一元二次方程的解法：公式法
一元二次方程的解法(公式法)
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).当a，b，c
满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
一元二次方程的解法
————公式法
回顾复习：
解法一：直接开平方法：x2+6x+9=0
解法二：因式分解法：
1.x2 (5 2)x 5 2 0
2. 3x2 5x 0
3.x2 12x 27 0
1.x1 5; x 2 2.
15
2.x1 0;x2
. 3
3.x1 3;x2 9.
回顾复习：
解法三：配方法：
2x2 4x 1 0
用配方法解一元二次方程的步骤： （1）二次项系数化为1：x2+px+q=0 （2）移项，整理得 x2+px=-q ；
（3）配方： （4）开平方法解方程.
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
【解析】把方程两边都除以a, 移项，得 x2 + x= ba
【解析】设方程的两个根为x1,x2，依题意，得
x1 +x2 b
b 2+ 4ac
2a
b
0
a
b b2 4ac 2a
因为a≠0, 所以b=0.
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
2.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广
一元二次方程公式法怎么解
一元二次方程公式法怎么解?对于ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac≥0时，x1=(-b+根号Δ）/(2a),x2=(-b-根号Δ）/(2a),１、配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=先将一元二次方程化成一般形式，然后求出（b2-4ac）的值，如果（b2-4ac）的值大于或等于0，那么将a、b、c的值代入求根公式即可求出方程的解；如果（b2-4ac）的值小于0，那么这个方程无解.十字相乖法一元二次方程求根共有三种解法，1。
“配方”这是比较基本的考试中经常会用。
2。
“十字相乘法”这是对比较熟练的人用的。
3。
“Δ”即B的平方减4AC大于0有两个不同的根，等于0有两个相同的根，小于0无解。
二次项系数小于0有最大值，大于开口向上有最小值一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)求根共有三种解法：1、“配方”这是比较基本的经常使用。
2、“十字相乘法”比较熟练的用。
3、用判别式“Δ=b2-4ac”求根。
即b的平方减去4ac，当Δ大于0时，有两个不同的根，Δ等于0时，有两个相同的根，Δ小于0时，无解。
当二次项系数a小于0，开口向下，有最大值，a大于0，开口向上，有最小值，_____-b±√b²-4acx= ——————2a这就是ax²+bx+c=0的解（b²-4ac≥0）。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
一元二次方程的解法 公式法
一元二次方程的解法公式法一元二次方程，这可是初中数学里的一个“大明星”！咱们今天就来好好聊聊它的解法——公式法。
在学习公式法之前，咱们先得搞清楚啥是一元二次方程。
比如说，像$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）这样的式子，就是一元二次方程。
这里面$a$、$b$、$c$可都是有讲究的，$a$叫二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
那公式法到底是啥呢？其实就是依靠一个超级厉害的公式来求解一元二次方程的根。
这个公式就是$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
我记得我之前教过的一个学生，叫小李。
这孩子一开始听到这个公式就头疼，觉得太复杂了，根本记不住。
我就跟他说：“小李啊，你别把它想得那么可怕。
你就把它当成一个能帮你找到宝藏的密码。
”然后我带着他一步一步地推导这个公式，让他明白这个公式是怎么来的。
推导过程其实也不难。
我们先把一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a≠0$）移项，变成$ax^2 + bx = -c$，然后两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。
接下来就是配方啦，在等式两边加上$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$，左边就变成了$\left(x +\frac{b}{2a}\right)^2$，右边就是$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
最后开方，就得到了咱们的求解公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
小李跟着我一步一步推导完之后，恍然大悟，说：“老师，原来这个公式是这么来的啊，感觉也没那么难了！”有了这个公式，咱们就可以求解各种各样的一元二次方程啦。
比如说，方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，这里$a = 1$，$b = 2$，$c = -3$，代入公式，$x = \frac{-2 ± \sqrt{2^2 - 4×1×(-3)}}{2×1}$，算一算，就能得到$x_1 =1$，$x_2 = -3$。
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
公式法解一元二次方程的公式步骤
公式法解一元二次方程的公式步骤在代数学中，一元二次方程是一个常见的方程类型。
解决这种方程可以使用不同的方法，其中一种常见的方法是通过使用公式法。
这个方法基于一元二次方程的通用解法，其基本步骤如下：1. 确定方程的形式首先，我们需要确定方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的常数，且a ≠ 0。
2. 计算判别式我们需要计算方程的判别式∆，其公式为∆ = b^2 - 4ac。
