2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．183．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π6．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．237．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 8．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P9．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．3x π=- D ．3x π=12．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数22,0,()2,0,x x x f x x -⎧-≥=⎨<⎩，则11(lg )(lg )(lg 2)(lg5)52f f f f +++的值为 ____ 14．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________.15．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________. 16．已知x ，y 满足约束条件，则的最小值为___三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值.18．（12分）已知函数()1ln f x a x x=+. （1）讨论()f x 的零点个数； （2）证明：当02e a <≤时，()12xe f x ->. 19．（12分）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,1,n nn n b n a ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.21．（12分）设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知121,4T T ==, (1)求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式．22．（10分）已知函数()tan sin 2202f x x a x x x π⎛⎫=+-≤<⎪⎝⎭． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C【解题分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容.【题目详解】根据循环程序框图可知，0,1S i ==则1,3S i ==，4,5S i ==，9,7S i ==，16,9S i ==，25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项，故选：C.【题目点拨】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.2、D【解题分析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【题目详解】 由余弦定理得：222222224a cb bc a c a b ac bc +-+-⋅-⋅=， 整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D .【题目点拨】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.3、B【解题分析】把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项．【题目详解】 由题意2sin()13πϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22k πϕπ=+，k Z ∈， 不妨取6πϕ=-或2ϕπ=， 若2ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意， 若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴． 故选：B ．【题目点拨】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．4、C【解题分析】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A 点坐标为,22p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【题目详解】设抛物线的解析式22(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-， ∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点，又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22y px =，解得2p =， 又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p p DP p =+-==， ∴11||||24422ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C.【题目点拨】 本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．5、C【解题分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值. 【题目详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈.函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k .则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C.【题目点拨】 本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.6、C【解题分析】试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，则1,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅2221)())a +-==C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角．7、D【解题分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【题目详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.故选：D【题目点拨】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8、C【解题分析】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C9、A【解题分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【题目详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.【题目点拨】考查集合并集运算，属于简单题.10、B【解题分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【题目详解】因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=，所以向量m ，n 共线且方向相反，所以0m n ⋅<，即充分性成立；反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件．故选B ．【题目点拨】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．11、D【解题分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案.【题目详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22T πω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D【题目点拨】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.12、D【解题分析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值【题目详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ，设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，所以x ＝2a ，则EF 2＝a ，由勾股定理可得（4a ）2+（）2＝（2c ）2，所以c 2＝7a 2，则e c a== 故选：D ．【题目点拨】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京首师大附中高三(上)期末数学试题及答案
