2017高考试题分类汇编-立体几何
2017高考试题分类汇编之立体几何(精校版)
2017 年高考试题分类汇编之立体几何一、选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.（ 2017 课标 I 理）某多面体的三视图如下图，此中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形构成，正方形的边长为2 ，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为（） A.10B.12C.12D.16（第 1题）（第 2题）（第 3题）2.（ 2017 课标 II1理）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A.90B.63C.42D.363. （ 2017 北京理） 某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A.3 2B.2 3C.2 2D.24.（ 2017 课标 II 理）已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中， ABC 1200 , AB 2, BCCC 1 1，则异面直线AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为（3 15 C . 10 3） A. B.5D .2535. （ 2017 课标 III 理） 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.B.3C.D .4246.（ 2017 浙江）某几何体的三视图如下图（单位： cm ），则该几何体的体积 （单位： cm 3）是（）A.2 1 B.3 C .31D.332227.（ 2017 浙江）如图， 已知正四周体 D ABC （全部棱长均相等的三棱锥）， P,Q, R 分别为 AB, BC, CA上的点， AP PB,BQCR 2 ，分别记二面角 D PR Q, DPQ R,D QRP 的平面角为 , ,QCRA则（） A. B. C. D.O2OO1（第 6题）（第 7题）（第 8题）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）8.（ 2017江苏）如图 ,在圆柱 O1 ,O2内有一个球 O ,该球与圆柱的上、下边及母线均相切.记圆柱 O1 , O2的体积为 V1,球 O 的体积为 V2 ,则V1的值是. V29. （ 2017 天津理）已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18 ，则这个球的积为.10. （ 2017 山东理）由一个长方体和两个1 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积4为.（第10 题）（第11 题）11.（ 2017课标I 理）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D,E,F为圆剪开后，分别以O 上的点，BC ,CA, ABDBC , ECA, FAB 分别是以 BC ,CA, AB 为底边的等腰三角形.沿虚线为折痕折起DBC , ECA , FAB ，使得 D , E, F 重合，获得三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.12. （ 2017课标III理）a,b 为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与 a, b都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有以下结论：①当直线AB 与a 成 600角时，AB 与b 成300角；②当直线AB 与a成600角时，AB 与b 成600角；③直线AB 与a所成角的最小值为450；④直线AB与 a 所成角的最小值为600.________.（填写全部正确结论的编号）此中正确的选项是三、解答题（应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤）13.（ 2017 课标I 理）如图，在四棱锥P ABCD 中，AB // CD，且BAP CDP90o.（ 1）证明：平面PAB平面PAD ；（ 2）若PA PD AB DC ,APD90 0，求二面角A PB C 的余弦值.14.（ 2017 课标II 理）如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC 1AD ,BAD ABC90o , E 是PD 的中点。
2017-2018年高考数学立体几何汇编及答案解析
2017—2018年高考数学试题立体几何汇编及答案解析类型一 空间几何体的结构特征与三视图1.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【答案】A 【解析】2π1211π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 2.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ） （B ）（C ） （D ）2 【答案】B 【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l == B.3.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 4．（2018年高考北京卷理科）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．5．（2018年高考数学全国卷1理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．故选：B．6．（2018年高考数学全国卷3理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B ． C ． D ．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．故选：A ．7．（2018年高考浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选：C ．8．某多面体的三视图如图所示,则该几何体的体积与其 外接球的体积之比为( )A ．π186B ．π96 C ．π36 D ．π26选A类型二 空间几何体与空间旋转体的面积、体积问题1、如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.解：如图，2、设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S ＝2π×4sin α×2×4cos α＝32πsin2α，当α＝π4时，S 取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.3、（2018年高考数学天津卷理科）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M ﹣EFGH 的体积为 ．【解答】解：正方体的棱长为1，M ﹣EFGH 的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为， 四棱锥M ﹣EFGH 的体积：=．故答案为：．4、(2014·课标Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解：原来毛坯体积为：π·32·6＝54π(cm 3)，由三视图知该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，故该零件的体积为：π·22·4＋π·32·2＝34π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027 .故选C.6.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r =则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.7.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 8.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32 【解析】设球半径为r ，则2132π2342π3V r r V r ⨯==．故答案为32． 9、（2018年高考数学全国卷3理科）10．（5分）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．54【解答】解：△ABC 为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：O′C==，OO′==2，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6， 则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：=18．故选：B ．10、（2018年高考数学全国卷2理科）16．（5分）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π ．【解答】解：圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，可得sin ∠AMB==．△SAB 的面积为5，可得sin ∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA 与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．则该圆锥的侧面积：π=40π．故答案为：40π．11、（2018年高考数学全国卷1理科）12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长明明就的最大值为：6×=．故选：A．12、（2018年江苏省高考数学试卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．类型三点共线、线共点问题1、如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B，D，O三点共线.证明：∵点E∈平面ABD，点H∈平面ABD，∴EH⊂平面AB D.∵EH∩FG＝O，∴点O∈平面AB D.同理可证点O∈平面BC D.∴点O∈平面ABD∩平面BCD＝B D.即B，D，O三点共线.类型四共面问题1、下列如图所示的正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是____________.(填所有满足条件图形的序号)解：易知①③中PS ∥Q R ，∴四点共面.在②中构造如图所示的含点P ，S ，R ，Q 的正六边形，易知四点共面.在④中，由点P ，R ，Q 确定平面α，由图象观察知点S 在平面α外，因此四点不共面.综上知，故填①②③.类型五 异面直线问题1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．．5 C ．5D 【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D - ,则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====因此1cos 5BC D ∠== ，故选C 。
2011-2017全国1卷分类汇编 立体几何
2011-2017高考全国I 卷分类汇编——立体几何【2011年全国】（19）如图，四棱锥S ABCD -中，AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥;（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.【2012年全国】（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥。
（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小。
【2013年全国】18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A【2014年全国】19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC AB C -中，侧面11BB C C 为菱形，A 11AB B C ⊥.(Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.【2015年全国】（18）如图，，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。
（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值【2016年全国】（18）（本题满分为12分）如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明；平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【2017年全国】18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.。
2017高考试题分类汇编-立体几何
2017高考试题分类汇编-立体几何立体几何1（2017北京文）（本小题14分如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．2（2017新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）5（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G是DF的中点.（Ⅰ）设P是CE上的一点，且AP BE∠的大⊥，求CBP小；（Ⅱ）当3--的大小.AB=，2AD=，求二面角E AG C6（2017新课标Ⅰ理数）．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。
7（2017新课标Ⅰ理数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠=∠=.90BAP CDP（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.8（2017江苏）（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．9．（2017江苏）（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A 处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；EG 11E G l l 1CC l（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E 处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．10（2017天津文）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（II ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.l l 1GGl11（2017北京理）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．12（2017浙江）（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（Ⅰ）证明：平面PAB ；//BC AD //CE P A B C D E（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．13（2017新课标Ⅲ文数）（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．14（2017新课标Ⅰ文数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90∠=∠=BAP CDP（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90∠=,且四棱锥APDP-ABCD 的体积为8，求该四棱锥的侧面积.315（2017山东文）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1; （Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.16（2017新课标Ⅱ文）（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.17（2017新课标Ⅲ理数）（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．18（2017浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则2BQ CR QC RA==（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α19（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，． 20（2017新课标Ⅲ文数）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π421（2017新课标Ⅲ文数）在正方体1111ABCD A B C D -中，6S 6S =E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥ 22（2017新课标Ⅱ文）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为.23（2017新课标Ⅱ理）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B CD24（2017新课标Ⅰ文数）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是25（2017新课标Ⅰ文数）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编立体几何Word版含答案(K12教育文档)
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江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，3AB=，2BC=,圆柱上底面圆心为O，EFG∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG-体积的最大值是▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，3cmAB=，11cmAA=,则三棱锥D1–A1BD的体积为▲3cm．3、（苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是▲ ．4、（苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末)已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）一个长方体的三条棱长分别为983,,,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120，且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于 .7、（扬州市2017届高三上学期期末）若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm），侧面积为8（单位：2cm）,则它的体积为▲（单位：3cm）。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题10 立体几何(解析版)
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图，已知三棱柱ABC - A 1B l C 1中，点D 是AB 的中点，平面A 1DC 分此棱柱成两部分，多面体A 1ADC 与多面体A 1B 1C 1DBC 体积的比值为2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】【在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为 ． 719【解析】由题意得311131sin sin 23322∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯∠⇒∠=BCD AB S BC BD CBD CBD 因此1cos 2∠=±CBD 由余弦定理得：22223223cos 7=+-⨯⨯⨯∠=CD BCD 或19，因此CD 7=193. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2、锐角为︒60的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M-PAD 的体积为 【答案】3【解析】因ADM P PAD M V V --=,又360sin 221212=︒⨯==∆ABCD ADM S S 故三棱锥M-PAD 的体积为33331=⨯=V 4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥S ABC -的体积为1，E 是SA 的中点，F 是SB 的中点，则三棱锥F BEC -的体积是 ▲ ． 【答案】41【解析】h S V V FBC FBC E BEC F ⨯⨯==∆--31，根据几何体知，SBC FBC S S ∆∆⨯=21，而点E 到平面SBC 的距离是点A 到平面SBC 距离的一半，所以1314231=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆∆-h s h S V FBC SBC SBC A ，所以4131=⨯⨯∆h s FBC ，所以三棱锥BEC F -的体积是415. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为 ． 【答案】245【解析】因为平面DAC ⊥平面BAC ,所以D 到直线BC 距离为三棱锥ABC D -的高，134123412346,,25555ABC S h h ∆⨯⨯=⨯⨯=====11122463355D ABC ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=． 7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】如图，已知平面⋂α平面l =β，βα⊥，B A ,是直线l 上的两点，D C ,是平面β内的两点，且l CB l DA ⊥⊥,，DA=4,AB=6,CB=8,P 是平面α上的一动点，且有BPC APD ∠=∠，则四棱锥ABCD P -体积的最大值是8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ．32【解析】试题分析：因为3322211221,6,,233r V a S a V r r S rl r ===⋅===p p p p ，所以31323=13V a ar V r=⇒=p p ， 因此2122322S S r ==p p9. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为,,a b c ，1122111111,,322123262Vabc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱111C B A ABC -OCDBC 1AB 1A D 1（第7题图）ABCA 1B 1FC 1E中，则该三棱柱的体积为 ． 【答案】483．【解析】由题设可知：三棱柱的高为4，底面内切圆的半径为2，则其底面三角形的边长为43，其底面积为23(43)1234S =⨯=，故该三棱柱的体积为1234483V =⨯=． 12. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______. 【答案】3π 【解析】由题意得222,1,213r r h ππ===-=，圆锥的体积为21133333r h πππ==. 13. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3， 斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______. 【答案】3:4π【解析】由题意得圆锥母线为2，设圆锥底面半径为r 、高为h ，则22ππ21,21 3.r r h =⨯⇒==-=因此圆锥体积为213ππ.33r h =而正三棱柱体积为3，因此正三棱柱与圆锥的体积比是33=3:4π.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 . 【答案】38【解析】设底面边长为a ，则高212a h -=，从而体积221223331a a V -⨯=461223a a +-=，记4612)(a a a f +-=，则由)22)(22(6486)('335-+-=+-=a a a a a a f 得当220<<a 时，0)('>a f ，当22>a 时，0)('<a f ， 从而当22=a 时，256)(max =a f ，故体积的最大值是38max =V . 法二（理科）：)12(2333124a a V -⨯=， 因)12(224)12(22224a a a a a -⨯⨯=-256)31222(43222=-++⨯≤a a a ，以下同法一. 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则该正六棱锥的表面积为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ， DE AD ⊥.（Ⅰ）求证： ⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为线段BE 中点，N 为线段CE 的一个三等分点，求证：MN 不可能与平面ABCD 平行.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】A BCDEHA BCDE即MN 不可能与平面ABCD 平行.……14分2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D 中,=DB BC , ⊥DB AC ,点M 是棱1BB 上的一点.(1)求证：11//B D 面1A BD ；MABCD A 1B 1C 1D 1(2)求证：⊥MD AC ；(3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析. (3) 点M 为棱1BB 的中点【解析】又因为⊥AC BD ,且1⋂=BD BB B ，所以⊥1面BB D AC 而⊂1面BB D MD ，所以⊥MD ACMABCD A 1B1C 1D 1 NN 1O3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE上一点，G为EO中点.（Ⅰ）若DE//平面ACF，求证：F为BE的中点；（Ⅱ）若AB＝2CE，求证：CG⊥平面BDE.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，因为DE//平面ACF,平面ACF∩平面BDE=OF，DE平面DEB，所以OF//DE.……………… 4分因为O为BD的中点，所以 F 为BE 的中点. ……………… 6分因为CG ⊥EO ，CG 平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE. … 14分4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //BC ，BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB I 平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）不平行【解析】证：（1）因为BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角，所以,.PA AB PA AD ⊥⊥……2分 由于,AB AD ABCD ⊂平面，且AB AD A =I ，所以PA ABCD ⊥平面，……4分由于BD ABCD ⊂平面，所以.PA BD ⊥PBC所以AC BD ⊥……6分由于,PA AC PAC ⊂平面，且PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，……8分解：（2）不平行. ……10分假设直线l 平行平面ABCD ，由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD I 平面ABCD CD =，所以//l CD ……12分同理可得//l AB ，所以//AB CD这与AB 和CD 是梯形ABCD 的两腰相矛盾，故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行. ……14分5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . …………14分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥ABC P -中，若E D AC BD ,,2=分别为PC AC ,的中点，且⊥DE 平面PBC ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：⊥BC 平面PAB ． EDCBPA7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，N M BP AB ,,⊥分别为PD AC ,的中点．(1)求证：//MN 平面ABP ；(2)求证：平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP PC ⊥．NMP DCB A8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ． DF PADF PA9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC .A NBPM C10. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】 (本小题满分14分) 在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，12AA AB ， D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ． （第16题图）CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分 ∵12BB BA =，11BB AA = ，114BP BB =， （第16题） C B 1A 1P DCBA∴1BP AD BA AA ， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒， ∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CD A D D =I ，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】1 EA B1 E AB A故1A ，1C ，F ，E 四点共面．……………7分（2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， 所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分因为底面1111A B C D 是菱形，所以11A C 11B D ⊥．又1DD I 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………11分 因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ．又OD ⊥1A E ，11A C I 11A E A =，11AC ⊂平面11AC FE ，1A E ⊂平面11AC FE ， 所以OD ⊥平面11AC FE . ……………………14分12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，8,6==BD AC ，E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3．（1）求证：DE AC ⊥；（2）求四棱锥ABCD P -的体积．当AEC ∆面积的最小值是3时，EF 有最小值1 …………9分∵当PB EF ⊥时，EF 取最小值，∴1522=-=EF BF BE ，由 BD BE PD EF =，得158=PD ，又24862121=⨯⨯=⋅=BD AC S ABCD 故151564158243131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P …………14分 13. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .又E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC ， PB CDE第16题图 F14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=o ，AC BD ⊥.D 1 D AC 1A 1B 1 B C（Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ；（Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）不垂直（Ⅲ）结论：直线1B D 与平面1ACD 不垂直. 证明：假设1B D ⊥平面1ACD ， 由1AD ⊂平面1ACD ，得11B D AD ⊥. 由棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=o可得111A B AA ⊥，1111A B A D ⊥，又因为1111AA A D A =I ， 所以11A B ⊥平面11AA D D ， 所以111A B AD ⊥. 又因为1111A B B D B =I ， 所以1AD ⊥平面11A B D ，所以11AD A D ⊥. 这与四边形11AA D D 为矩形，且1=2AD AA 矛盾， 故直线1B D 与平面1ACD 不垂直.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角D 1A 1D B 1 B C AC 1形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB 是高为3的等腰梯形，//EF BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO CF ⊥；（2）求O 到平面ABC 的距离．过O 作OH AG ⊥，垂足为H ，则BC OH ⊥，因为AG BC G =I ，所以OH ⊥平面ABC 因为3,3OG AO =62OH =，即O 到平面ABC 6（另外用等体积法谈亦可）16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分14分)在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE，,O F分别为,BE DE的中点．（Ⅰ）求证：AO CD⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF⊥平面ACE；（Ⅲ）侧棱AC上是否存在点P，使得//BP平面AOF?若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由．FOB C DAE。
