(新)高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系课堂探究学案新人教A版选修4-41
(新)高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系导学案新人教A版选修4-41
一 平面直角坐标系庖丁巧解牛知识·巧学一,平面直角坐标系1.平面直角坐标系的建立在生产,生活或科技中有很多问题都是可以通过坐标系来分析解决的.解决问题的过程中,有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等.某地发生严重的地震灾害,各地群众纷纷捐款捐物,救灾物资分批到达.但是,有些地方因为环境很恶劣,物资不能直接送达,就派送一架飞机在1000米高的上空正对目的地以100千米/时的速度做水平飞行，那么飞机应在离目的地水平距离大约多少米处抛下救灾物资,使物资能落到目的地呢？物资落下的路线是一条抛物线.物资下落的过程可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.当将此抛物线放到一个合适的坐标系中解决时,就会很容易得到飞机应在离目的地水平距离400米处抛下这批救灾物资.2.求轨迹方程的一般步骤.(1)分析曲线的特征,揭示隐含条件;(2)找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件;(3)列出方程.方法点拨 求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.关键是数形结合，建立等量关系.二、平面直角坐标系中的伸缩变换以函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形成过程为例，研究在平面直角坐标系中伸缩变换作用下的图形的变化情况.函数y=sinωx,x∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持纵坐标不变，将x 轴进行压缩或伸长.函数y=Asinx,x∈R （其中A>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持横坐标不变，将y 轴进行压缩或伸长. 深化升华 正弦曲线经过这两种变换后，所得到图形的形状是完全相同的.平面直角坐标系中的伸缩变换只是从说法上有所不同，本质上是一样的.应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中的坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成了一个式子,即⎩⎨⎧>•='>•='.0,,0,μμλλy y x x 如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.设原坐标系为xOy ，平移后新坐标系为x′O′y′，新坐标系的坐标原点在原坐标系中的坐标是O′(h,k)，在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标，它们有如下平移公式⎩⎨⎧-='-='.,k y y h x x 在新旧坐标变换和方程变换时，可选择使用.问题·探究问题1 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？探究:建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为横轴，以端点或中点为原点,使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上. 直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件.如:已知动点P 与两定点A 、B 的距离的平方和为122，|AB|=10,求动点P 的轨迹方程.要使AB 在x 轴上，以AB 的中点为原点建立坐标系.再如:已知线段AB 的长为3，平面上一动点M 到定点A 的距离是到定点B 距离的两倍，求动点的轨迹方程.注意到动点M 运动到线段AB 上时，有|AM|=2|MB|，点M 恰为线段AB 的一个三等分点，故考虑以这个三等分点为坐标原点建立直角坐标系.再如:在相距1 400米的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？它是怎样建立直角坐标系的呢？以A 、B 两个哨所所在的直线为x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立直角坐标系.问题2 在伸缩变换下,椭圆能否变成圆?抛物线和双曲线能变成什么曲线?探究:圆锥曲线之间的图象关系.在一定的伸缩变换规律下椭圆能够变成圆,而双曲线与抛物线仍然是双曲线和抛物线.如:能把椭圆4)1(9)1(22-++y x =1变为中心在原点的单位圆吗? 先经过平移变换⎩⎨⎧-='+='.1,1y y x x 把椭圆变为4922y x '+'=1,再通过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='''='',2,3y y x x 把此椭圆 变为单位圆x″2+y″2=1.上述两种变换可合成一个变换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=''+='',21,31y y x x . 按照这个道理,按照变换⎩⎨⎧>•='>•='.0,,0,μμλλy y x x 对于双曲线和抛物线的方程,不管进行什么样的伸缩变换（当然,把图象伸缩的无限大,或者无限小的极限位置排除在外）之后,方程特点仍然没有变,抛物线方程的二次项和一次项都没有变,双曲线的两个二次项仍然是二次项,这两个二次项之间的减号也没有变;从另外一个角度来说,把它们的图象进行压缩时,图象特点是没有变的,压缩后的图象仍然是抛物线型和双曲线型的,所以它们的图象是没有变化的,仍然是双曲线和抛物线.典题·热题例1如图1-1-2，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图1-1-2思路分析：本题利用数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式PM=2PN ，即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO 12-1=2(PO 22-1)，设P(x ，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.图1-1-3解：如图1-1-3，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=PO 12-MO 12=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1.∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］， 即x 2-12x+y 2+3=0，即(x-6)2+y 2=33,这就是动点P 的轨迹方程.深化升华 在求轨迹方程时,首先能够建立一个适当的坐标系.同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式. 例2设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？思路分析：因为A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，可以先把其速度设出来.在这个问题中的关键是：路程之间的关系满足勾股定理，根据它可以建立一个关系式.解：如图1-1-4建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3v 千米/时，v 千米/时，再设出发x 0小时，在点P 改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇,图1-1-4则P 、Q 两点坐标为(3vx 0,0)，(0,vx 0+vy 0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3vx 0)2+(vx 0+vy 0)2=(3vy 0)2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0>0,∴5x 0=4y 0①.将①代入k PQ =0003x y x +-，得k PQ =43-.又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置.设直线y=43-x+b 与圆O:x 2+y 2=9相切，则有2243|4|+b =3.∴b=415. 答：A 、B 两人的相遇点在离村中心正北433千米处. 方法归纳 在实际问题中能够根据已知条件合理地建立坐标系是个很关键的问题.本题当中,注意到村落为圆形，且A 、B 两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为圆点，以开始时A 、B 的前进方向为x 、y 轴，建立直角坐标系. 例3已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=cosωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( ) A.21 B.2 C.3 D.31 思路解析：函数y=cosωx,x∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到. 答案：C误区警示 规律容易记错，认为函数y=cosωx,x∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标伸长（当ω>1时）或缩短（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到,这是错误的认识.例4在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换.思路分析：设变换为⎩⎨⎧>•='>•=').0(),0(μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得2λx -μy=4.与x-2y=2比较，将其变成2x-4y=4，比较系数得λ=1,μ=4.解：设⎩⎨⎧•='='.4,y y x x .直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′-y′=4.拓展延伸 求满足图象变换的伸缩变换，实际上是求其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可以了.若将已知条件换成:将直线2x-y=4变成x′-2y′=2,如何求满足图象变换的伸缩变换呢? 解：设变换为⎩⎨⎧>•='>•=').0(),0(μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得λx -2μy=2，与2x-y=4比较，将λx -2μy=2变成2λx -4μy=4，比较系数得λ=1,μ=41.。
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间直角坐标系
∴ ൞ 2 + ( − 2)2 + 2 = 8, 解得൞ = 2,
= 2 2,
2 + 2 + 2 = 12,
∴ (0,2,2 2).（不同的建系,坐标当然不同,这里主要介绍待定系数法求点坐标）
C级 学科素养创新练
11.如图,在长方体 − 1 1 1 1 中,,分别为1 1 ,1 1 的中点,若以{,,1 }
= (2,2,1), = (0,1,0).
B级 关键能力提升练
7.已知向量在基底{,,}下的坐标为(2,1, −1),则在基底{2,,−}下的坐标为
31
(
, ,−1)
(1,1,1)
________,在基底{
+ , − ,}下的坐标为________.
22
[解析]由题意知 = + − ,
2 (−2,1, −4).
（3）求点关于点(2, −1, −4)对称的点3 的坐标.
解设3 (, , ),则点为线段3 的中点,由中点坐标公式,可得 = 2 × 2 − (−2) = 6,
= 2 × (−1) − 1 = −3, = 2 × (−4) − 4 = −12,所以3 的坐标为(6, −3, −12).
∴ (−1, −1,0),(1, −1,0).又 = 2, = 2,
∴在Rt △ 中, = 2,∴ (0,0, 2).
