理论力学第六章点的运动学(Y)(2)
理论力学习题册答案
第一章静力学公理与受力分析(1)一．是非题1、加减平衡力系公理不但适用于刚体.还适用于变形体。
（）2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点.该刚体必处于平衡状态。
（）3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型.在自然界中并不存在。
（）4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。
（）5、力是滑移矢量.力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。
（）二．选择题1、在下述公理、法则、原理中.只适于刚体的有（）①二力平衡公理②力的平行四边形法则③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理三．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重.所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
b(杆ABa(球A ))d(杆AB、CD、整体)c(杆AB、CD、整体))e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体四．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重.所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体第一章 静力学公理与受力分析（2）一．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重.所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
WADB CE Original FigureAD B CEWWFAxF AyF BFBD of the entire frame)a (杆AB 、BC 、整体)b (杆AB 、BC 、轮E 、整体)c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体)e(杆CE、AH、整体)f(杆AD、杆DB、整体)g(杆AB带轮及较A、整体)h(杆AB、AC、AD、整体第二章平面汇交和力偶系一．是非题1、因为构成力偶的两个力满足F= - F’.所以力偶的合力等于零。
（）2、用解析法求平面汇交力系的合力时.若选用不同的直角坐标系.则所求得的合力不同。
（）3、力偶矩就是力偶。
（）二．电动机重P=500N.放在水平梁AC的中央.如图所示。
理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理 5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
第六章点的运动和刚体的基本运动
例 题 6-1
解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关
L A
系，有
l
B
OM BM OL AB
h O
M x
即
x x vt h l
vt
x
从而求得 M 点的直线运动方程
x h vt hl
M 点的速度
v dx h v dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
例 题 6-6
解：
已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心 在A点 ， 半径是R。选滑道上O' 点作为 弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B
+s ω O R -s E φ A
D
C B s
点在任一瞬时的弧坐标
s R
但是，由几何关系知 且 得
θ R O'
2 ，
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
又 v vx i vy j vz k
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
dx 故 vx dt
速度大小
dy vy dt
2 2
dz vz dt
2
v v x v y vz vx vy vz 方向 cos( v , i ) cos( v , k ) cos(v , j ) v v v
π sin 2π t ，将其代入上式， 8
π sin 2π t 40
s 2 R
这就是B点的自然形式的运动方程。
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
理论力学：第六章 点的运动学
d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a
a2x a2 y a2z
c
os
(ai
)
ax a
8
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程 S=S (t)
9
2.自然轴系
二.点的速度
v
lim
t 0
r t
<6> 常数 (圆周运动)
<7> a 0 (匀速运动)
<8> a n 0 (直线运动)
<9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
14
④点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
(不可能) (减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
15
⑥ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 <2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零
dr dt
r
三.加速度
a
Δltim0ΔΔvt
dv dt
d 2r dt 2
r
5
§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
38理论力学第六章点的运动学PPT课件
一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定： 动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数 量，称其为动点M在轨迹上 的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、 主法线、副法线为坐标轴组 成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称 为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章 点的运动学
3
6-1 矢量法
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学第六章
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
006理论力学-点的运动学
x = (BC+ CM) cosϕ = (l + a) cosωt y = AMsinϕ = (l − a) sinωt
9
这就是动点M的运动方程。从运动方程中消去时间t，即得轨 迹方程
x2 y2 + =1 2 2 (l + a) (l − a) 可见，动点M的轨迹为一椭圆，其长轴与x轴重合，短轴与y 轴重合。当M点在BC段上时，椭圆的长轴将与y轴重合，短轴 将与x轴重合。 x M点的速度在坐标轴上的投影为
1
引
言
运动学的一些基本概念 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 ① 运动学 (包括轨迹、速度、加速度等)，而不考虑运动的原因。 ② 运动学研究的对象 ③ 运动学学习目的 ① 建立机械运动的描述方法 ② 建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④ 运动是相对的 ( relativity ) ：参考体(物)；参考系； 静系；动系。 瞬时、 ⑤ 瞬时、时间间隔 (⋅)t (⋅− − − ⋅)∆t = t 2 − t1 ⑥ 运动分类 1)点的运动； 2)刚体的运动
dx = −ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l − a ) cos ωt dt
10
速度的大小为
2 2 v = vx + vy =ω (l + a)2 sin2 ωt + (l − a)2 cos2 ωt =ω l 2 + a2 − 2alcos2ωt
速度的方向余弦为
12
§6-3 平面极坐标法
• 平面极坐标系 • 位置坐标（r , • 轨道方程 •
ϑ）
r = r (t ),
r j
r
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理论力学第六章点的运动学(Y)(2)
工程运动学与机构运动分析
运动学的力学模型：点、刚体和刚体系，通称物体。
物体的运动不仅与受力有关，还与物体本身的惯性、初始运动状态、约束等因数有关，是一个比较复杂的问题。
为了循序渐进，暂时不考虑影响物体运动的物理因素，而只研究物体机械运动的几何性质。
运动学的任务：●建立物体运动规律的描述方法；●分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度
以及它们之间的关系；●研究物体运动的分解与合成规律。
一、描述点运动的矢量法二、描述点运动的直角坐标法三、描述点运动的弧坐标法
研究对象：几何点，称为动点，有时简称为点。
研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。
例如研究图示轮缘上点M的运动，可以看出M点沿摆线运动。
O1
一、描述点运动的矢量法1、运动方程和轨迹研究对象―― 动点M 选定参考空间上的点O为坐标原点从坐标原点O向动点M作矢量r
r 为点M相对于原点O的位置矢量――简称为矢径当动点运动时，矢径r 随时间而变化，且矢径单值连续函数r 是时间的
r r t
――矢量表示的点的运动方程
动点在运动过程中，矢径r 的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线―― M点的运动轨迹
2、速度速度―― 描述点在t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。
t 瞬时: 矢径
r (t )
t+ t 瞬时: 矢径
r (t t )
t 时间间隔内矢径的改变量
r (t t ) r r (t ) r r (t t ) r (t ) r dr v lim r t 0 t dt速度大小：――点在t 瞬时的速度
dr v v dt
速度方向:沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；
3、加速度加速度――描述点在t 瞬时速度大小和方向变化率。
t 瞬时: 速度
v (t ) v (t t )
t+ t 瞬时:速度
t 时间间隔内速度的改变量
v v (t t ) v (t ) v dv a lim v t 0 t dt
dv d r a 2 r dt dt
2
――点在t 瞬时的加速度
矢端曲线
速度矢端曲线
动点M的速度和加速度图
加速度大小：a a v r 加速度的方向：沿速度始端曲线图的切线方向。
二、描述点运动的直角坐标法1、运动方程不受约束的点在空间有3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)直角坐标法表示的点的运动方程
2、速度直角坐标与矢径之间的关系
r xi yj zk i y j z k ) ( xi yj zk ) v r (x (Oxyz)为固定参考系―― i 、j、k 为常矢量i
j k 0 x i y j z k vxi v y j vz k v r
, vy y , vz z vx x点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。
dx vx dtdy vy dt
v v v v2 x 2 y
2 z
dz vz dtvx cos(v , i ) v cos(v , j ) vy v vz cos(v , k ) v
3、加速度
v vx i v y j vz k
dv y dv dvx dvz a i j k axi a y j az k dt dt dt dtdvx d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dvz d 2 z az 2 dt dtax cos(a , i ) a
a a a a2 x 2 y
2 z
x , a y v y , az v z ax v x y zcos(a , j ) ay a az cos( a , k ) a
三、描述点运动的弧坐标法如果动点沿着已知轨迹运动，用自然法描述点的运动，物理意义更明确、更直观。
1、点的运动方程坐标原点――一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点；正、负方向――一般以点的运动方向作为正向；
s = f (t)
――弧坐标表示的点的运动方程
动点M在已知轨迹上的位置由弧长确定，弧长S 称为动点M在轨迹上的弧坐标。
2、自然轴系
M――空间曲线上的动点；
(1)过点M 作轨迹的切线T ,取为切线的单位矢量。
过切线
T 作一个平面，称为密切面。
密切面的几何意义：曲线上M点处微小弧长ds 所在的平面；平面问题：密切面就是曲线所在的平面；空间问题：密切面随点M而改变。
密切面
(2)过点M 作一平面垂直于切线
,称为法平面。
法平面内所有的直线均垂直于切线。
(3)法平面与密切面的交线，称为主法线N。
因为主法线也在法平面内所以也垂直于切线。
取n 为主法线单位矢量，正向指向曲线的凹侧。
主法线N――密切面内垂直于切线的直线，正向指向曲率中心；法平面
密切面
(4)过点M ,在法平面内作一直线MB n ,MB 线称为副法线，取b 为副法线单位矢量，且满足下式：
b τ n
副法线B――过动点M垂直于切线和主法线的直线。
τ、n 、b
构成一个以点M 为坐标原点，并跟随点M
一起运动的直角坐标系，称为自然轴系。
法平面
密切面
τ 、n 、b ――自然轴系自然轴系的特点：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
τ n b
――指向弧坐标S 的正向。
――指向曲线的凹侧，即指向曲率中心。