2017年高考试题分类汇编(立体几何)
2017年高考试题分类汇编（立体几何）考点1 三视图1.（2017·全国卷Ⅰ理科）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.162.（2017·全国卷Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π3.（2017·北京理科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为正（主）视图侧（左）视图俯视图4.（2017·北京文科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A.60 B.30 C.20 D.105．（2017·山东理科）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 ．6.（2017·浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A. 13π+ B. 33π+C. 312π+D. 332π+俯视图正视图（主视图）侧视图（左视图） 正（主）视图侧（左）视图俯视图 主视图 侧视图俯视图考点2 位置关系1. （2017·全国卷Ⅰ文科）如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是2.（2017·全国卷Ⅲ文科）在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则A.11A E DC ⊥B.1A E BD ⊥C.11A E BC ⊥D.1A E AC ⊥ 考点3 体积1.（2017·全国卷Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π42.（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 考点4 位置关系与度量关系（解答题）（理科）1.（2017·全国卷Ⅰ理科）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ， 且90BAP CDP ∠=∠= .（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PA PD AB DC ===,90APD ∠= , 求二面角A PB C --的余弦值.2.（2017·全国卷Ⅱ理科）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，PABCD01,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. （Ⅰ）证明：直线//CE 平面PAB ；（Ⅱ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为045，求二面角M AB D --的余弦值.3.（2017·全国卷Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =． （Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值．4.（2017·北京理科）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD //平面MAC，PA PD =，4AB =．（Ⅰ）求证：M 为PB 的中点； （Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；（Ⅲ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．5.（2017·天津理科）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点,,D E N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，ABCDPEMABCDEABDMP2AB =.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C EM N --的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE所成角的余弦值为21，求线段AH 的长.6.（2017·山东理科）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120 得到的，G 是 DF的中点． （Ⅰ）设P 是 CE上一点，且AP BE ⊥,求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =,2AD =时，求二面角E AG C --的大小．7.（2017·浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===,E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. 考点5 位置关系与度量关系（解答题）（文科）1.（2017·全国卷Ⅰ文科）求二面角A PB C --的余弦值. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，且90BAP CDP ∠=∠=PABCDABCNEM D PABCDEFPGABCDEP（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PA PD AB DC ===,90APD ∠= ,且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积.2.（2017·全国卷Ⅱ文科）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==,090BAD ABC ∠=∠=.（Ⅰ）证明：直线BC ∥平面PAD ；（Ⅱ）若PCD ∆面积为P ABCD -的体积.3.（2017·全国卷Ⅲ文科）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，AD CD =.（Ⅰ）证明：AC ⊥BD ；（Ⅱ）已知ACD ∆是直角三角形，AB BD =．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．4.（2017北京文科）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．ABCDPABCDE5.（2017·天津文科）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.6.（2017·山东文科）由四棱柱1111ABCD A BC D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,1A E ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：1AO ∥平面11B CD ； （Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明： 平面1A EM ⊥平面11B CD .ABCDEPA BCDPABCDOE M B 1A 1D 1。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十一、立体几何一、多选题1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P二、单选题2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDDB C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDDB 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．2D ．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12BC ．4D 5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．（2021·全国高考真题）圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．8．（2020·天津高考真题）若棱长为面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 9．（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A ．6B ．6+C ．12D ．12+10．（2020·浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．611．（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°12．（2020·全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 14．（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．14B ．12C ．14D ．1215．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32 C ．1 D ．216．（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H 17．（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．32418．（2019·全国高考真题（理））如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线19．（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．3220．（2019·浙江高考真题）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<21．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D 22．（2019·全国高考真题（文））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面23．（2019·上海高考真题）已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面 24．（2018·浙江高考真题）已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2018·上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1626．（2018·浙江高考真题）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤ 27．（2018·全国高考真题（文））在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．28．（2018·北京高考真题（理））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．429．（2018·全国高考真题（文））某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．2，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，30．（2018·全国高考真题（理））设A B C D体积的最大值为ABC为等边三角形且其面积为D ABCA．B．C．D．31．（2018·全国高考真题（理））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．32．（2018·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 33．（2018·全国高考真题（文））在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2BCD ．2 34．（2018·全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π35．（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2 36．（2018·全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 37．（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．未命名未命名三、解答题38．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.39．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．40．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.41．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.42．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 43．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．44．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB PB 与平面QCD 所成角的正弦值．45．（2020·天津高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．46．（2020·北京高考真题）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．47．（2020·浙江高考真题）如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．48．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．49．（2020·江苏高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD BD=2，O为BD 的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．50．（2020·江苏高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F 分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．51．（2020·全国高考真题（理））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A--的正弦值． 52．（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．53．（2020·全国高考真题（文））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AC；（2）设DO，求三棱锥P−ABC的体积. 54．（2020·全国高考真题（理））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=．底面直径，AE AD（1）证明：PA⊥平面PBC；--的余弦值．（2）求二面角B PC E55．（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B–EB1C1F的体积．56．（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.57．（2019·江苏高考真题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC 的中点，AB=BC．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．58．（2019·天津高考真题（理））如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 59．（2019·全国高考真题（理））图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.60．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．61．（2019·全国高考真题（理））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.62．（2019·上海高考真题）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ======（1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角；（2）求P ABC -的体积.63．（2018·上海高考真题）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．64．（2018·江苏高考真题）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥． 求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．65．（2018·江苏高考真题）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．66．（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．67．（2018·北京高考真题（理））如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，AB=BC AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B−CD −C 1的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．68．（2018·北京高考真题（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .69．（2018·全国高考真题（理））如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.70．（2018·全国高考真题（理））如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．71．（2018·浙江高考真题）如图，已知多面体ABC-A 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．72．（2018·全国高考真题（文））如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．73．（2018·全国高考真题（文））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．74．（2017·山东高考真题（文））由四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1−B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .（1）证明：1AO ∥平面B 1CD 1；（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.四、填空题75．（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．76．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30 则该圆锥的侧面积为________.77．（2020·海南高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________78．（2020·海南高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D BCC1B1的交线长为________．179．（2020·江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.80．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．81．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝82．（2019·江苏高考真题）如图，长方体1111ABCD A BC D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.83．（2019·北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．84．（2019·北京高考真题（理））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．85．（2019·全国高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .86．（2019·天津高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.87．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________． 88．（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．89．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．90．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为面积为__________．91．（2018·天津高考真题（理））已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为__________.五、双空题92．（2019·全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十一、立体几何（答案解析）1．BD【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【解析】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110A P BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确． 故选：BD ．【小结】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．2．A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.【解析】连1AD ，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A BC D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项B 错误，选项A 正确.故选：A.【小结】关键点小结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 3．A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【解析】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A BC D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=，故111113122ABCD A B C D V -=⨯=， 故选：A.4．A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【解析】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=则ABC ，又球的半径为1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==所以11111332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【小结】关键小结：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.5．D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D6．D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【解析】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D7．B【分析】 设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【解析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =故选：B.8．C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【小结】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．D【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【小结】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10．A【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为： 11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【小结】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.11．B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选：B【小结】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.12．C【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.【小结】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.13．A【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【小结】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 14．C【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.。
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2017高考试题分类汇编-立体几何立体几何1（2017北京文）（本小题14分如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．2（2017新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD所成角为o45，求二面角M AB D--的余弦值．3（2017天津理）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，90∠=︒.BAC点D，E，N分别为棱PA，P C，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.214（2017新课标Ⅲ理数）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）5（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G是»DF的中点.（Ⅰ）设P是»CE上的一点，且AP BE∠的大⊥，求CBP小；（Ⅱ）当3--的大小.AB=，2AD=，求二面角E AG C6（2017新课标Ⅰ理数）．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。
7（2017新课标Ⅰ理数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠=∠=o.BAP CDP90（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90∠=o，求二面角APDA-PB-C的余弦值.8（2017江苏）（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．9．（2017江苏）（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A 处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E 处，另一端置于侧棱上，求没入水中部EG 11E G l l 1CC l l l 1GG l分的长度．10（2017天津文）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（II ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.11（2017北京理）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．12（2017浙江）（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（Ⅰ）证明：平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．//BC AD //CE P A B C D E13（2017新课标Ⅲ文数）（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．14（2017新课标Ⅰ文数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠=∠=o90BAP CDP（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90∠=o,且四棱锥APDP-ABCD的体积为8，求该四棱锥的侧面积.315（2017山东文）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1; （Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.16（2017新课标Ⅱ文）（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.17（2017新课标Ⅲ理数）（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．18（2017浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则2BQ CR QC RA==（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α19（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，． 20（2017新课标Ⅲ文数）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π421（2017新课标Ⅲ文数）在正方体1111ABCD A B C D -中，6S 6S =E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥ 22（2017新课标Ⅱ文）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为.23（2017新课标Ⅱ理）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B CD24（2017新课标Ⅰ文数）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是25（2017新课标Ⅰ文数）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
26（2017天津文）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .27（2017天津理）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .28（2017江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 ▲ ．29（2017江苏）（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1，．12O O O 12O O 1V O 2V 12V V 120BAD ∠=︒（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值．。