导数及其应用综合练习(二)

导数及其应用综合练习（二）1．若实数a ≠0，函数1122)(23++--=ax ax ax x f ，32)(2+=ax x g ．(1)令)()()(x g x f x h -=，求函数)(x h 的单调区间；(2)若0a >且在区间(0，＋∞)上至少存在一点x 0，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围．2.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<，直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1.（1）求直线l 的方程及m 的值；（2）若()(1)'()('()()h x f x g x g x g x =+-其中是的导函数），求函数()h x 的最大值； （3）当0b a <<时，试比较2()a af a b ++与2(2)b af a +的大小.3.已知函数x ax x x f ln )(2-+=，a R ∈.（1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.4．已知函数)0()(,ln )(<==a xax g x x f ，设)()()(x g x f x F +=． （1）求()F x 的单调区间；（2）若以()((0,3])y F x x =∈图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值；（3）是否存在实数m ，使得函数1)12(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．导数及其应用综合练习（二）参考答案编写人：陈茂慧 审核人：谭铁恒 使用时间：2019年8月15日1．若实数a ≠0，函数1122)(23++--=ax ax ax x f ，32)(2+=ax x g ． (1)令)()()(x g x f x h -=，求函数)(x h 的单调区间；(2)若0a >且在区间(0，＋∞)上至少存在一点x 0，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵21232)()()(23-+--=-=ax ax ax x g x f x h ∴)1)(2(61266)(2-+-=+--='x x a a ax ax x h令0)(='x h 得：x = －2或x = 1 当a > 0时，列表如下，∴h (x )的单调递减区间是(－∞，－2)和(1，＋∞)，单调递增区间是(－2，1)当a < 0时，列表如下，∴h (x )的单调递增区间是(－∞，－2)和(1，＋∞)，单调递减区间是(－2，1) (2)若在(0，＋∞)上至少存在一点x 0使得)()(00x g x f >成立，则)()(x g x f >在(0，＋∞)上至少存在一解,即0)(>x h 在(0，＋∞)上至少存在一解,由(1)知,当a > 0时，函数)(x h 在区间(0，1)上递增,在(1，＋∞)上递减,要满足条件应有函数)(x h 的极大值027)1(>-=a h ,即72>a 实数a 的取值范围为2{}7a a >． 2.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<，直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1.（1）求直线l 的方程及m 的值；（2）若()(1)'()('()()h x f x g x g x g x =+-其中是的导函数），求函数()h x 的最大值； （3）当0b a <<时，试比较2()a af a b ++与2(2)b af a +的大小.解：（1）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点（1，0）处的切线，故其斜率1(1)11k f ===所以直线l 的方程为1y x =-又因为直线l 与()g x 的图像相切 所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩ 得2(1)902(4m m m ∆=--=>==不合题意，舍去） （2）因为()(1)()ln(1)2(1),h x f x g x x x x =+-=+-+>-所以1'()111xh x x x -=-=++ 当10x -<<时，'()0;h x > 当0x >时， '()0h x < 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减。

因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =（3）当0b a <<时，102b aa--<<，由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<因此，有()(2)ln ln(1)222a b b a b af a b f a a a a +--+-==+<即2()2(2)a af a b b af a ++<+3.已知函数x ax x x f ln )(2-+=，a R ∈.（1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：（1）01212)(2'≤-+=-+=xax x x a x x f 在[]2,1上恒成立， 令 12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a 得27-≤a（2）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，x a x g 1)('-=xax 1-=当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去）， ∴)(x g 无最小值.当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增∴3ln 1)1()(min =+==a ag x g ，2e a =，满足条件.当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=（舍去）， ∴)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. 4．已知函数)0()(,ln )(<==a xax g x x f ，设)()()(x g x f x F +=． （1）求()F x 的单调区间；（2）若以()((0,3])y F x x =∈图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值；（3）是否存在实数m ，使得函数1)12(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．解：(1) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x x ax x a x x F）上单调递增。

在（由+∞∴+∞∈⇒>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈⇒<'。

）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F（2）恒成立)30(21)(),30()(02002≤<≤-='=≤<-='x x a x x F k x x ax x F min 020)21(x x a +-≥当212110200取得最大值时，x x x +-=， 21,21=∴≥∴nmn a a（3）若21211)12(22-+=-++=m x m x a g y 的图象与)1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，即)1ln(212122+=-+x m x 有四个不同的根，亦即2121)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。

令2121)1ln()(22+-+=x x x G ，则1)1)(1(1212)(2232+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。

当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：由表格知：02ln )1()1()(,2)0()(>=-====G G x G G x G 最大值最小值。

画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,21(∈m 时， 恰有四个不同的交点，与m y x G y ==)(的图象与时，当21211)12()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m交点。

的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y。