2014学年四川省雅安市高一下学期期末数学试卷及参考答案

2013-2014学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（5分）sin（﹣270°）（）A．﹣1 B．0 C．D．12．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a13=12，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．93．（5分）若α是第二象限角，sin=，则sinα=（）A．B．C．D．﹣4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则a6等于（）A．16 B．32 C．63 D．645．（5分）下列说法正确的是（）A．第二象限的角比第一象限的角大B．若sinα=，则α=C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关6．（5分）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．107．（5分）已知α、β都是锐角，的值为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，若|+|=||，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．不能确定9．（5分）已知，是两个单位向量，且．若点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，（m，n∈R），则=（）A．B．3 C．D．10．（5分）若对任意实数a，函数y=4sin（π•x﹣）（k∈N）在区间[a，a+3]上的函数值3出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11．（5分）函数y=sin（x﹣）的最小正周期是．12．（5分）已知扇形的半径为1.5，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为．13．（5分）已知单位向量，的夹角为，那么|﹣|=．14．（5分）已知sinα﹣cosα=2sinαcosα，则sin2α=．15．（5分）有下列命题：①在函数y=cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；④要得到函数y=sin（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向右平移个单位；则以上所有真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=3n．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）若数列{b n}是等比数列，且b1=a2，b2=a4，试求数列{b n}的通项公式b n及前n项和S n．17．（12分）如图为函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜π）图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y=Asin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得y=f（x），求f（x）的对称轴方程．18．（12分）已知向量=（2，0），=（1，4）．（Ⅰ）求|+|的值；（Ⅱ）若向量k与+2平行，求k的值；（Ⅲ）若向量k+与+2的夹角为锐角，求k的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且c=3，C=60°．（Ⅰ）若a=，求角A；（Ⅱ）若a=2b，求△ABC的面积．20．（13分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．21．（14分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（cosB，1﹣2sin2）与向量=（2a﹣b，c）共线．（1）求角C的值；（2）若a+b=1，求边c的取值范围；（3）若B=2A，试求（﹣）•的值．2013-2014学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（5分）sin（﹣270°）（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：sin（﹣270°）=sin（﹣360°+90°）=sin90°=1．故选：D．2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a13=12，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a13=2a7，∵a1+a13=12，∴a7=6．故选：A．3．（5分）若α是第二象限角，sin=，则sinα=（）A．B．C．D．﹣【解答】解：∵α是第二象限角，∴是第一或三象限角，∵sin=，∴cos=，∴sinα=2sin cos=．故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则a6等于（）A．16 B．32 C．63 D．64【解答】解：由题意可得a6=S6﹣S5=（26﹣1）﹣（25﹣1）=26﹣25=25（2﹣1）=32故选：B．5．（5分）下列说法正确的是（）A．第二象限的角比第一象限的角大B．若sinα=，则α=C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关【解答】解：排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A错误；当sinα=时，也可能α=π，所以B错误；当三角形内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C错误．故选：D．6．（5分）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．10【解答】解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C．7．（5分）已知α、β都是锐角，的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α、β都是锐角，又∵，∴cosα=，sin（α+β）=∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）•cosα﹣cos（α+β）•sinα==故选：C．8．（5分）在△ABC中，若|+|=||，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．不能确定【解答】解：∵|+|=||，∴|+|2=||2，∴||2+||2+2•=||2，即c2+a2+2cacosB=b2由余弦定理c2+a2﹣2cacosB=b2得cosB=0即B=90°故△ABC一定是直角三角形故选：B．9．（5分）已知，是两个单位向量，且．若点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，（m，n∈R），则=（）A．B．3 C．D．【解答】解：因为，是两个单位向量，且．所以，故可建立直角坐标系如图所示．则=（1，0），=（0，1），故=m（1，0）+n（0，1）=（m，n），又点C在∠AOB内，所以点C的坐标为（m，n），在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan30°=，所以=，故选：D．10．（5分）若对任意实数a，函数y=4sin（π•x﹣）（k∈N）在区间[a，a+3]上的函数值3出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或3【解答】解：由于函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为3，因此该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，，因此，≤T≤，即≤≤，求得≤k≤，可得k=3，或k=4，故选：C．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11．（5分）函数y=sin（x﹣）的最小正周期是5π．【解答】解：函数y=sin（x﹣）的最小正周期T==5，故答案为：5．12．（5分）已知扇形的半径为1.5，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为6．【解答】解：扇形的周长l=α×r+2r=2×1.5+2×1.5=6．故答案为：6．13．（5分）已知单位向量，的夹角为，那么|﹣|=．【解答】解：===．故答案为．14．（5分）已知sinα﹣cosα=2sinαcosα，则sin2α=．【解答】解：已知等式两边平方得：（sinα﹣cosα）2=4sin2α•cos2α，即4sin2αcos2α+2sinαcosα﹣1=0，解得：2sinαcosα=或2sinαcosα=＜﹣1（舍去），则sin2α=．故答案为：．15．（5分）有下列命题：①在函数y=cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；④要得到函数y=sin（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向右平移个单位；则以上所有真命题的序号是①②．【解答】解：由于函数y=cos（x﹣）cos（x+）=cos（﹣x）cos（x+）=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+）=cos2x，它的周期为=π，故函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为，故①正确．若锐角α，β满足cosα＞sinβ=cos（﹣β），则α＜﹣β，∴α+β＜，故②正确．若α，β均为第一象限角，且α＞β，不妨令α=360°+30°，β=30°，显然不满足sinα＞sinβ，故③不正确．将y=sin的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（x﹣）=sin（x﹣）的图象，故④不正确，故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=3n．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）若数列{b n}是等比数列，且b1=a2，b2=a4，试求数列{b n}的通项公式b n及前n项和S n．﹣a n=3（n+1）﹣3n=3，a1=3，【解答】（I）证明：∵a n+1∴数列{a n}是以3为首项，3为公差的等差数列；（II）解：由（I）可知：b1=a2=3×2=6，b2=a4=3×4=12．∴数列{b n}的公比==2，∴，∴S n=3（21+22+…+2n）=3×=6（2n﹣1）．17．（12分）如图为函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜π）图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y=Asin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得y=f（x），求f（x）的对称轴方程．【解答】解：（1）由图象可得A=，T=•=﹣=，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，故函数的解析式为y=sin（2x﹣）．（2）把y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得y=f（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故f（x）的对称轴方程为：x=+，k∈z．18．（12分）已知向量=（2，0），=（1，4）．（Ⅰ）求|+|的值；（Ⅱ）若向量k与+2平行，求k的值；（Ⅲ）若向量k+与+2的夹角为锐角，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得=（3，4），∴||==5（Ⅱ）依题意得k=（2k+1，4），+2=（4，8）∵向量k与+2平行∴8×（2k+1）﹣4×4=0，解得k=（Ⅲ）由（Ⅱ）得k=（2k+1，4），+2=（4，8）∵向量k+与+2的夹角为锐角，∴4×（2k+1）+4×8＞0，且8×（2k+1）≠4×4∴且k≠．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且c=3，C=60°．（Ⅰ）若a=，求角A；（Ⅱ）若a=2b，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵c=3，C=60°，a=，由正弦定理可得，即=，解得sinC=．再由大边对大角可得A为锐角，故A=45°．（Ⅱ）若a=2b，则由余弦定理可得c2=（2b）2+b2﹣2•2b•b•cosC，即9=（2b）2+b2﹣2•2b•b•cos60°，解得b=，∴a=2，故△ABC的面积S==．20．（13分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．21．（14分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（cosB，1﹣2sin2）与向量=（2a﹣b，c）共线．（1）求角C的值；（2）若a+b=1，求边c的取值范围；（3）若B=2A，试求（﹣）•的值．【解答】解：（1）由题知，cosB•c=（2a﹣b）（1﹣2sin2），即cosB•c=（2a﹣b）cosC，由正弦定理有：sinCsinB=（2sinA﹣sinB）cosC，展开整理得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，即sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，又∵C为三角形的内角，∴C=60°；（2）∵a+b=1，C=，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+（1﹣a）2﹣a（1﹣a）=3a2﹣3a+1=3（a﹣）2+，又0＜a＜1，∴≤c2＜1，则≤c＜1；（3）∵A+B+C=π，C=，且B=2A，∴A=40°，B=80°，∴原式=（﹣）•=•====32．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为M FEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。