空间向量及其运算坐标表示
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
空间向量的运算的坐标表示
三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根 空 向 运 的 标 示有 据 间 量 算 坐 表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、 知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判 下 向 是 平 或 直 习 断 列 量 否 行 垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2
空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精讲)(解析版).
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）考点一空间向量坐标的表示【例1-1】（2022·广东）在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，则AM 在基底{}1,,AA AD AB 下的坐标为（）A ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题可知，M 为1DC 的中点，∴()()11111112222AM AD DM AD DD DC AD AA AB AA AD AB =+=++=++=++，∴坐标为11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则它在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）．A ．15,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．151,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，可设向量()1,0,0a =，()0,1,0b =，()0,0,1c =，则向量()1,1,0a b +=，()1,1,0a b -=-，又向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+，则()()3,2,1,,x y x y z =+-，即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为51,,122⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.【例1-3】（2022·吉林白山）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，M是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =uuu r uuu r ，3MG GN =，若1AG xAA yAB zAC =++uuu r uuu r uu u r uuu r，则x y z ++=（）A ．78B ．98C ．118D ．138【答案】C【解析】以1A 为坐标原点，1A A ，11A B ，11AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系1A xyz -.不妨令4AB =，则()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,0,0A ，()2,0,2C ，()0,0,1M ，4,4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为3MG GN =uuu r uuuu r ，所以11,3,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,3,4AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，()12,0,0AA =-uuu r ，()0,4,0AB =，()0,0,2AC =，则12,34,12,4x y z ⎧⎪-=-⎪=⎨⎪⎪=⎩解得12x =，34y =，18z =，故118x y z ++=.故选：C【一隅三反】1．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（）A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【解析】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．2．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【解析】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.3．（2022·河北）（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()13,1A B ．()11,0,1C C ．()10,3,1AD =D ．)13,3,1B A =-【答案】ABC【解析】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以AD =()()()111,,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,,1,1AD B A ==.故选：ABC考点二空间向量坐标的运算【例2-1】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量()2,1a =r ，()1,2b =-r ，则3a b -的坐标为（）A ．()1,5--B ．()1,7-C ．()1,5-D ．()1,7【答案】B【解析】()2,1a =r ，()1,2b =-r ，∴()()()()()32,131,22,13,61,7a b -=--=--=-．故选：B ．【例2-2】（2022·四川）已知空间向量()1,2,3a =，(),1,b m n =-，若a b ∥，则m n +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【解析】由1123m n -==，解得13,22m n =-=-，则m n +=2-.故选：A.【例2-3】（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（）A ．3B ．4-C ．3-D ．4【答案】A【解析】由题意可得0a b ⋅=，故322(1)00m ⨯-+-⨯=，则3m =，故选：A【例2-4】（2022·全国·高二）已知空间三点()0,0,0O ，()1,1,0A -，()0,1,1B ，在直线OA 上有一点H 满足BH OA ⊥，则点H 的坐标为.A ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-【答案】B【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1），∴OA =（﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0），则BH =（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH ⊥OA ，∴BH •OA =0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ12=，∴点H （12-，12，0）．故选B ．【一隅三反】1．（2022·黑龙江）已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A 【解析】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A2．（2022·山东淄博·高二期末）已知向量()2,0,1a =，()3,1,4b =，则2a b -=（）A ．()4,2,7-B ．()4,2,7---C ．()4,2,7-D ．()4,2,7-【答案】B【解析】因为()2,0,1a =，()3,1,4b =，所以()()()2,0,16,2,8,724,2a b -=-=---故选：B 3．（2022·全国·高二课时练习）已知()2,3,1a =--，()4,0,8b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（）A ．a c ∥，b c ∥B ．a b ∥，a c ⊥C ．a c ∥，a b ⊥D ．以上都不对【答案】C【解析】由题意知：2c a =，24180b a ⋅=-⨯+⨯=，故a c ∥，a b ⊥.故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（）A ．6-B ．a-C ．322-D ．34-b【答案】C【解析】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()2222322a b b⋅=+--.故选：C.5．（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-r且a c ⊥，//b c ，则a b +=（）A ．22B ．23C ．4D ．3【答案】D【解析】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b +=.故选：D.考点三空间向量在几何中运用【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=o ，棱12AA =，M 、N 分别为11A B 、1A A 的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求BN 的模；(2)求11cos ,A B B C <>的值；(3)求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】10(3)证明见解析【解析】(1)解：因为1CC ⊥平面ABC ，90BCA ∠=o ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()1,0,1N ，所以，()1,1,1BN =-，则BN =(2)解：依题意得()11,0,2A 、()0,0,0C 、()10,1,2B 、()0,1,0B ，所以，()11,1,2A B =--uuu r，()10,1,2B C =--，110143A B B C ∴⋅=-+=，又1A B ==，1B C =所以，111111cos ,10A B B C A B B C A B B C⋅<>==⋅.(3)证明：依题意得()11,0,2A 、()10,0,2C 、()0,1,0B 、()1,0,1N 、11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuuu r ，()11,0,1N C =-，()1,1,1BN =-，所以，()1111101022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()11101110C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，则1C M BN ⊥，1C BN N ⊥，即1BN C M ⊥，1BN C N ⊥，又因为111=C MC N C ，所以，BN ⊥平面1C MN .【一隅三反】1．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点()1,1,1A --，()1,2,2B --，()2,4,1C -，则AB 与AC 的夹角θ的大小是______．【答案】3π【解析】因为()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，所以2367A AB C ⋅=-++=所以AB ==AC ==1cos 2AB AB AC ACθ⋅===⋅因为[]0,θπ∈，所以3πθ=故答案为：3π2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1AMB M ⊥B ．1//CD 平面1A BPC．动点P D ．AM 与11A B 【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()10,2,2A ，()0,0,0B ，()2,1,0M ，(),,0P x y ，所以()10,2,2A B =--，(),,0BP x y =，()2,1,2AM =-，由//AM 平面1A BP ，得1AM a A B bBP =+，即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，化简可得320x y -=，所以动点P 在直线320x y -=上，A 选项：()2,1,2AM =-，()12,1,0B M =-，()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠，所以AM 与1B M 不垂直，所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ，1A B ⊂平面1A BP ，1CD ⊄平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上，且P 为侧面11BCC B 上的动点，则P 在线段1PB 上，14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以13PB ==，C 选项正确；D 选项：()110,0,2A B =-，112cos ,3AM A B ==，D 选项错误；故选：BC.3．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．(1)在AB 上是否存在点D ，使得1AC CD ⊥(2)在AB 上是否存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ？【答案】(1)存在(2)存在【解析】(1)直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，则AC 、BC 、1CC 两两垂直如图，以C 为坐标原点，射线CA 、CB 、1CC 分别为,,x y z 轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()10,0,4C ，()0,4,0B ，()10,4,4B ．（1）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，于是()33,4,0CD λλ=-，由于()13,0,4AC =-，且1AC CD ⊥，所以1990AC CD λ⋅=-+=，得1λ=，所以在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合．(2)假设在AB 上存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，()133,44,4B D λλ=---．又()10,4,4B C =--，()13,0,4AC =-，1AC ∥平面1CDB ，所以存在实数,m n ，使111AC mB D nB C =+成立，∴()333m λ-=-，()4440m n λ--=，444m n --=．所以12λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC ∥平面1CDB ，且D 是AB 的中点．考点四空间向量数量积取值范围【例4】（2021·浙江·绍兴一中高二期中）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【一隅三反】1．（2022·江苏南通）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，P 是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且1AB BC CD DE EF AF ======，由正六边形的性质可得，()()130,0,0,1,0,0,,0,,022A B F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，设(),,P x y z ，其中1322x -<<，所以()=1,0,0AB ，(),,AP x y z =，所以AB AP x ⋅=，所以AB AP ⋅的取值范围13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知O 为坐标原点，OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．