2024北京首都师大附中高三（上）期末数 学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1. 在复平面内，复数()()2i 13i −+的共轭复数．．．．对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合{}1,0,1,2A =−，集合1,0B y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，则()A B ⋂=R （ ） A. {}1,0,1−B. {}1,0,1,2−C. {}0,1D. (],1−∞3. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= A. 9B. 10C. 11D. 124. 函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A.()25e e 2x xx −−+B.25sin 1xx + C.()25e e 2x xx −++D.25cos 1xx + 5. 已知抛物线:C 22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,P y 在抛物线C 上，且34pPF =，则p =（ ） A. 4B. 6C. 8D. 106. 若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++，则246a a a ++=（ ） A. 64B. 33C. 32D. 317. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.5B.5C.5D.58. 已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅”是“向量,a c 同向”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β； ③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②10. 甲和乙是同班同学，该班级共43名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问k 个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则k 的最小值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的40%分位数为____________分．12. 函数lg(21)lg y x x =++的零点是______________．13. 已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m ，下边长为1m ，且下边距地面1 m ．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m 3．14. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则ω=____________，()πf =____________．15. 已知曲线:44C x x y y −=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y −>； ②曲线C 在()0,1−处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈−+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m −+=与曲线C 无公共点当且仅当((),0,m ∈−∞⋃+∞． 其中所有正确结论的序号是_____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足π1sin cos 64A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得ABC 存在且唯一，并以此为依据求ABC 的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）条件①：=c ；条件②：π4B =；条件③：2a =． 17. 为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A 小区与B 小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．（1）从A 小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；（2）从A 、B 小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（3）设事件E 为“从A 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件F 为“从B 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件E 发生的概率()P E 与事件F 发生的概率()P F 的大小，并说明理由．18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，,2BC AD AD BC =∥，M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．（1）证明：//PB 平面MAC ；（2）设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，若平面PAD ⊥平面,,ABCD AB AD PA AD ⊥⊥，22PA AD AB ===，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．19. 已知函数()1x af x x e=−+（,a R e ∈为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点(1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线:1l y kx =−与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为,2A B 为椭圆的左、右顶点，C 为椭圆的上顶点，原点O 到直线AC ． （1）求椭圆E 的方程；（2）P 为椭圆上一点，直线AC 与直线PB 交于点Q ，直线PC 与x 轴交于点T ，设直线,PB QT 的斜率分别为12,k k ，已知1212k k λ+=，求λ． 21. 若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =−−，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…； ②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1. 【答案】D【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z ，进而得到其共轭复数z 所对应的点所在象限． 【详解】令()()2i 13i z =−+， 则()()2i 13i 55i z =−+=+，则()()2i 13i −+的共轭复数为55i z =−， 所以z 对应的点位于第四象限． 故选：D ． 2. 【答案】A【分析】计算集合B ,再计算结果，判断选项.【详解】由0x >，则12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =取等号，则{}2B y y =<R，故(){}1,0,1A B ⋂=−R.故选：A 3. 【答案】C【详解】试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.考点：等比数列的性质 4. 【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A 、C 中函数在(0,)+∞上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f −=<，由225sin()5sin ()11x xx x −=−−++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x −−>+、25(e e )02x x x −+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除； 故选：D 5. 【答案】C【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2p x =−， 因为点()02,P y 在抛物线C 上，且34p PF =， 所以3242p p=+，解得8p =. 故选：C. 6. 【答案】D【分析】给x 分别赋值011−，，，即可得到一系列方程组，通过对方程组的解决，问题即可得到解决. 【详解】因为()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++， 所以令0x =可得01a =①，令1x =可得01245630a a a a a a a +++++=+②， 令=1x −可得012345662a a a a a a a −+−+=−+③， ②+③可得502462a a a a ++=+①，将①代入④可得52462131a a a ++=−=. 故选：D 7. 【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长||5AB ===. 故选：D 8. 【答案】B【分析】判断当0b b a c ⋅=⋅=时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，不能得,a c 同向，当,a c 同向时，可得()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，从而得出答案.【详解】当0b b a c ⋅=⋅=时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，但此时向量,a c 不一定同向；反之，当向量,a c 同向时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅成立，所以“()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅”是“向量,a c 同向”的必要不充分条件. 故选：B 9. 