2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学分类汇编——三角函数

1(2019北京理科).函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________. 【答案】

2

π

.

【解析】 【分析】

将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2

sin 2f x x ==

142cos x

-,周期为2

π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式,属于基础题. 2.(2019北京理科)在△ABC 中,a =3,b ?c =2,cos B =1

2

-. (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin (B –C )的值.

【答案】(Ⅰ) 375a b c =??

=??=?

(Ⅱ

)

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意列出关于a ,b ,c 的方程组,求解方程组即可确定b ,c 的值; (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得()sin B C -的值.

【详解】(Ⅰ)由题意可得:2221cos 2223a c b B ac b c a ?+-==-???-=??=???

,解得:375a b c =??

=??=?.

(Ⅱ)

由同角三角函数基本关系可得:sin 2

B ==

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

, 结合正弦定理

sin sin b c B C =

可得:sin sin c B C b ==

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

很明显角C 为锐角,故11cos 14

C ==,

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角和差正余弦公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.(2019全国1卷理科)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(

2

π

,π)单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④

C. ①④

D. ①③

【答案】C 【解析】 【分析】

化简函数()sin sin f x x x =+,研究它的性质从而得出正确答案. 【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数,故①

正确.当

2x π

π<<时,()2sin f x x =,它在区间,2π??

π ???

单调递减,故②错误.当0x π

≤≤时,

()2

s i n f

x x =,它有两个零点:0,π;当0x π-≤<时,

()()s i n s i n 2s i n f x x x x =--=-,它有一个零点:π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:

0-π,,π,故③错误.当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时,()2s i n f

x x =;当

[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈

N 时,()si n si n 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数,()f x ∴的最大值为2,故④正确.综上所述,①④ 正确,故选C .

【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象,由图象可得①④正确,故选C .

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

4(2019全国1卷理科).V ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.

(1)求A ;

(22b c +=,求sin C .

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【答案】(1)3

A π

=;(2)sin C =

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:222b c a bc +-=,从而可整理出cos A ,根

据()0,A π∈可求得结果;(2)利用正弦定理可得

sin 2sin A B C +=,利用

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程,结合同角三角函

数关系解方程可求得结果.

【详解】(1)()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即:222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得:222b c a bc +-=

2221cos 22

b c a A bc +-∴==

()0,πA ∈ 3

A π

\=

(2)

22a b c +=sin 2sin A B C +=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3

A π

=

1

cos sin 2sin 222

C C C ++=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

整理可得:3sin C C -

=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2

2

sin cos 1C C += (

()

2

23s i n

31s i n C C ∴=-

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

解得:sin 4C =

4

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >

,故sin C =

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

(2)法二:22a b c +=sin 2sin A B C +=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3

A π

=

1

sin 2sin 2

C C C ++=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

整理可得:3sin C C -=

,即3sin 6C C C π?

?

-=-

= ??

?

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

sin 62C π??∴-= ???

由2(0,

),(,)3662C C ππππ∈-∈-,所以,6446

C C ππππ-==+

sin sin()46

4

C ππ

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

=+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.

5.(2019全国2卷理科)下列函数中,以2π为周期且在区间(4π,2

π

)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │

【答案】A 【解析】 【分析】

本题主要考查三角函数图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象,

即可做出选择.

【详解】因为sin ||y x =图象如下图,知其不是周期函数,排除D ;因为cos cos y x x ==,周期为2π,排除C ,作出cos2y x =图象,由图象知,其周期为2

π,在区间(,)42ππ

单调

递增,A 正确;作出sin 2y x =的图象,由图象知,其周期为2

π,在区间(,)42ππ

单调递减,

排除B ,故选A .

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【点睛】利用二级结论:①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半;②

sin y x ω=不是周期函数;

6.(2019全国2卷理科)已知a ∈(0,

π

2

),2sin2α=cos2α+1,则sinα=

A.

15

B.

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

C. D.

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【答案】B 【解析】 【分析】

利用二倍角公式得到正余弦关系,利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 【详解】

2sin 2cos21α=α+,2

4sin cos 2cos .

0,,cos 02π??

∴α?α=αα∈∴α> ???

sin 0,2sin cos α>∴α=α,又22sin cos 1αα+=,221

5sin 1,sin 5

∴α=α=,又

sin 0α>,sin 5

α∴=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

,故选B . 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负,很关键,切记不能凭感觉.

7.(2019全国2卷理科)V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===,则V ABC 的面积为__________.

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【答案】 【解析】 【分析】

本题首先应用余弦定理,建立关于c 的方程,应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.