123,,234⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设OQ OP λ=，则QA ＝OA －OQ ＝OA －λOP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝OB －OQ ＝OB －λOP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA QB ⋅＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2412333λ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以当λ＝43时，QA QB ⋅取得最小值，此时OQ ＝43OP ＝448,,333⎛⎫⎪⎝⎭，即点Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B （含边界）内，若1D M CP ⊥.则△BCM 面积的最小值为（）A ．8B ．4CD 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()402P ，，，()040C ，，，()1004D ，，，()440B ，，，设()[]()404M a b a b ∈，，，，，则()144D M a b =-，，，()442CP =-，，，因为1D M CP ⊥，所以1164280D M CP a b ⋅=-+-=，得24b a =-，所以()424M a a -，，，所以BM当125a =时，BM ∣∣取最小值5，易知4BC =，且BC ⊥平面11AA B B ，BM ⊂平面11AA B B 故BC BM ⊥，故12BCM BC BM S =⨯△所以BCM S △的最小值为451854525⨯⨯=．故选：D.考点五空间几何中的轨迹问题【例5-1】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF ==故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP ⊥，则点S 与P 距离的最小值是___________．574【解析】如图，以O 为原点，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，(3S ，32M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),,0P x y ，则32AM ⎛= ⎝⎭，3,,2MP x y ⎛=- ⎝⎭，∵AM MP ⊥，∴0AM MP ⋅=，解得34y =，∴SP =当0x =时，点S 与P ．．2．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．3．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧空间向量是解析几何中的重要内容，它涉及到向量的坐标表示和运算，具有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的坐标表示以及相关的运算技巧。
一、坐标表示在三维空间中，任意向量可以用其在坐标系中的坐标表示。
一般来说，我们使用笛卡尔坐标系来表示空间向量。
在笛卡尔坐标系中，我们可以使用三个坐标轴x、y和z来表示向量的三个分量。
假设有一个向量A，其在坐标系中的坐标表示为A=(x, y, z)。
其中，x表示向量A在x轴上的分量，y表示向量A在y轴上的分量，z表示向量A在z轴上的分量。
二、向量的加法与减法空间向量的加法与减法与二维向量的加法与减法类似。
对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的和向量C=A+B的坐标表示为C=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)；它们的差向量D=A-B的坐标表示为D=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
向量的加法与减法可以通过将各个分量相加或相减得到。
这一点十分重要，因为在解析几何的问题中，我们经常需要对向量进行加法和减法运算。
三、数量积与向量积空间向量的数量积和向量积是解析几何中的两个重要运算，其定义如下：1. 数量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的数量积为AB=x1*x2+y1*y2+z1*z2。
2. 向量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积为C=A×B=(y1*z2-y2*z1, z1*x2-z2*x1, x1*y2-x2*y1)。
数量积和向量积在解析几何的求解中具有重要的作用。
数量积可以用来求解两个向量的夹角，向量积可以用来求解平面的法向量以及计算平行四边形的面积。
四、向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，它可以通过向量的坐标表示进行计算。
对于一个向量A=(x, y, z)，它的模长表示为|A|=√(x²+y²+z²)。
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(同步课件)-【优选组合】2021-2022学年高二(人教A版20
∴ || =
22 + 12 + (−3)2 = 14, || =
32 + (−2)2 + (−1)2 = 14, ⋅
= 2 × 3 + 1 × (−2) + (−3) × (−1) = 7,
∴ cos = cos＜, ＞ =
=
−4
3×2 5
=
2 5
−
15
.
12 + 22 + (−2)2 = 3, || =
探究点三 空间向量坐标运算的运用
例 [2021山东师大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中
,(0,2,3),(−2,1,6),(1, −1,5).
（1） 若点在直线上,且 ⊥ ,求点的坐标;
= (4,2,0), = (−1,2, −1),所以 ⋅ = −4 + 4 + 0 = 0,所以 ⊥ ,
即 ⊥ ,故B中结论正确;
易知 = − = (2,3,4) ,若 // ,则存在实数 ,使得 =
−1 = 2,
,即 ቐ 2 = 3, 此方程组无解,故 不平行于 ,故C中结论错误;
读 式.
标运算解决立体几何问题.
3.能用空间向量的坐标运算解决
平行、垂直、夹角、长度等问题.
要点一 空间向量运算的坐标表示
设 = (1 , 2 , 3 ), = (1 , 2 , 3 )，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
加法
减法
数乘
数量积
坐标表示
1 1 + 2 2 + 3 3
2. 已知 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,0,1), = − , = + 2 − ,则 ⋅
1.3.1-2空间向量及其运算的坐标表示(课件)
要点二 空间向量的坐标表示 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原 点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立 三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们叫做坐标轴．这时我们就建立了 一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k叫做_坐__标__向__量_，通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．在空间直角坐标系中，让
变式训练 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)， 设 a＝A→B，b＝A→C.
(1)设|c|＝3，c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.
