湘教版 学案 1.1.2 命题的四种形式

1．1.2命题的四种形式
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．会判断四种命题的真假．
下列四个命题：
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
1．命题“若p则q”的四种形式
原命题：若p则q；
逆命题：若q则p；
否命题：若¬p则¬q；
逆否命题若¬q则¬p.
2．四种命题间的关系
3．四种命题的真假判断
(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假．
(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假．
(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．
(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假．
要点一四种命题的概念
例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
解(1)原命题是真命题
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．
(2)原命题是真命题
逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题．
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．
规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．
跟踪演练1写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么该直线垂直于平面内的两条相交直线．
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面．
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10.
否命题：如果x≤10，那么x≤0.
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2.
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0.
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
要点二四种命题的关系
例2下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中是真命题的是________．
答案①②③
解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.
规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪演练2有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
③“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
答案 1
解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．
②“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．
③“相等的角是同位角”是假命题．
要点三等价命题的应用
例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
解法一原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a<1，则4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
法二先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，
所以a≥1.所以原命题成立．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．
规律方法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的
命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
跟踪演练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()
A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A 答案 B
解析命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，“∈”与“∉”互为否定形式．
2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()
A．若A∪B＝B，则A∩B＝A
B．若A∩B≠A，则A∪B≠B
C．若A∪B≠B，则A∩B≠A
D．若A∪B≠B，则A∩B＝A
答案 C
解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．
3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假
4．给出以下命题：
①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
答案①③
解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”．真命题．
②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．
③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．
1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
2．每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。