判别式描述了实数根的性质，可以帮助我们确定方程的解的类型。
3. 根据判别式确定解的类型根据计算得到的判别式∆，我们可以确定方程的解的类型： - 如果∆ > 0，则方程有两个不相等的实数解。
- 如果∆ = 0，则方程有两个相等的实数解。
- 如果∆< 0，则方程没有实数解，而是有两个共轭复数解。
4. 根据解的类型计算解根据前面确定的解的类型，我们可以使用以下公式计算方程的解： - 如果方程有两个不相等的实数解，则解可以通过以下公式计算：x = (-b ± √∆) / 2a。
-如果方程有两个相等的实数解，则解可以通过以下公式计算：x = -b / 2a。
- 如果方程没有实数解而是有两个共轭复数解，则解可以通过以下公式计算：x = (-b ± i√(-∆)) / 2a，其中i是虚数单位。
5. 求解实际问题理解了如何使用公式法解决一元二次方程后，我们可以应用这个方法来解决实际的问题。
对于给定的实际问题，我们可以将其转化为一元二次方程，然后使用公式法求解。
以下是一个示例：问题：设某物体从离地面100米高的位置自由下落，在空气阻力忽略不计的情况下，求物体落地所需要的时间。
解答： - 在这个问题中，我们可以使用以下公式来描述物体的高度h（单位: 米）与时间t（单位: 秒）之间的关系：h = 100 - 4.9t^2。
这是一个典型的二次方程。
- 我们希望知道物体落地时的高度h为零。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。
2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。
3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。
4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。
5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。
6.通过求平方根或其他方法求解方程。
例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。
2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。
4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。
5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。
一元二次方程的解法公式法
一分耕耘 一分收获 1 一分耕耘 一分收获§22.2.4一元二次方程的解法—公式法【学习目标】1．掌握求根公式的概念及推导. 2．运用公式解一元二次方程.3. 能初步判断一元二次方程是否有根.【学习重难点】1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．3．熟练地用求根公式解一元二次方程． 【知识链接】用配方法解一元二次程的一般步骤:1.二次项系数化为１,２．移项：３．配方：４.当n 0≥时；用 法求解；当0 n 时，方程没有实数根。
【学习过程】：一． 创设情境，导入新课１. 思考：方程09822=--x x 用配方法如何解？二．合作交流２．用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的一元二次程 解：因为0≠a ，方程两边都除以ａ，得移项：得配方，得即 因为0≠a ，所以042a ，当042≥-ac b 时，直接开平方得所以x= 即=x 1 =x 2 由以上的研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式：：思考：这里为什么强调042≥-ac b ?如果042ac b -，会怎么样呢？用求公式根解一元二次方程的方法叫做总结：用求公式根解一元二次方程的步骤：1.一化：将方程化为一元二次方程的 ；2.二定：确定a,b,c 的值及 的值；3.三代：若 042≥-ac b ，则代入求根公式 ，求出方程的两个实数根；若042ac b -，则方程无实数根。
三．应用迁移，巩固提高例１.用公式法解方程122=-x x 步骤解：0122=--x x （ ） 因为a=1, b=-2，c=-1 （ ）ac b42-=()08114)2(2=-⨯⨯-- （ ）所以x=128)2(⨯±-- （ ）即211+=x ，212-=x （ ）课型：新授课 编号： 编写人：李春晖 审核组：数学组 审核人：谢晴 姓名 班级 编写日期：2013.8.6编号：16师生札记一分耕耘 一分收获 2 一分耕耘 一分收获练习：1. 042=+x x 2. 1252=x例2用公式法解方程0132=++x x总结：当042=-ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根。
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2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
解： a 2 b 1 c 6
b2 4ac 12 4 2 6
49
b b2 4ac x
2a
= 1 49 1 7
22
4
即
： x1
3 2 , x2
2
知识 应用
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的值 （注意 a、b、c 的符号）； 2、求出 b2 4ac 的值， 3、（1）当 b2 4ac 时，代入求根公式 :
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的值 （注意 a、b、c 的符号）； 2、求出 b2 4ac 的值， 3、（1）当 b2 4ac 时，代入求根公式 :
b b2 4ac x
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
知识 应用
一元二次方程的 求根公式
b b2 4ac x
2a
利用求根公式解一元二次方程的 的方法，就叫做公式法。
明确目标
学习目标：
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念. 2.会熟练应用公式法解一元二次方程.
学习重点：
求根公式的推导和公式法的应用.
学习难点：
一元二次方程求根公式的推导.