解析：(1)因为B→C＝(－2，－1,2)，且c∥B→C 所以设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ) 得|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2 ＝3|λ|＝3 解得λ＝±1，即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
解析：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原 点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示． 则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1) ∴B→N＝(1，－1,1)，B→A1＝(1，－1,2)，A→1B＝(－1,1，－2)．
变式训练 3 在长方体 OABC－O1A1B1C1 中，OA＝2，AB＝3， AA1＝2，E 是 BC 的中点，
(1)求异面直线 AO1 与 B1E 所成角的余弦值； (2)过点 O1 作 O1D⊥AC 于点 D，求点 O1 到点 D 的距离．
解析：
由题意，以O为原点，分别以 O→A ， O→C ， O→O1 的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
1.3空间向量及其运算的坐标表示(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
所以点 D 的坐标是(0,0,2) ．同理，点 C 的坐标是 (0,4,0) ．
点 A 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，O， D ， 它们在坐标轴上的坐标分别为 3，0，2， 所以点 A 的坐标是 (3, 0, 2) ． 点 B 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，C， D ， 它们在坐标轴上的坐标分别为 3，4，2， 所以点 B 的坐标是 (3,4,2) ．
AB b1 a1,b2 a2 .
新课探究
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设i, j, k为空间的一个单位正交基底，
则
a i
a1i
a2
j
a3k，b
b1i
b2
j
b3k，
i
所以 a b a1i a2 j a3k b1i b2 j b3k
a1b1i i a1b2i j a1b3i k a2b1 j i a2b2 j j a2b3 j k a3b1k i a3b2k j a3b3k k. y
方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
z
z
k
O
y
ij
x
k
O
y
i
x
新课探究
问题2
在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数 （即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向 量,是否也有类似的表示呢?
y
j
A
a
O
i
x
z
A
O
y
x
新课探究
追问1：在空间直角坐标系中如何定义 OA的坐标呢？
a a a a12 a22 . cos a, b a b
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a2 a1
2
b2 b1 c2 c1
2
2
三.两个向量夹角公式
cos a, b a b ab
a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3
2 2 2
b1 b2 b3
2
2
2
注意：
当cos a, b 1时， a与b 同向 ; （1）
B1
A (4,0,0)
B1 (0,4,4)
A1 C B
A1 (4,0,4) C (0,0,0) 所以 AB 1 4,4,4
A1C 4,0,4
AB1 A1C 0 所以 AB1⊥A1C
A
Y
X
变式训练 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4， BC=4，AA1=4，AB=4 3，求异面直线AB1与A1C
所夹角的余弦值。
C1
B1
A1 C B
A
例2 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为 CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD
证明： 如图，取BC中点O和B1C1中点E， Z
以O为坐标原点，分别以OB, OE, OA的方 向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间 A 直角坐标系O-XYZ，则
当cos a, b -1时， a与b反向 ; （2）
a b. （3）当cos a, b 0时，
例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4， BC=4，AA1=4，AB=4 2 ， 求证：AB1⊥A1C
Z 证明： 如图，以C为坐标原点分别以CA, CB, CC1的方 向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐 C1 标系C-XYZ，则
3.1.5空间向量运算的坐标表示
高一数学组 授课教师：祁学江
指导教师：陈祥仁、苗帅
代数几何熔一炉 乾坤变换坐标书 图形百态方程绘 立体千姿计算出
一、空间向量的坐标运算
设a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3 则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a (a1 , a2 , a3 ),( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a1 / b1 a2 / b2 a3 / b3bi 0 a b a1b1 a2b2 a3b3 0
A 0,0, 3 , B1 1,2,0 B1,0,0, D1,1,0
所以 AB1 1,2, 3 所以 因为 所以
A1
BD 2,1,0
AB1 BD 2 2 0
O
C
D
E
C1 B1
Y
AB1 BD
B
X
AB1 A1B, A1B BD B
二、距离公式
1.向量的长度（模）公式
a a a a1 a2 a3
2
2
2
b b b b1 b1 b3
2
2
2
2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中
设Aa1 , b1 , c1 , Ba2 , b2 , c2
则AB OB OA a2 a1, b2 b1, c2 c1
AB1 平面A1BD
练习一 如图，四面体ABCD，面ABD⊥面BCD, ∠BAD= ∠BCD=90°，∠ADB=30°， BC=CD，求异面直线AC与BD所成角的余 弦值。
A
B
D
C
四、课堂小结： 1、空间向量运算的坐标表示
2、空间向量解决立体几何中的简单问题