。 双曲余切函数公式：coth x=ar/y 其中，x为角度值（单位为弧度），a为三角形的邻边，r为斜边，y为直角边。此函数表示，角度X对应的双曲余切值为ar/y。 三角函数的基本运算法则是： 1.sin(-x)=-sin x 2.cos(-x)=cos x 3.tan(-x)=-tan x 4.sec(-x)=sec x 5.csc(-x)=csc x 6.cot(-x)=-cot x 7.sin(π/2+x)=cos x 8.cos(π/2+x)=-sin x 9.tan(π/2+x)=-cot x 10.sec(π/2+x)=-csc x 高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断3 α 所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式： 高一必修4数学三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA- tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A- B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1- cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=- √((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A- B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 第一、任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角, 与角上终边相同的角的集合 I 2k ,k z ，弧度制，弧度与角度的换算， :任意角的三角函数定义： 任意角 的终边上任意取一点p 的坐标是（x , y ）,它与原点的距 离是r x 2 y 2 （r>0），那么角 的正弦sin a -、余弦cosa -、正切tana -，它们都是以角 r r x 为自变量，以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号： 三：同角三角函数的关系式与诱导公式: 22 sin . 1.平方关系：sin cos 1 2.商数关系： tan cos 3 •诱导公式一一口诀：奇变偶不变，符号看象限 sin 4. 两角和与差公式：cos tan sin cos cos sin 弧长 1 r 、扇形面积 s 2|r 1 |r 2， cos cos msin sin tan tan sin 22sin cos 5.二倍角公式：COS 2 2 2 2 2 cos sin 2cos 1 1 2sin tan 2 2 tan 1 tan2 2 2 余弦二倍角公式变形：2cos 1 cos2 , 2sin 1 cos2 第二、三角函数图象和性质 基础知识：1、三角函数图像和性质 解析式y=s inx y=cosx y tanx 定义域 值域和最值 y ------------------- 当x ， y ------------------- 当x , y 无最值y取最小值—1 当x , y取最大值1 y取最小值-1 当x , y取最大值1 y=s inx __ -5 -4 -7-3 . 2 -3 2 y=cosx -3 -4 -7 -5 2 - 2 -3 y=ta nx I J* 11 f I f J \ J ■■ 3 - — 7 -2 / 1 1 H J o _/ 二 2 r I — y 7 22 -1 y 2 1 -1 2 §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+⨯=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-⨯=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==⋅扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域必修四三角函数知识点经典总结
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