【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,

所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-???=, 即212c =

解得c c ==-

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

所以2a c ==,

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

11

sin 22ABC S ac B ?=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

=?= 【点睛】本题涉及正数开平方运算,易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题,关键是在明确方法的基础上,准确记忆公式,细心计算.

8.(2019全国3卷理科)设函数()f x =sin (5

x ωπ

+)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:

①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点

③()f x 在(0,

10

π

)单调递增 ④ω的取值范围是[1229

510

,)

其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③

C. ①②③

D. ①③④

【答案】D 【解析】 【分析】

本题为三角函数与零点结合问题,难度大,通过整体换元得5265

π

ππωπ≤+<,结合正

弦函数的图像分析得出答案. 【详解】当[0,2]x π∈时,,2555x π

π

πωπω??+

∈+????

, ∵f (x )在[0,2]π有且仅有5个零点, ∴5265

π

ππωπ≤+<,

1229

510

ω≤<,故④正确, 由5265

π

ππωπ≤+<,知,2555x π

π

πωπω??+

∈+????

时, 令59,

,5

222

x π

πππ

ω+

=

时取得极大值,①正确;

极小值点不确定,可能是2个也可能是3个,②不正确; 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案, 当0,

10x π??

∈ ???

时,(2),5510x ππωπω+??+∈????, 若f (x )在0,10π??

???

单调递增, 则

(2)102

ωππ

+< ,即<3? ,

1229510

ω≤<,故③正确. 故选:D .

【点睛】极小值点个数动态的,易错,③正确性考查需认真计算,易出错,本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题,属于中档题.

9(2019全国3卷理科).ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知

sin

sin 2

A C

a b A +=. (1)求B ;

(2)若ABC ?为锐角三角形,且1c =,求ABC ?面积的取值范围. 【答案】(1) 3

B π

=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

;(2). 【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简题中等式,得到关于B 的三角方程,最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π

=

.(2)根据三角形面积公式1

sin 2

ABC

S

ac B =

?,又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数,由于V ABC 是锐角三角形,所以利用三个内角都小于2

π

来计算C 的

定义域,最后求解()ABC

S

C 的值域.

【详解】(1)根据题意sin

sin 2A C a b A +=,由正弦定理得sin sin sin sin 2

A C

A B A +=,因为0A π<<,故sin 0A >,消去sin A 得sin sin 2

A C

B +=。 0

C π+<<因为故2A C B +=或者2A C

B π++=,而根据题意A B

C π++=,故2A C B π++=不成立,所以2

A C

B +=,又因为A B

C π++=,代入得3B =π,所以3

B π

=

.

(2)因为V ABC 是锐角三角形,由(1)知3

B π

=

,A B C π++=得到2

3

A C π+=

, 故022032C C πππ

?

<

,解得62C ππ<<.

又应用正弦定理

sin sin a c

A C

=,1c =, 由三角形面积公式有:

222sin(

)111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC

C a A S

ac B c B c B c C C

π

-=?=?=?=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

?22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=?=-=+.

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

又因

,tan 6

2

C C π

π

<<

>

318tan C <<

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

8

2

ABC

S <<

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

. 故ABC

S

的取值范围是(

82

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识,和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解),最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面,是一道很好的考题.

10.(2019江苏卷)已知tan 2

π3tan 4αα=-?

?+ ???

,则πsin 24α??+ ??

?的值是_____. 【答案】

2

2

221:4A

A A A

C C C

C

v a r v v a v r ===. 【解析】 【分析】

由题意首先求得tan α的值,然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可.

【详解】由()tan 1tan tan tan 2

tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-

++?

?+ ?

-?

?, 得23tan 5tan 20αα--=,

解得tan 2α=,或1tan 3

α=-

. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα?

?+=+ ??

?

)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα?

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

+-=+?+??

22

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2tan 1tan =2tan 1ααα?+-?+??

, 当tan 2α=

时,上式222212==22110

???+- ?

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

+?? 当1tan 3α=-时,上式

=2

2

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

112133=210113???????-+--? ? ?????? ???

-+ ? ?????

综上,sin 2410

πα?

?

+

= ?

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

?

? 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分类讨论和转化与化归思想解题.

11.(2019江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b

,cos B =

2

3,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2

B π+的值.

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

【答案】(1

)c =;(2

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

. 【解析】 【分析】

(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程,解方程可得边长c 的值;

(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值,然后由诱导公式可得

sin()2

B π

+的值.

【详解】(1

)因为2

3,3

a c

b B ==

=

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

相关文档
  • 高考理科数学分类汇编

  • 高考理科数学三角函数

  • 高考数学理科分类汇编

  • 高考数学分类汇编函数

  • 高考数学三角函数

  • 高考数学分类汇编

相关推荐: