倒易点阵习题集
2-4-倒易点阵
第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
现代材料分析测试技术 第02章 3_倒易点阵爱瓦尔德作图法
1
倒易点阵的引入
• 倒易点和倒易原点 • 晶体点阵中的晶面和相应倒易点的关系
• 整个晶体中各种方位、各种面间距的晶 面所对应的倒易点之总和，构成了一个 三维的倒易点阵。正空间与倒空间
2
3
1.倒易点阵中单位矢量的定义式
• a*· b = a*· c = b*· a = b*· c = c*· a= c*· b =0 • • a*· a = b*· b = c*· c =1 a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞 的体积
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数 从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具有 同一坐标原点，则 正点阵中的每组平行晶面（hkl)在倒易点阵中只须 一个阵点就可以表示，此点处于hkl的公共法线 （倒易矢量方向上） 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定， 正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量 就能表示。 若已知某一正点阵，可求出相应的倒易点阵。
7
• • • •
2-4 爱瓦尔德图解法
• 倒易点阵的另一个应用
• 爱瓦尔德Βιβλιοθήκη 解法是布拉格定律的几何表达形式8
• 由于晶体中晶面方位，面间距不同，所以 当入射线沿一定方位入射时，可能同时存 在若干束衍射线
• 采用爱瓦尔德图解法，可求得衍射线的方 向
9
爱瓦尔德作图法
10
爱瓦尔德作图法
• 1.作倒易点阵，倒易原点为O*
• O*D＝oo*sinθ
• g=1/d （倒易矢量的定义）
13
爱瓦尔德球反映的性质
• 三个矢量的相对关系 • g代表与正空间相应的（hkl）衍射晶面的 特性：大小 方向 • 应用
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
2-1倒易点阵
正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm · Gn=2πμ ，μ =0，±1， ± 2… • 推论：若两矢量点积为2π的整数倍，且其中一个矢量为正（倒）易点阵 位矢，则另一矢量必为倒易（正）点阵的位矢。
(2)V * V (2 )3
倒格基矢和正格基矢之间的几何关系？
5. 由定义可知： b
•
1
a2 , a3 ; b2 a3 , a1; b3 a1, a2 ;
推论：如果a1、a2、a3相互垂直，则b1、b2、b3分布平行于 a1、a2、a3，且有
b1
2 2 2 , b2 , b3 . a1 a2 a3
b
a
例1：两种原子组成下图所示的二维正方格子，晶格沿水平和垂直方向的总长度分 为4cm和2cm。试回答下列问题 ： （1）在图1中画出原胞图形，取基矢；计算原胞的面积及此 晶格包含的原胞数。 （2）此晶格的倒格子基矢？画出倒格子图形，其对应的原胞面积？
例2：六角晶系的倒格基矢？
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学 中各种重要关系式； • 引入倒格子，可方便地把三维周期函数展开成傅里叶 级数； • 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒 格矢有关)-->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶 体的(正格子)结构； • 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k， 通常用波矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的 振动状态。由倒易点阵基矢所张的空间称为倒易空间， 其可理解为状态空间（k空间）。
倒易点阵的计算题
倒易点阵的计算题
1. 一个倒易点阵中，有5行和6列。
请计算点阵中的总格子数。
2. 倒易点阵的每个格子内都填入了一个数字，从1到20。
请计算所有格子中数字的总和。
3. 在一个倒易点阵中，有8行和8列。
请计算第4行第6列的格子在点阵中的位置索引。
4. 倒易点阵的每个格子中填入了一个字母，从A到H。
请计算第3列第5行的格子中的字母是什么。
5. 在一个倒易点阵中，有12行和10列。
请计算第9行第3列的格子在点阵中的位置索引。
6. 倒易点阵的每个格子内都填入了一个数字，从1到30。
请计算第7行第9列的格子中的数字是多少。
7. 在一个倒易点阵中，有6行和9列。
请计算第5列第2行的格子在点阵中的位置索引。
8. 倒易点阵的每个格子中填入了一个字母，从A到J。
请计算点阵中字母为F的格子所在的行数和列数。
9. 在一个倒易点阵中，有7行和7列。
请计算第2行第4列的格子在点阵中的位置索引。
10. 倒易点阵的每个格子内都填入了一个数字，从1到25。
请计算所有格子中数字的平均值。
1。
倒易点阵
向量P×Q正是沿晶面法向
P
b
a
Q
k c
h b
H
l
P
k
Q
(
b
a)
(
c
b)
kh lk
倒易点阵的引入（2）
H
P
Q
(
b
a)
( c
b)
kh lk
所以，为了方便表示， 我们引入新的矢量
H
(b
a)
如何确定倒易点阵上的阵点
根据基矢的对应关系式确定倒易基矢
a*
b
c
V
b*
a
c
c*
V a
b
V
a* 1 d100
b*
1
d 010
c* 1 d 001
倒易基矢的方向大小确定后，将基矢平移单位长度得到阵点
正点阵基矢间夹角和倒点阵基矢间夹角间的关 系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
(j 2 (i 2 (i
2
k) k) j)
体心立方的倒格子是边长为2/a的面心立方 。
变换矩阵的引入
由倒易矢量的定义可以知道，倒空间中的三个基矢其实 是正空间中与正空间基矢共原点的三个矢量，因此可以 用空间变换将两组基矢联系起来，从而将正、倒空间的 矢量计算结合起来。
ab bb
ac bc
a* b*
c c a c b c c c*
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．
[证明] (a)
知， 倒易点阵初基晶胞体积为 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ，现计算 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ．由式(2． 1)
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc
2π n G
(2.4)
这里 n 是 G 与
G G ( hkl )
(2.5)
由倒易点阵矢量与点阵晶面间的关系得到， 点阵平面的面指数就是和该点阵 平面垂直的最短倒易点阵矢量在特定的一组倒易点阵初基矢量上的三个坐标。 3．X-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件 X-射线的衍射条件有两种等价的表示法： (i)布喇格定律：布喇格假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每 个原子平面只反射很少一部分辐射，而将大部分辐射透射到下一层原子平面．如 图 2.1 所示．当来自平行原子平面的反射有相同位相时，发生相长干涉，于是得 到尖锐的反射峰(称为布喇格峰)，由此导出 X-射线反射的布喇格定律为
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc ˆ y a 2 a − 2 ˆ y a − 2 a 2 ˆ y a 2 a 2 ˆ z a a2 ˆ+ y ˆ) = (x 2 2 a 2 ˆ z a a2 ˆ+z ˆ) = (y 2 2 a − 2 ˆ z a a2 ˆ) ˆ+x − = (z 2 2 a 2
nλ = 2d sin θ
(2．6)
其中 λ 是入射波波长，n 为相应的反射级，θ 是入射束的布喇格角，d 为面间距． (ii) 劳厄条件: 劳厄对 X-射线衍射的处理方法和布喇格不同，他不需要把晶 体分解为互相平行的原子平面，也不需要作镜面反射的假定，而是把晶体看作由 放置在布喇格点阵阵点上的微观物体所组成， 每个微观物体都向各个方向将入射 辐射再辐射出去．由相距 r 的体元散射出的射线束之间的位相差因子是
《晶体材料结构学》课件PPT08-倒易点阵2
2)
d hkl
=
G1 G hkl
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
G c
C
(hkl)
G
c
G hkl
l
b d hkl
O
k
a
BG b
hA G
证明1)：BA
=
1
G a
−
1
G b
a
hk
( ) G
BA ⋅ G hkl
=
⎜⎛
1
G a
−
1
G b
⎟⎞
⋅
h
G a
′
+
G kb ′ +
附加面的影响
立方晶系：
f c c 当(hkl)不为全奇、偶数时，有附加面：
d hkl
=
1 2
a h2 + k2 + l2
如：(100)，(110)
b c c 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：
d hkl
=
1 2
a h2 + k2 + l2
如：(100)，(111)
六方晶系:
当h+2k=3n,(n=0,1,2,……),l=奇数，有附加面：
四方晶系 d hkl =
1 ⎜⎛ h ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ k ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ l ⎟⎞ 2 ⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎝c⎠
正
交
晶
系
d
hk
＝
l
（
1 h ）2＋ （ k ）2＋ （
l ）2
a
b
c
六方晶系
d
＝
hkl
1
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()1ˆˆˆ2aa x y z =+- ()2ˆˆˆ2aa x y z =-++ ()3ˆˆˆ2aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()312312c V a a a a =⋅⨯=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ ()2123ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV a a a a b a a xy a a a π=⨯=-=+- ()2231ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a yz a a a π=⨯=-=+- ()2312ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a zx a a a π=⨯=-=+-于是有：()()()123222ˆˆˆˆˆˆ,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1ˆˆ2aa x y =+ ()2ˆˆ2aa y z =+ ()3ˆˆ2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =⋅⨯=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ⋅⨯，现计算()123b b b ⋅⨯．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 此处()123c V a a a =⋅⨯ 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
由于()3110a a a ⨯⋅=，故有()22331212c b b a a a a V π⎛⎫⨯=⨯⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭而()312c V a a a =⨯⋅ 故有22312c b b a V π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭()()()()()233123111232222cccb b b a b a a a V V V πππ⋅⨯=⋅=⋅⨯=或写成()()()31231232b b b a a a π⋅⨯=⋅⨯倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()32π倍。
(b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系()()()2331121231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b πππ⨯⨯⨯===⋅⨯⋅⨯⋅⨯有前面知：()22312cb b a V π⨯=令()()()223111231232122c b b c a b b b V b b b πππ⎡⎤⨯==⎢⎥⋅⨯⋅⨯⎢⎥⎣⎦又知 ()()312312cb b b V π⋅⨯=，代入上式得：()()3111322c cV c a a V ππ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦同理 ()31221232b b c a b b b π⨯==⋅⨯()12331232b b c a b b b π⨯==⋅⨯可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量()123G hkl hb kb lb =++垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d (hkl)为：()()2d hkl G hkl π=(c) 证明对初基矢量123,,a a a 互相正交的晶体点阵，有()d hkl =(d) 证明对简单立方点阵有()d hkl =证明(a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC 在三个晶轴上的截距分别是123,,a h a k a ． 现要证明G(hkl)垂直于ABC ，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC 上的两个矢量CA 和CB 即可．31a a CA h l =-，32a a CB k l=- 用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得()()3311123130a a a a G hkl CA hb kb lb hb lb h l h l ⎛⎫⋅=++⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭同理，()0G hkl CB ⋅=故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d (hkl)为()()()()()123112ˆG hkl hb kb lb a a d hkl OA nh h G hkl G hkl G hkl π++=⋅=⋅=⋅=(c) 如果晶体点阵的初基矢量123,,a a a 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．设 112233ˆˆˆ,,b b xb b y b b z === 由倒易点阵基矢的定义()()()123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 及 123c V a a a =得1122332,2,2b a b a b a πππ===()2G hkl ===于是面间距为()()2d hkl G hkl π==(d) 对立方晶系中的简单立方点阵，123a a a a ===，用(c)的结果可得()d hkl =2．4 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB ＝4，AC =3，夹角BAC ＝3π的平行四边形ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．[解] 解法之一参看图2．4，晶体点阵初基矢量为1ˆ4a x=23ˆˆ22a xy =+用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,b b 。
设111222ˆˆˆˆ,x y x y b b xb y b b x b y =+=+ 由111221222,0,0,2b a b a b a b a ππ⋅=⋅=⋅=⋅= 得到下面四个方程式()11ˆˆˆ42x y xb x b y π⋅+= (1)()113ˆˆˆˆ02x y x y b x b y ⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭(2) ()22ˆˆˆ40x y xb x b y ⋅+= (3)()223ˆˆˆˆ22x y x y b x b y π⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 由式(1)得： 1142,2x x b b ππ==由式(2)得：11302x y b +=，即13022y π⋅+= 解得：1y b =由式(3)得： 2240,0x x b b ==代入式(4)得：222,2y y b π==于是得出倒易点阵基矢12ˆˆˆ,2b xyb y π== 解法之二选取3a 为ˆz方向的单位矢量，即令 3ˆa z= 于是初基晶胞体积c V 为1233ˆˆˆˆ422c V a a a x x y z ⎛⎫=⋅⨯=⋅+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭倒易点阵基矢为()12323ˆˆˆˆˆ222c b a a x y z x y V ππ⎛⎫=⨯=+⨯=-⎪⎪⎭()2312ˆc b a a y V π=⨯=()3122ˆ2cb a a zV ππ=⨯= 对二维点阵，仅取ˆˆ,x y 两个方向，于是得12ˆˆˆ,2b xyb y π=-= 2．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为123ˆˆˆˆˆ,,2222a a a x y a x y a cz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c和4，并且相对于正点阵转动了30︒角；(b)当比率c ／a 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c ／a 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积． [解](a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．123ˆˆˆˆˆ,,22a a a y a ax y a cz =+=+= 初基晶胞体积为()2312c V a a a c =⋅⨯=倒易点阵初基矢量为123ˆˆˆ222ˆˆ220c c xy za ab a a x yV V a cπππ=⨯==+231ˆˆ22ˆˆ002c y zb a ac x yV a a ππ=⨯==+312ˆˆˆ222ˆ0202c cxy z a b a a z V V ca πππ=⨯== 或写为123ˆˆ2ˆˆˆ,,22x x b y b y b z c π⎛⎫⎛⎫=+=-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭同正点阵初基矢量123ˆˆˆˆˆ,,22y y a a x a a a cz ⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 比较看出，123,,b b b 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c π和4，并相对于正点阵绕c 转动了30︒角(见图2．6)。
(b)设倒易点阵的点阵常数比为c a **，出(a)可知2a c a c **==若c a c a **=，则有220.9312c a c a ===故当正点阵的c a 倒易点阵的c a **和正点阵的c a 有相同值。
若正点阵c ／a c a **为0.53c a a c **== 故当正点阵的c ／a 为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53．(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W —S 晶胞．显然为一六角正棱柱(如图2．7)，其体积为()332cV πΩ==即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为()3123b b b Ω=⋅⨯=2．6 底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵．[证明]底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为12311ˆˆˆˆ,,22a axa ax by a cz ==+= 初基晶胞体积为2c abc V =倒易点阵基矢为1232313122112422ˆˆˆˆ2,,c c c b a a xy b a a y b a a zV ab V b Vc ππππππ⎛⎫=⨯=-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为4,4,2a πππ。