【答案】D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz −，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D −中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥，1AD C D D =，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz −，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =01a <<，则111222a −<−<，则211024a ⎛⎫≤−< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡⎫=⎪⎢⎪⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，110,,2a PQ a −⎛⎫=− ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ −−⋅=−==，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ −⎛⎫=−⎪⎝⎭，令()12211042a a a PQ PQ −−⋅=+=， 整理得24310a a −+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 10. 【答案】B【分析】将43名学生进行二进制编号，再依次询问6个位置的编号是否是1，从而确定答案. 【详解】因为5623243,26443=<=>， 所以可以将43名学生进行六位二进制编号，第i ()1,2,3,4,5,6i =个问题询问甲所想的同学的编号从左到右的第i 位二进制编号是否是1， 问完6个问题，则甲所想的同学的编号即确定. 故选：B第Ⅱ卷（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 【答案】9【分析】利用茎叶图与百分位数的定义即可得解.【详解】根据茎叶图，小王同学在篮球赛中得分记录从小到大排列为：3,5,7,8,10,10,10,11,12,14， 因为1040%4⨯=，所以他在这10场比赛中得分的40%分位数为81092+=. 故答案为：9. 12. 【答案】12【分析】利用对数运算及零点含义可得答案. 【详解】由题意可得函数的定义域为()0,∞+.2lg(21)lg lg(2)y x x x x =++=+，令0y =可得221x x +=，解得12x =或=1x −（舍）， 故答案为：12. 13. 【答案】218【分析】根据题意，所得几何体体积为两个直三棱柱体积之差求解即可. 【详解】因为窗户下边长1m ，所以留在底面上影子矩形的长为1m ， 又影子矩形的面积为1.5 m 2，所以矩形的宽为1.5 m ， 设影子矩形靠近墙的边长到窗户底部墙的距离为x ，则11.52.5x x =+，解得1x =，所以窗户与地面影子之间光线所形成的几何体为两个底面为直角三角形，高为1的直三棱柱体积之差，其中大三棱柱底面直角三角形两直角边为2.5m ，小三棱柱底面直角三角形两直角边长为1m , 所以()2311212.5111m .228V =⨯⨯−⨯⨯= 故答案为：21814. 【答案】 ①. 4± ②. 【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x −=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω−=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x −=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， 当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+−+=−=，即()212π3x x ω−=，4ω∴=； 当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+−+=−=，即()122π3x x ω−=，4ω∴=−； 综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω，则()()sin 4f x x ϕ=+，因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=−+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=−=−⎪⎝⎭．故答案为：4±；. 15. 【答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为 2244x y −=，即2214xy −=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为 2244x y +=，即2214xy +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为 2244x y −−=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为 2244x y −+=，即2214xy −=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y −=和2214y x −=有一条共同的渐近线20x y −=，综上，可作出曲线C 的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y −=的下方， 所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y −>，故①正确；设过点()0,1−的直线l 的方程是1y kx =−，若直线l 与椭圆2214xy +=相切，则由22114y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx −+=， 2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y −=相切，则由22114y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩得22(41)80k x kx −−=，则2410k −≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =−，与曲线C 相切，故②正确； 直线20x y m −+=是表示与直线20x y −=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m −+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n −+=与椭圆2214xy +=相切，则由222014x y n x y −+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n −+−=， 所以221632(4)0n n ∆=−−=，解得n =±C的图象，取n =−，即直线20x y −−=与曲线C 相切，所以若直线20x y m −+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象， 0m ≥或m <−，故④错误.故答案为：①②.【点睛】方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值； 2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 【答案】（1）π6（2）答案见解析【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得sin 216πA ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得解A ； （2）选择①②，ABC 不唯一；选②③，利用正弦定理与三角形面积公式即可得解；选①③，利用余弦定理与三角形面积公式即可得解 【小问1详解】因为π111sin cos ,sin cos sin 64224A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21111cos21sin cos sin ,2244224A A A A A −−=−⨯=，1πcos21,sin 2126A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 由于ππ13π0π,2666A A <<<+<， 所以πππ2,626A A +==. 【小问2详解】 若选①②，三个已知条件是ππ,,64A B c ===，没有一个是具体的边长，无法确定ABC ． 若选②③，三个已知条件是ππ,,264A B a ===，由正弦定理得2ππsin sin 64bb =⇒= 此时ABC 存在且唯一，()1sin sin 22224C A B =+=⨯+⨯=，所以11sin 21224ABCSab C +==⨯⨯=+； 若选①③，三个已知条件是π,,26A c a ===， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−，即224322b b b =+−⨯， 解得2b =（负值舍去），则c = 此时ABC存在且唯一，所以111sin 2222ABC S bc A ==⨯⨯=△ 17. 【答案】（1）1730（2）分布列见解析，期望值()1710E X =； （3）()()PF P E <，理由见解析；【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；（2）分别估计出A 、B 小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；（3）分别估计出A 、B 小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得()(),P E P F ，即可得出结论. 【小问1详解】 根据频数分布表可知，抽取的A 小区300人样本中，有608030170++=人对垃圾分类比较了解， 所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为1701730030P ==； 由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：从A 小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为1730； 【小问2详解】根据频数分布表可知，A 小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为8041005=；B 小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为90910010=； 易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2； 易知()49101151050P X ⎛⎫⎛⎫==−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()49491311151051050P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4918251025P X ==⨯=；所以X 的分布列如下：期望值()01250502510E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】()()P F P E <，理由如下：从三个年龄组随机抽取两组共有23C 3=种，每一种组合出现的可能为13； 易知A 小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为343,,5510， 所以可得()1343343335551051010P E ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 同理()13931912931010102102100P F ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，显然2930310010010=<； 即()()P F P E <.18. 【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由//PB OM 可得//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，则直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ，以点A 为原点建立空间直角坐标系，求出PN 及面MAC 的法向量，求l 与平面MAC 所成角的正弦值． 【小问1详解】连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，因为,2BC AD AD BC =∥，所以12OB BC OD AD ==， 又因M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点， 所以12OB PM OD MD ==，所以//PB OM ， 又OM ⊂平面,MAC PB ⊄平面MAC ，所以//PB 平面MAC ； 【小问2详解】延长,AB DC ，交于点N ，所以,N P 为平面PAB 与平面PCD 的公共点， 所以直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ；因为平面PAD ⊥平面,ABCD PA AD ⊥，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PA =⊂平面PAD ， 所以PA ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 如图，以点A 因为,2BC AD AD BC =∥， 所以121BN BC BNAN AD BN ===+，所以1BN =， 则()()()()240,0,0,1,1,0,0,,,0,0,2,2,0,033A C M P N ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()()241,1,0,0,,,2,0,233AC AM PN ⎛⎫===− ⎪⎝⎭， 设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则有02433n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1n =−， 则4cos ,63n PN n PN n PN⋅+===⨯，即l 与平面MAC 所成角的正弦值为619. 【答案】（1）a e =（2）当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值（3）k 的最大值为1【分析】（1）求出'()f x ，由导数的几何意义，解方程'(1)0f =即可；（2）解方程'()0f x =，注意分类讨论，以确定'()f x 的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程(x)kx 1f =−无实数解，即关于x 的方程()11xk x e −=在R 上没有实数解．一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =−，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围．【详解】（1）由()1x a f x x e =−+,得()1xa f x e '=−． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae−=,解得a e =． （2）()1x af x e'=−,①当0a ≤时,0fx,()f x 为(),−∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值．②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =．(),ln x a ∈−∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,0f x．所以()f x 在(),ln a −∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值． 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值． （3）当1a =时,()11x f x x e=−+令()()()()111xg x f x kx k x e =−−=−+, 则直线l :1y kx =−与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e −⎛⎫=−+< ⎪−⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤． 又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二:（1）（2）同解法一． （3）当1a =时,()11x f x x e=−+． 直线l :1y kx =−与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111x kx x e−=−+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e−=（*） 在R 上没有实数解． ①当1k =时,方程（*）可化为10x e=,在R 上没有实数解． ②当1k ≠时,方程（*）化为11x k =−． 令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+． 令()0g x '=,得=1x −,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当=1x −时,()min 1g x e=−,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈−∞− ⎪−⎝⎭时,方程（*）无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e −． 综上,得k 的最大值为1．考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．20. 【答案】（1）2214x y +=（2）2【分析】（1）写出直线AC 的方程，根据原点O 到直线AC 的距离及离心率求得,a b 即可；（2）解法一：设()()000,0,2P x y x ≠，写出,,AC PB PC 方程并联立求得,T Q 坐标，代入斜率公式计算即可；解法二：1:12AC y x =+与()1:2PB y k x =−联立可得Q 坐标，将PB 与椭圆方程联立得P 坐标，写出PC 方程得T 坐标，代入斜率公式计算即可.【小问1详解】 原点O 到直线:1x yAC a b +=−即0bx ay ab −+=的距离d ==又2c e a ==， 222a b c =+，解之得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214xy +=．【小问2详解】解法一：设()()000,0,2P x y x ≠，则220014x y +=，直线PB 的斜率0102y k x =−， 因为()()()2,0,2,0,0,1A B C −，所以001:1y PC y x x −=+， 令0y =得001x x y =−，所以00,01x T y⎛⎫ ⎪−⎝⎭，又()001:1,:222y AC y x PB y x x =+=−−，联立可得00000002444,2222x y y Q y x y x ⎛⎫+− ⎪−+−+⎝⎭，直线QT 的斜率()00000222000000000004041222444484221y y y y x k x y x x y x y y y x y −−−+==+−−−+−−−+− ()()()0000022200000000004141184822444484y y y y y y x y y x y y yx y y −−−===−−++−−−−+−，所以()()()()()00000001200000022212122222222y x y y x y y k k x x y x x y +−−−−−−=−⨯=−+−−+− ()22000000000022000000000022242224124442442444y x y x y y x y x y x x y x y y x y x y −++−−++−===−+−−+−+−−+． 综上2λ=．解法二：因为()()()112,0,2,0,0,1,2A B C k −≠所以1:12AC y x =+，与()1:2PB y k x =−联立可得1111424,2121k k Q k k ⎛⎫+ ⎪−−⎝⎭，将()1:2PB y k x =−代入2214x y +=得()222211141161640k x k x k +−+−=，所以2121164241P k x k −=+，则21218241P k x k −=+，2111221182424141P k k y k k k ⎛⎫−−=−= ⎪++⎝⎭， 所以2112211824,4141k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭， 则直线PC 的斜率为()()()()()1222111112211111214121214144182822212122141PCk k k k k k k k k k k k k −−−+−++−−−====−−+−−+，所以()()1121:1221k PC y x k −+=+−，令0y =得114221k x k −=+，则1142,021k T k ⎛⎫− ⎪+⎝⎭， 所以QT 斜率为()()()()()111121111111140421214242422142212121k k k k k k k k k k k k k −+−==+−++−−−−−+ ()111142111624k k k k +==+，则12122k k −=−． 综上2λ=．【点睛】关键点睛：关系式1212k k λ+=中关键是12,k k 的计算，计算12,k k 必须要有各点的坐标，故要设直线方程联立求交点坐标.21. 【答案】（1）①不满足；②满足 （2）证明见解析； （3）0n a =或3n a =； 【分析】（1）根据题意分析判断；（2）根据题意先证3为数列{}n a 中的项，再利用反证法证明集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）先根据题意证明{}0,2,3n a ∈，再分{}n a 为常数列和非常数列两种情况，分析判断. 【小问1详解】对①，取1i =，对,1j j *∀∈>N ，则11,j i j a a a ===， 可得11j j i i j a a a j a =−−−=−−， 显然不存在,k j k *>∈N ，使得1k a =−， 所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *∀∈<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i j b b b b −−=++−+−+=⋅++()22i j i j =⋅++−+，因为,,1,2i j i j *∈≥≥N ，则()2i j i j *⋅++−∈N ，且()()2123i j i j i j j ⋅++−=++−≥，所以存在()2k i j i j *=⋅++−∈N ，k j >，使得()22j k i ji b b i b j i j b b =⋅++−=−−+，故数列{}n b 满足性质P ； 【小问2详解】若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>∈N ，均存在111,k j k *>∈N ，使得111111k j j a a a a a =−−=−， 取2121,,i j j k j *==>∈N ，均存在2212,k j k k *>>∈N ，使得222111k j j a a a a a =−−=−，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>∈N ，使得112123m k k k k a a a a a =−−=，故数列{}n a 中存在n *∈N ，使得3n a =，即{}3∣n n a *∈=≠∅N ，反证：假设{}3∣n n a *∈=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >，取1,1l l i j n n ==+>，均存在1,L l L k n k *>+∈N ，使得11111L l l k n n a a a a a ++=−−=−， 取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+∈N ，使得111111L L L k k k a a a a a +++=−−=−， 取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>∈N ，使得1113l L L L L n k k k k a a a a a +++=−−=，即{}13∣l nn n a *+∈∈=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集.【小问3详解】设周期数列{}n a 的周期为1,T T *≥∈N ，则对n *∀∈N ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *∈≤≤N ，最小项为,,1N a N N T *∈≤≤N ，即对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤， 若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ≥时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *∃>+∈N ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=−−=−，则()2330k M M M M M a a a a a a −=−=−>，即k M a a >，这对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤矛盾，假设不成立；则对n *∀∈N ，均有3n a ≤； 反证：假设2N a ≤−时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *∃>+∈N ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=−−=−≥，这与对n *∀∈N ，均有3n a ≤矛盾，假设不成立，即对n *∀∈N ，均有1n a ≥−； 综上所述：对n *∀∈N ，均有13n −≤，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3−为数列{}n a 中的项， ∵()13135−⨯−−−=−，即5−为数列{}n a 中的项，这与对n *∀∈N ，均有13n a −≤≤相矛盾，即对n *∀∈N ，均有1n a ≠，同理可证：1n a ≠−， ∵n a ∈Z ，则{}0,2,3n a ∈，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得22k i i j j a a a a a a a a =−−=−=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意； 当2T ≥时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022⨯−−=−，即2−为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3−∉，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033⨯−−=−，即3−为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3−∉，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231⨯−−=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3∉，不成立； 综上所述：0n a =或3n a =.【点睛】（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；（2）对于周期数列{}n a 满足性质P ，证明思路：先逐步缩小精确n a 的取值可能，再检验判断.。
北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题含答案
海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A .i- B.1- C.3i - D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则=a （）A.1 B.1- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，所以()11202a ⨯--⨯=，解得1a =-.故选：B.4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A. B.4C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出MO .【详解】设()00,Mxy ，2008y x =，又因为024MF x =+=，所以2002,16x y ==，故MO ===故选：D.5.在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A.4B.2C.43D.23【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接,AC BD ，相交于点H ，则H 为正方形ABCD 的中心，故PH ⊥底面ABCD ，取CD 的中点Q ，连接,HQ PQ ，则,HQ CD PQ CD ⊥⊥，112HQ AD ==，故PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，故1PH HQ ==，所以该四棱锥的体积为21433AB PH ⨯⋅=.故选：C6.已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（）A.0mn =B.0-=m nC.0m n +=D.2230m n -=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =.【详解】因为圆22:210C x x y ++-=，圆心为()1,0C -，半径为r =CA CB ==因为ABC为直角三角形，所以2AB ==,设圆心()1,0C -到直线()10mx n y +-=的距离为d，d ==由弦长公式AB =1d =1=，化简得0mn =.故选：A.7.若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A.10B.eC.2D.54【答案】D 【解析】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数()xf x a =与直线y x =相交即可.【详解】对比选项可知我们只需要讨论1a >时，关于x 的方程log 0xa x a -=的解的情况，若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，因为()xf x a =与()log a g x x =互为反函数，所以()xf x a =与()log a g x x =的图像关于直线对称，如图所示：设函数()xf x a =与直线y x =相切，切点为()00,P x y ，()ln xf x a a '=，则有000ln 1xx a a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：0ex a =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图像可知，当(a ∈时，曲线()x f x a =与直线y x =有交点，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，即方程log 0xa x a -=有解.故选：D.8.已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A.{}n a 是递增数列B.{}n a 是递减数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列【答案】B 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和()111nn a q S q-=-,结合11na Sq<-恒成立，得出,a q 的取值范围，得到{}n a 是递减数列.【详解】{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和()111nn a q S q-=-,()1111111n n n a q a a S S q q q-<∴=<--- ，恒成立,101n a q q ⨯>-恒成立,若0q <，则n q 可能为正也可能为负，不成立所以10,01na q q>>-,当{}10,01,n a q a ><<是递减数列,当10,1,a q {}n a 是递减数列,故选:B .10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A. B.332C.922D.924【答案】D 【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，所以10928GHI θ'∠=≈ ,连接G I ,取其中点为O ，连接OH ,所以2224tan2GO OH θ===,由1BC =，且多边形ABCDEF为正六边形，所以2sin 60AC AB == ，由于GI AC =,所以=44OH =，故一个菱形的面积为163222244GHI S GI OH =⨯⨯⋅= =，因此上顶的面积为344⨯=，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】5-【解析】【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.【详解】51x x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()53521551C 1C rrrr rrr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令5312r-=得1r =，所以125C 5T x x =-⋅=-，x 的系数为5-.故答案为：5-.12.已知双曲线221x my -=30y -=,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于m 的方程,再结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得0m >，易知双曲线221x my -=，即2211y x m-=的渐近线方程为1,y m =13,m=得13,m =所以该双曲线的离心率11 2.c e a m==+=故答案为：2.13.已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】①.1-②.55755【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意()()()2,1,0,0,1,3A B C -，所以()()2,11,3231AB BC ⋅=-⋅=-=-，而直线AB 的表达式为12y x =-，即20x y +=所以点C 到直线AB 的距离为21235512d +⨯==+.故答案为：1-，55.14.已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n = 的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.【答案】①.1②.1（答案不唯一）【解析】【分析】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,根据题意可得123,,b b b .根据2132,b b b =+结合等差数列的通项公式,可得关于1,a d 的方程,解方程即可.【详解】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,则1,n n n S a a +=112223334,,.S a a S a a S a a ∴===又{}n a 是公差为d 的等差数列,11122212312233234233,2,2,b S a a b S S a a a a da b S S a a a a da ∴===-=-==-=-=2132,b b b =+ 即()()()21231111222,422,da a a da d a d a a d d a d ⨯=+∴+=+++整理得()110,a a d -=由题知110,.a a d >∴=故满足题意的一组1a ,d 的值为11a =,1d =.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）连接1AD ，由四棱柱性质可得11MAD C 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11ADD A ；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得1,,AD AB AA 三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】连接1AD ，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =,因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =，所以11C D AM ∥，11C D AM =,所以四边形11MAD C 为平行四边形，所以11MC AD ∥，因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ，【小问2详解】在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥⋂平面ABCD AB =；所以1AA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，即可得1AA AD ⊥，因为1AD B M ⊥，11,AA B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ，而AB ⊂平面11ABB A ，即AD AB ⊥；如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M .所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =.设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z =，则111020n C B x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则1y =-，2z =，于是()2,1,2n =-；因为111cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C所成角的正弦值为9.17.在ABC 中，2cos 2c A b a =-.（1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC的面积为；条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】17.π318.不能选①，选②或③，答案均为1【解析】【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线；选③，由余弦定理得到223a b ab +-=，设AC 边上的中线长为d ，再由余弦定理得到AC 边上的中线的长为1.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-.①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.②由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠.所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为即1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =222cos 2a b c C ab +-=，即2231162a b +-=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1sin sin 2B A -=.由（1）知，π33ππ2B A A ∠=--∠=-∠.所以2π1sin sin sin sin sin sin 322B A A A A A A⎛⎫-=--=+-⎪⎝⎭31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π3π6A -=，即π6A =.所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以32πsin sin 3AB AC C ===.所以AC 边上的中线的长为112AC =.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223122a b ab +-=，即223a b ab +-=.设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=.所以AC 边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.【答案】（1）310（2）分布列见解析，43（3）()()()213D Y D Y D Y >>【解析】【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
2025届北京交通大学附属中学数学高三上期末联考试题含解析
2025届北京交通大学附属中学数学高三上期末联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．012．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B．14C ．16D ．123．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞4．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A B ．35C ．79D ．56．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<7．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，8．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．149．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 10．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．311．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=12．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京专家2024年数学高三上期末统考试题含解析
北京专家2024年数学高三上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．162．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．834．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=5．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ） A 253B 153C ．154D 3536．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62568．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．569．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->10．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π11．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．912．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京海淀区高三(上)期末数学试题及答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
2024-2025学年北京交大附中高三(上)诊断数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年北京交大附中高三（上）诊断数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={x|−2≤x ≤2}，集合A ={x|−1≤x <2}，则∁U A =( )A. (−2,−1)B. [−2,−1]C. (−2,−1)∪{2}D. [−2,−1)∪{2}2.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20+2x 0+a ≤0是假命题，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)3.在△ABC 中，(a +c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C =( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.设a =20.3，b =sin28°，c =ln2，则( )A. c <b <aB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c 5.把函数y =sinx 的图象向左平移π3个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为( )A. y =sin(x 3+π3)B. y =sin(x 3+π9)C. y =sin (3x +π3)D. y =sin (3x +π9)6.函数f(x)=cos (x +a)+sin (x +b)，则( )A. 若a +b =0，则f(x)为奇函数B. 若a +b =π2，则f(x)为偶函数C. 若b−a =π2，则f(x)为偶函数D. 若a−b =π，则f(x)为奇函数7.已知函数f(x)=log 2x−x +1，则不等式f(x)<0的解集是( )A. (1,2)B. (−∞,1)∪(2,+∞)C. (0,2)D. (0,1)∪(2,+∞)8.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y 随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y =0.05+λe−t 10(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为( )(参考数据ln2≈0.693，ln3≈1.098)A. 5B. 7C. 9D. 109.若y =f(x)为定义在D 上的函数，且D 关于原点对称，则“存在x 0∈D ，使得[f(−x 0)]2≠[f(x 0)]2”是“函数y =f(x)为非奇非偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +S n +1=n 2，则下列四个结论中正确的个数是( )①a n +2−a n =2；②若a 1=0，则S 50=1225；③若a 1=1，则S 50=1224；④若数列{a n }是单调递增数列，则a 1的取值范围是(−14,14)．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∩B）＝（）A．{2，4，5，6}B．{4，6}C．{2，4，6}D．{2，5，6}2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数z1•z2的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．﹣3i D．﹣33．已知直线l1：x+y2=1，直线l2：2x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣44．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|＝4，O为坐标原点，则|OM|＝（）A．4√2B．4C．5D．2√55．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，二面角P﹣CD﹣A的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A．4B．2C．43D．236．已知⊙C：x2+2x+y2﹣1＝0，直线mx+n（y﹣1）＝0与⊙C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则（）A．mn＝0B．m﹣n＝0C．m+n＝0D．m2﹣3n2＝07．若关于x的方程log a x−a x=0(a＞0且a≠1)有实数解，则a的值可以为（）A．10B．e C．2D．5 48．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos（α1﹣α2）＞0”是“k1k2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，S n为其前n项和．若对任意的n∈N*，S n＜a11−q恒成立，则（）A ．{a n }是递增数列B ．{a n }是递减数列C ．{S n }是递增数列D ．{S n }是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设BC ＝1，∠GPI ＝∠IPK ＝∠KPG ＝θ≈109°28'，则上顶的面积为（ ）（参考数据：cosθ=−13，tan θ2=√2)A ．2√2B ．3√32C ．9√22D ．9√24二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市北京交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月诊断性练习数学试题
北京市北京交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月诊断性练习数学试题一、单选题1．已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（ ） A ．(2,1)--B ．[2,1]--C ．(2,1){2}--UD ．[2,1){2}--U2．已知命题p ：0x ∃∈R ，2020x x a ++≤是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞ C ．(),1-∞ D ．()1,+∞3．在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．设0.32,sin28,ln2a b c ===o ，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c <<D ．b a c <<5．把函数sin y x =的图象向左平移π3个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 13，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（ ） A ．πsin 33x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 39x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 39y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数 B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数 C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数7．已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（ ） A ．()0,1B ．()()0,11,+∞UC ．()(),12,-∞+∞UD ．()()0,12,⋃+∞8．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数100.05e(R)t y λλ-=+∈描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t （单位：分钟）的最小整数值为（ ） （参考数据ln 20.693,ln3 1.098≈≈） A ．5B ．7C ．9D ．109．若()y f x =为定义在D 上的函数，且D 关于原点对称，则“存在0x D ∈，使得()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤-≠⎣⎦⎣⎦”是“函数()y f x =为非奇非偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S S n ++=，则下列四个结论中正确的个数是（ ）①22n n a a +-=；②若10a =，则501225S =； ③若11a =，则501224S =；④若数列{}n a 是单调递增数列，则1a 的取值范围是11(,)44-.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 11．函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是. 12．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,2P -，则tan2α=． 13．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（π02ϕ<<）的部分图象如图所示.①函数()f x 的最小正周期为；②将函数()f x 的图象向右平移t （0t >）个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为奇函数，则t 的最小值是. 14．已知()2af x x x=+-,其中0a >.若()()0,,0x f x ∀∈+∞≥,则a 的取值范围是;若[]()1,2,2x f x ∃∈≥,则a 的取值范围是.15．已知函数()πsin 2f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，给出下列四个结论：①任意R a ∈，函数()f x 的最大值与最小值的差为2； ②存在R a ∈，使得对任意R x ∈，()()π2+-=f x f x a ；③当0a =时，存在()0,πT ∈，0R x ∈，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+； ④当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数cos ()sin sin cos x f x x x x=++22.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调递增区间.17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足21n n S a =-，*n ∈N .数列{}n b 是等差数列，且1124,10b a b b =-+=-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T ；(3)设1321n n C a a a -=⋅⋅⋅⋅，且4096n C =，求n . 18．在ABC V 中，sin cos 02Bb A a -=. (1)求B ∠；(2)若3b =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求a 及ABC V 的面积. 条件①：sin sin 2sin A C B +=；条件②：c 条件③：10ac =.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知函数32()1f x x x ax =++-.（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：直线y ax =-2327是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）写出a 的一个值，使得函数()f x 有三个不同零点（只需直接写出数值） 20．已知函数2()ln 1()f x mx x x m =-+∈R ．(1)当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若()0f x ≤在区间[1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围；(3)试比较ln 421．数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在n i a a d =+，[]1,1i n ∈-，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P . (1)若11a =，2=d ，求4a 可能的值；(2)数列{}n a 中不存在具有性质P 的项，求证：{}n a 是等差数列；(3)若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，使用a ，d ，c 表示12100a a a ++⋅⋅⋅+.。
2024届北京大学附属中学高三数学第一学期期末质量检测试题含解析
2024届北京大学附属中学高三数学第一学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．43．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）A ．514B ．314C ．328D ．5284．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12805．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或36．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π8．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,29．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．12．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。