全国版高考数学第十章计数原理概率随机变量10.9离散型随机变量的均值与方差课时提升作业理

离散型随机变量的均值与方差(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·马鞍山模拟)设X为随机变量,X～B,若随机变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.因为X～B,E(X)==2,所以n=6,所以P(X=2)==.2.(2016·中山模拟)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)= ( )A.-B.C.D.【解析】选B.依题意得:+x+=1,所以x=.E(X)=(-1)×+0×+1×=.【加固训练】(2016·秦皇岛模拟)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( )A.5B.5.25C.5.8D.4.6【解析】选B.由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.由数学期望的定义可求得E(X)=5.25.3.(2016·保定模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:分)的数学期望为( )A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1【解题提示】先求X的分布列,再代入E(X)的公式计算.【解析】选A.由题意得X=0,1,2,则P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9(分).4.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是( )A.(0,)B.(,1)C.(0,)D.【解析】选C.由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈(0,).5.(2016·泸州模拟)利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )A.A1B.A2C.A3D.A4【解题提示】先求出四种方案A1,A2,A3,A4盈利的均值,再结合均值大小作出判断.【解析】选C.方案A1,A2,A3,A4盈利的均值分别是:A1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;A2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;A3:-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;A4:98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.所以A3盈利的均值最大,所以应选择A3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分数,则D(Y)= .【解析】设X表示取到的次品数,则Y=2X.由题意知取到次品的概率为,所以X～B,D(X)=3××=,故D(Y)=D(2X)=4D(X)=4×=.答案:7.(2016·武汉模拟)某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为.【解析】依题意得即解得答案:0.4【加固训练】已知随机变量ξ的分布列为若E(ξ)=,则D(ξ)= .【解析】由分布列性质,得x+y=0.5.又E(ξ)=,得2x+3y=,可得x=,y=.D(ξ)=·+·+·=.答案:8.(2016·张家界模拟)已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量ξ的方差D(ξ)=,则p1+p2的值是.【解题提示】由分布列的性质可得2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得E(ξ)的值,由方差的计算公式可得D(ξ),进而即可解得p1,p2.【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)由数学期望的计算公式可得E(ξ)=1×p1+2×p2+3×p1=2(2p1+p2)=2.由方差的计算公式可得D(ξ)=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=,解得p1=,把p1=代入(*)得2×+p2=1.解得p2=,所以p1+p2=+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·广州模拟)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率.(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)设事件A为“两手所取的球不同色”,则P(A)=1-=.(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为=,右手所取的两球颜色相同的概率为=,P(X=0)==×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=.所以X的分布列为:E(X)=0×+1×+2×=.10.(2016·合肥模拟)某投资公司在2015年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.【解析】若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为所以E(X1)=300×+(-150)×=200(万元),D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000.若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元),D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议投资公司选择项目一投资.(20分钟40分)1.(5分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )A. B. C. D.【解析】选B.依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)==.E(ξ)=2×+4×+6×=.2.(5分)(2016·安阳模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,a,b,c∈(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为. 【解析】由已知3a+2b+0×c=1,所以3a+2b=1,所以ab=·3a·2b≤·=,当且仅当a=,b=时取“=”.答案:3.(5分)(2016·大同模拟)随机变量ξ的分布列为其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)= .【解析】由a,b,c成等差数列及分布列性质得,解得b=,a=,c=.所以D(ξ)=×+×+×=.答案:【加固训练】若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为( )A. B.C.3D.【解析】选C.分析已知条件,利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得:解得或又因为x1<x2,所以x1+x2=3.4.(12分)(2016·郑州模拟)现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目,若甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<2),且三人是否应聘成功是相互独立的.(1)若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求t的值.(2)若t=,求三人中恰有两人应聘成功的概率.(3)记应聘成功的人数为ξ,若当且仅当ξ=2时对应的概率最大,求E(ξ)的取值范围.【解析】(1)由题意可得:2×=,解得t=1.(2)由条件知三人恰有两人应聘成功的概率P=·++·=.因为t=,则P=,所以三人中恰有两人应聘成功的概率为.(3)由题意知:ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)==;P(ξ=1)=+(1-)+=;P(ξ=2)=++=;P(ξ=3)=××=.所以得ξ的分布列为则E(ξ)=0×+1×+2×+3×=t+,由题意P(ξ=2)-P(ξ=1)=>0;P(ξ=2)-P(ξ=0)=>0;P(ξ=2)-P(ξ=3)=>0;所以1<t<2,所以<E(ξ)<.5.(13分)(2016·成都模拟)“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的A地到B地有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到堵塞的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到堵塞的概率依次为,.(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率.(2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由.【解析】(1)设走L1路线,最多遇到1次堵塞为A事件,则P(A)=×+××=,故走L1路线,最多遇到1次堵塞的概率为.(2)设走L2路线,遇到堵塞的次数为X,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=,则E(X)=×0+×1+×2=,设走L1路线,遇到堵塞的次数为Y,则Y服从二项分布,Y～B,则E(Y)=3×=2,由于E(X)<E(Y),故L2路线是最好的出行路线.【加固训练】(2016·永州模拟)抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示(0<a<1):将这三枚纪念币同时抛掷一次,设ξ表示出现正面向上的纪念币的个数.(1)求ξ的分布列及数学期望.(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求a的最大值.【解析】(1)由题意知ξ个正面向上,3-ξ个背面向上.ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2,P(ξ=1)=(1-a)2+a(1-a)=(1-a2),P(ξ=2)=a(1-a)+a2=(2a-a2),P(ξ=3)=a2=.所以ξ的分布列为(1-a)2(1-a2) (2a-a2) 所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a),P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=,P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是,即a的最大值为.。