（答案不唯一,也可选择其他的点建系）
6.已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为2,,分别为棱1 ,
的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
正六边形各顶点的坐标.
解正方体 − ′′′′的棱长为,且,,,,,分别是棱
′′,′′,′,,,′的中点,∴正六边形各顶点的坐
高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系课堂导学案新人教A版选修4_42017112126
一平面直角坐标系课堂导学三点剖析一、建立平面直角坐标系解决问题我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具,讨论轨迹非常方便.请看例1.【例1】两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹.解：如图.以AB所在直线为x轴,以AB中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),设动点P(x,y),由已知得|PA|2+|PB|2=26,即x2+y2=4.这即是点M的轨迹方程,是以AB的中点为圆心,2为半径的圆.温馨提示由此可见,建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了.各个击破类题演练 1已知A为定点,线段BC在定直线l上滑动,|BC|=4,点A到l的距离为3.求△ABC外心的轨迹方程.解:以l为x轴,过A与l垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A为(0,3),设△ABC的外心为P(x,y).因为P是BC的中垂线上的点,故B,C坐标分别为(x-2,0),(x+2,0).因P在线段AB 的中垂线上,故|PA|=|PB|,即22222-+,即x2-6y+5=0.=y)3(yx+变式提升 1证明三角形的三条高线交于一点.证明:如图,△ABC,则AD,BE,CO分别是△ABC的三条高,取边AB所在的直线为x轴,CO所在的直线为y轴,建立坐标系.设BE交AD于点H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c),则BH=(x-b,y),AH=(x+a,y),BC=(-b,c), AC=(a,c).∵⊥⇔·=0,即a(x-b)+cy=0,①∵BC⊥AH⇔BC·AH=0,故(-b)(x+a)+cy=0,②①-②得(a+b)x=0.∵a+b≠0,∴x=0.∴H 在AB 的高线上,即△ABC 三条高线交于一点.二、坐标变换问题【例2】 在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 4,21后的图形.①y 2=2x;②y=3sin2x.解:由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 4,21得⎪⎩⎪⎨⎧'='=.41,2y y x x y′.(*) ①将(*)代入y 2=2x,得(41y′)2=2·(2x′). ∴y′2=64x′.∴经过伸缩变换后抛物线y 2=2x 变成了抛物线y′2=64x′.②将(*)代入y=3sin2x,得41y′=3sin2·(2x′), ∴y′=12sin4x′.∴经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x 变成了曲线y′=12sin4x′.类题演练 2将曲线C 按伸缩变换公式⎩⎨⎧='='yy x x 3,2变换后的曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线C 的方程为( ) A.9422y x +=1 B.4922y x +=1 C.4x 2+9y 2=36 D.4x 2+9y 2=1解析:将⎩⎨⎧='='yy x x 3,2代入方程x′2+y′2=1,得4x 2+9y 2=1.故选D.答案:D变式提升 2已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=cos ωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍(纵坐标不变)而得到的,则ω为( ) A.21 B.2 C.3 D.31 解析:f 1(x)=cosx→f 2(x)=cos3x.∴ω=3,选C.答案:C三、利用直角坐标系解决应用题【例3】 某河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m 时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后木船露在水面上的部分高为43 m,问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?解：以水平面与拱的截面的交线为x 轴,以该交线的中点为原点建立平面直角坐标系,如图.由题意,点A(-4,0),B(4,0),C(0,5).则可设抛物线为y=ax 2+c.∴把A,C 代入得16a+c=0且c=5. ∴a=165-.∴y=165-x 2+5. 当船沿拱的中心方向通过时,D 为(-2,0),代入得 y=165-·4+5=415, 即拱到水平面的高为415 m. 又船高2 m,∴水面上涨的余地为415-2=47,若保证船通过,则水平面涨到与拱顶相距413 m 时,船开始不能通航,其中413=5-47. 类题演练 3某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102千克,时间单位：天）解:(1)由题图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t由题图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t ,当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=2001-(t-50)2+100, 所以当t=50时,h(t)取得区间［0,200］上的最大值100; 当200<t≤300时,配方整理得h(t)=2001-(t-350)2+100. 所以当t=300时,h(t)取得区间（200,300］上的最大值87.5.综上,由100>87.5可知,h(t)在区间［0,300］上可以取得最大值100,此时t=50,即从2月1日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.1平面直角坐标系》导学案
新课标人教A版选修4-4 第一讲坐标系导学案§4.1.1—第一课平面直角坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、(温故而知新1．到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且，求顶点C的轨迹方程.(重点、难点都在这里【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）练一练：3．有三个信号检测中心A、B、C，A位于B的正东，相距6千米，C在B的北偏西300，相距4千米.在A测得一信号，4秒后B、C同时测得同一信号.试求信号源P相对于信号A的位置（假设信号传播速度为1千米/秒）.【问题2】：已知⊿ABC的三边满足，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.三、(懂了，不等于会了4．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹.5．求直线与曲线的交点坐标.6．求证：三角形的三条高线交于一点.平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。
【典型例题】在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
将直线变成直线，分析：设变换为可将其代入第二个方程，得，与比较，将其变成比较系数得【解】(1)，直线图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线。
高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系互动课堂学
一平面直角坐标系互动课堂重难突破本课时的重点是坐标法思想与坐标伸缩变换,难点是怎样建立适当的坐标系及注意问题,对坐标伸缩变换的理解与应用一、坐标法思想1.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.2.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.3.“坐标法”应贯穿解析几何教学的始终，帮助同学们不断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.在通过代数方法研究几何对象的位置以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系.4.平面直角坐标系是解析几何的基础,同学们应在已有知识的基础上做好自我完善,从解决问题中提高学习兴趣,激发学习的积极性和主动性,养成不断探求知识、完善自我的良好个性品质.进一步理解平面直角坐标系在对实际问题的解决中的重要作用,会用平面直角坐标系解决实际问题.二、用数学知识和方法解决实际问题1.教材中从实际问题引入数学方法，逐步把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法加以解决.如：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，此时还不能确定爆炸点的准确位置.再增设一个观测点C，利用B、C两处测得的爆炸声的时间相同，可以求出一条直线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.2.存在的问题:把实际问题归结为数学模型是需要一定功底的，而我们普遍存在着一些问题：(1)不喜欢应用性问题中烦琐的文字叙述，不愿读下去，勉强读完也弄不清题意;(2)学过的概念、公式、方法到解题时用不上，找不到数学关系式，思路不清，容易混淆;(3)平时学习中对应用性问题接触太少，所以学习感到困难，不知如何下手，也不愿多做，导致心理上不愿学等等我们应注意运用数学方法、思想、观点去观察和分析各种实际问题，从中抽象出数学知识和数学规律，建立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理.3.要善于在普通语言中寻找数量关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数量关系表示出来.4.化实际问题为数学模型，一方面要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，另一方面在学习数学理论的过程中，要仔细体会和寻求这些理论对解决实际问题的指导作用，努力把它应用于现实世界，以解决人们迫切需要解决的实际问题三、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换1.设点P(x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧>='>='0,,0,μμλλy y x x 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ＇(x ＇,y ＇),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.3.坐标伸缩变换与我们前面学的坐标变换之间的关系两者都是将平面图形进行伸缩平移的变换.实质是一样的.比如正弦曲线经过这两种变换后，所得图形的形状是没有改变的.在一定的变换规律下椭圆能够变成椭圆，也能够变成圆.只是说法上和认识上的一点不同我们结合函数y =A sin(ωx +φ)的图象的形成过程(与y =A cos(ωx +φ)相类似)，看看在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况吧.函数y =sin ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持纵坐标不变，将x 轴进行压缩或伸长函数y =A sin x ,x ