三角函数学案

第五章三角函数

学案（1）角的推广（一）

1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；

2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；

3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.

1．初中是如何定义角的？

2．初中我们所接触的角的范围是

初中所学习的角的意义是否有些狭隘？（在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720°”（即转体2周），“转体1080°”（即转体3周）；如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？

在奥运会上跳水运动员的跳水难度系数经常有转体多少多少度，这些度数是否超过了我们初中所学角的范围？）

1．角的新定义：

（请试着标出关键词）

2．推广后的角可以如何进行分类？

3．什么叫解析法？

4．象限角是如何定义的？

5．什么叫做终边相同的角？

6．试着在0?到2000?范围内写出与30?的终边相同的角.观察有没有什么规律，这样的规律如何表示.

结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：

7．相等的角终边一定相同，那终边相同的角一定相等吗？

例1在0到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.

例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在??-720~360间的角写出来： （1）60° 21-?（2） 36314阿（3）.

练习

1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？ 0°～90°的角是锐角吗？

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

(1)420° (2)－75° (3)855° (4)－510°

注意:以后凡是没有给出 “始边落在x 轴的正半轴上” 都默认为此条件.

作业

1．下列命题中正确的是( )

（A ）终边在y 轴非负半轴上的角是直角 （B ）第二象限角一定是钝角

（C ）第四象限角一定是负角 （D ）若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Z ），则α与β终边相同 2．与120°角终边相同的角是( ) （A ）－600°＋k ·360°，ｋ∈Z （B ）－120°＋k ·360°，ｋ∈Z （C ）120°＋(2k ＋1）·180°，ｋ∈Z （D ）660°＋k ·360°，ｋ∈Z

3．若角α与β终边相同，则一定有( )

（A ）α＋β＝180° （B ）α＋β＝0°

（C ）α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Z （D ）α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z

4．与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 . 5．今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 . 6．钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).

8．已知A＝{锐角}，B＝{0°到90°的角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}．求: A∩B，A∪C，C∩D，A∪D

9．将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Z，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.

（1）560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′

（4）－2903°15′（5）3900°（6）－3900°

10．写出终边落在第一象限角的角集合:

写出终边落在第二象限角的角集合:

写出终边落在第三象限角的角集合:

写出终边落在第四象限角的角集合:

11．试写出终边落在x轴正半轴的所有角的集合:

学案（2）角的推广（二）

1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；

2．掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；

3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题.

1．角的概念的推广.

2．正角、负角、零角.

3．象限角、终边相同的角.

4．写出终边在y轴上的角的集合.

7．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界

).

8．已知α是第二象限角，问

2

α是第几象限角？

2α

的终边落在哪里？分别加以说明. 练习

1．若A ＝｛α｜α＝k ·360°，k ∈Z ｝；B ＝｛α｜α＝k ·180°，k ∈Z ｝； C ＝｛α｜α＝k ·90°，k ∈Z ｝，则下列关系中正确的是( )

（A ）A ＝B ＝C （B ）A ＝B I C

（C ）A Y B ＝C （D ）A B C 2．若α是第四象限角，则180°－α是( )

（A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角 3. 若α与β的终边互为反向延长线，则有( ) （A ）α＝β＋180° （B ）α＝β－180°

（C ）α＝－β （D ）α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Z 4．终边在第一或第三象限角的集合是 .

5. α为第四象限角，则2α的终边在 ;角α＝45°+ｋ·90°的终边在第 象限.

作业一

1．写出与370°23′终边相同角的集合S ，并把S 中在－720°～360°间的角写出来. 2. 在直角坐标系中作出角Z k 60180∈?+??=，k α，Z k 6090∈?+??=，k β 角的终边.

3．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).

4. 已知角α是第三象限角,试判断

2α,3

α

的终边落在什么位置. ?≠

?≠

6. 集合{}|60360,A k k Z αα==?+?∈g ,{}|60270,B k k Z αα==?+?∈g

{}|60180,C k k Z αα==?+?∈g 那么集合A,B,C 的关系如何?

作业二

1．在{α|360°≤α≤1440°}中与－21°16′终边相同的角有( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

2. 在{α|360°≤α≤1620°}中与21°16′终边相同的角有( ) （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个

3. 角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Z 的终边落在 ( ) （A ）第一或第三象限 （B ）第一或第二象限 （C ）第二或第四象限 （D ）第三或第四象限

4. 第二象限角的集合可表示为 .

5. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是 .

6. 角α是第二象限角，则180°＋α是第 象限角；－α是第 象限角；180°－α是第________象限角.

学案（3）弧度制

目标

1．理解弧度制的定义；

2．掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算； 3．熟记特殊角的弧度数. 复习

1．角的概念的推广. 2．正角、负角、零角.

3．象限角、终边相同的角.

4．写出终边在y 轴上的角的集合. 5. 写出所有轴上角的集合. 6. 用区间的形式表示象限角. 新课

1. 什么是弧度制？

2. 弧度与角度如何进行转换？

4. 弧长公式与扇形面积公式：

例1 把'3067ο

化成弧度

例2 把rad π5

3化成度

注意几点：

1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略.如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 例3 用弧度制表示：

1. 终边在x 轴上的角的集合

2. 终边在y 轴上的角的集合

3. 终边在坐标轴上的角的集合

练习

1. 下列各对角中终边相同的角是( )

（A ）

ππ

π

k 222+-

和（ｋ∈Z ） （B ）－

3

π和322

π

（C ）－97π和911π

（D ）9

122320ππ和

2. 若α＝－3，则角α的终边在( )

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 若α是第四象限角，则π－α一定在( )

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

4. (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .

5. 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .

6. 圆弧长度等于其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .

7. (选做)求值：sin

tan

tan

cos

tan

cos

3

3

6

6

4

2

π

π

π

π

π

π

+-.

8. 已知集合A ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Z ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .

9. 现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.

作业

已知α是第二象限角，试说明下列各角终边所在位置： (1)2α (2)3

α

(3)2α

学案（4）三角函数的定义

目标

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；

2. 理解三角函数是以实数为自变量的函数；

3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 新课

在初中，我们对于三角函数的定义是基于直角三角形，而到了高中阶段，我们要在直角坐标系的圆里进行定义.

1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222

2>+=

+=

y x y

x r .

2．比值

r

y

叫做α的正弦 记作： r y =αsin

比值r x

叫做α的余弦 记作： r

x =αcos

比值x

y

叫做α的正切 记作： tan y x α=

比值

y

x

叫做α的余切 记作： y x =αcot

比值

x r

叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值

y

r

叫做α的余割 记作： y r =αcsc

根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2

∈+

=k k π

πα时，终边上任意一点P

的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时，

变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.

3. 探究:

①角是“任意角”，当β=2k π＋α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等.

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用. ③三角函数是以“比值”为函数值的函数.

④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.

⑤定义域：对于正弦函数

r y =αsin ，因为ｒ＞0，所以r

y 恒有意义，即α取任意实数，

r

y

恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan y x α=

，因为x ＝0时，x

y

无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，x

y

恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2

Z ∈+

≠k k π

πα.从而有： sin cos tan y y y ααα=== αααcsc sec cot ===y y y )

()(2)

(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ

παπα

4. 注意:

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重

合.

(2)OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.

(3)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.

(4)比值只与角的大小有关.

例1．已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，求α的六个三角函数值. R

R αα∈∈()2

k k Z π

απ≠+∈

α 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 360? 弧度 sin α cos α tan α cot α sec α csc α

（2）已知角α的终边经过P(4a ,-3a ),(a ≠0)求2sin α＋cos α的值

例4．求函数cos tan cos tan x x

y x x

=+

的值域

练习

1. 若点P (－3，ｙ)是角α终边上一点，且3

2

sin -=α，则ｙ的值是 . 2. 角α的终边上一个点P 的坐标为(5a ,－12a )(a ≠0)，求sin α＋2cos α的值.

3. 已知ααcos 2sin =，求2sin 4cos sin 2sin cos 5sin 2cos αα

ααααα

-++及的值.

4．试理解角θ为第三象限角的充分必要条件是sin 0

tan 0

θθ?

5．已知tan α=3，求下列各式的值.

222222664sin cos sin 2sin cos cos (1)

(2)

3sin 5cos 4cos 3sin 31

(3)sin cos (4)sin cos 42(5)sin cos (6)sin cos 11(7)(8)sin cos sin cos αααααααααααααααα

αααα

αα

--?-+-+?+-+

+

6．若α

αα

αsin 3cos 5cos 2sin 4+-＝10，则tan α的值为 .

学案（5）同角三角函数的基本关系（一）

1．掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

3. 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.

复习

1. 三角函数的概念.

2. 三角函数值的符号. 新课

例1．已知5

4

sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值.

例2．已知17

8

cos -

=α，求sin α、tan α的值. 练习 1．已知2

1

cos =θ，求tan θ的值.

2. 已知2

1

cos sin =+αα，求下列各式的值. ①sin 3α＋cos 3α

②sin 4α＋cos 4

α

③sin 6α＋cos 6

α

3. 已知sin α·cos α＝

81，且2

4π

απ<<，则cos α－sin α的值是多少.

学案（6）同角三角函数的基本关系（二）

目标

1．掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2．通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3．注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.

1

csc α

sec αcot α

tan α

cos α

sin α

22sin cos 1αα+=

sin tan cos ααα= αα

α

cot sin cos = tan cot 1αα?= 1sin csc =α?α 1cos sec =α?α

1cos sin 22=+αα 22sec tan 1αα-= 1cot csc 22=-αα

1．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：

13cos 3sin 22=+αα

sin

2tan 2cos 2

α

αα= 2．上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立. 3．一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.

这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).

②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).

新课

例121sin 440-?.

例2．已知α

α

αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简.

例3．求证：α

α

ααcos sin 1sin 1cos +=-.

例4．已知方程0)13(22

=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，

， 求sin cos 1cot 1tan θθ

θθ

+--的值.

例5．（选讲）消去式子中的sin cos tan cot x y θθθθθ

=+??=+?：

例6．已知2sin 2sin ,tan 3tan ,cos αβαβα==求.

练习

1．已知cot α=2，求α的其余三个三角函数值.

2．已知：5

1

sin =α且tan 0α<，试用定义求α的其余三个三角函数值.

3．已知角α的终边在直线y=3x 上，求sin α和cos α的值.

4．化简下列各式，其中(

,)2

π

θπ∈

（1）

1cos 1cos 1cos 1cos θθ

θθ-+++-

（2）

sin tan sin 1cos tan sin θθθ

θθθ

-?-+

（3）θθθ

θ

cos cos 1sin 1sin 22-+- 5．求证：)sin 2)(cot 2()cot 21)(cos 2(2

2

2

2

αααα-+=+-.

6．已知sec tan ,sec tan a c d b d c αααα-=+=.

2

222d c b a +=+求证：

作业

1. 已知sin α＋cos α＝

2

3

1-，且0＜α＜π，则tan α的值为( ) （A

）（B

） （C

（D

2. 若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( )

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 3. 若tan θ＋cot θ＝2，则sin θ＋cos θ的值为( )

（A ）0 （B ）2 （C ）－2 （D ）±2 4. 若tan α＋cot α=2，则sin 4α＋cos 4α＝ . 5. 若tan 2α＋cot 2α＝2，则sin αcos α＝ .

6. 求证

2

3

cos sin 1cos sin 14466=----x x x x . 7．已知tan θ＋cot θ＝2，求sin 3θ－cos 3θ的值.

学案(7)诱导公式（一）

1．理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号； 2．理解并掌握诱导公式

. 1．写出下面函数的定义域

sin cos tan y y y ααα=== α

ααcsc sec cot ===y y y 2．上述函数值的正负是什么样的.

3．终边相同的角的三角函数值有什么样的关系.

4．终边关于x 轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.

5．终边关于y 轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.

例1．确定下列三角函数值的符号. (1)cos250° （2）)4

sin(π

-

（3）tan （－672°） (4) tan

113

π

例2．求下列三角函数的值. (1) 49cos π (2) tan 11()6

π-

例3．求值：sin(－1320?)cos1110?+cos(－1020?)sin750?+ tan4950?

练习

1．确定下列各式的符号 (1)sin100°·cos240° (2)sin5＋tan 5

2．x 取什么值时,

sin cos tan x x

x

+有意义?

3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为（ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形

（C ）直角三角形 （D ）以上三种情况都可能 4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ） （A ）sin α＋cos α<0 （B ）tan α-sin α<0 （C ）cos α-cot α<0 （D ）cot αcsc α<0 5．已知θ是第三象限角且cos 02θ

<，问2

θ

是第几象限角？

6．已知sin 2112θ

??

< ?

??

，则θ为第几象限角？

作业

1．确定下列三角函数值符号：

1617

2. 化简α

αααα222222sin 1

cos 1cos sin cot tan -+--a .

3. 已知sin 3α＋cos 3α=1,求下列各式的值： (1)sin α＋cos α；(2)sin 4α＋cos 4α

学案（8）诱导公式（二）

1．复习诱导公式；

2．通过公式的应用，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；

3．通过对诱导公式的学习，培养思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质.

诱导公式：

例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4

5π

例2．求下列各式的值：（1）sin(－3

4π

)；(2)cos(－60o)－sin(－210o)

例3．化简 )

180sin()180cos()

1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα

例4．已知cos(π＋α)=－

2

1，23π

<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）

（A ）

2

3

（B ）

2

1

（C ）－23 （D ）±23

练习

1．求下式的值：2sin(－1110o) －sin960o＋)210cos()225cos(2?-+?- 2．化简sin(－2)＋cos(－2－π)·tan (2－4π)所得的结果是（ ）

（A ）2sin2 （B ）0 （C ）－2sin2 （D ）－1

作业

1．求下列三角函数值： （1）45sin π； (2)6

19cos π；(3))240sin(?-；(4))1665cos(?-

2．化简：333sin ()cos(5)tan(2)

cos (2)sin(3)tan (4)

απαπααπαπαπ-++-----.

3．当4

5π

θ=时，

sin[(21)]sin[(21)]()sin(2)cos(2)k k k Z k k θπθπθπαπ++---+∈+-的值是____.

4．求值：?-?-+?1065sin )225cos(915sin .

5．化简：23

sin ()cos()cos tan(2)cos ()

αππαα

πααπ--?++?--.

6．已知31)sin(=+πα，2

3παπ<<，则)2cos(πα--的值是_____.

23

学案（9）诱导公式（三）

能熟练掌握诱导公式，求任意角的三角函数值，并能进行简单的三角函数式的化简及论证.

诱导公式

例1．求下列三角函数的值 (1) sin240o； (2)45cos π； (3) sin （－6

7π）

例2．求下列三角函数的值 (1) cos 35π；(2) cos(－150o)；(3) sin 4

7π

.

例3．求值：sin ??? ??-631π－cos ??

?

??-310π

例4．求值：sin(－1200o)·cos1290o＋cos(－1020o)·sin(－1050o)＋tan 855o

例5．化简：)

sin()5cos()

4cos()3sin(αππαπααπ--?---?+

例6．化简：

)()

2cos()2sin(]

)12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-?+++?αππαπαπα

例7．求证：

sin(3)cos(4)sin(4)cos(2)

cos()cos()sin()tan ()sin()

απαππαπααππααπαπαπ-+---=--++---

例8．求证

ααααα3tan )

360sin()

540sin(1

)

180cos()

cos(1

=-?+-?+?+-

例9．已知παπ

απ22

321)cos(<<-=+，．求)2sin(απ-的值.

例10．已知

223)

360tan(1)

720tan(1+=?--?++θθ,求

)

2(cos 1

)](sin 2)cos()sin()([cos 2

22πθπθθπθπθπ--?

-+-?++-的值.

例11．已知)3

2tan()0()3cos(326

αππαπαπ

-≠=+<

<，求，m m 的值.

1．已知sin(α＋π)＝ －

2

1

，则)7cos(1πα+-的值是（ ）

(A)

3

3

2 (B) －2

(C)－

3

3

2 (D)±

3

3

2 2．式子

)

690sin(630sin )

585cos(?-+??-的值是 （ ）

(A)22

(B)2

(C)

3

2 (D)－

3

2 3．α，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ） (A)sin(α＋β)＋sin γ (B)cos(β＋γ)－cos α (C)sin(α＋γ)－cos(－β)tan β (D)cos(2β＋γ)＋ cos2α 4．已知：集合?

??

?

??∈-==Z k k x x P ,3)3(sin

|π，集合 Q (21)|sin ,3k y y k Z π--??

==∈????

，则P 与Q 的关系是（ ）

(A)P ≠

?Q

(B)P ≠

?Q

(C)P=Q

(D)P ∩Q=?

5．已知ααπ

ααπ

sin )2

cos(

,cos )2

sin(

=-=-对任意角α均成立．若

f (sin x )=cos2x ，则f (cos x )等于（ ）

(A)－cos2x (B)cos2x (C) －sin2x

(D)sin2x

6．已知

923)cos()cos(31=----θθπ，则)

5sin()

3cos(πθθπ+--的值等于 .

7．5

4cos 53cos 52cos

5

cos

π

πππ

+++= . 8．化简：)

900sin()sin(-?--αα所得的结果是 .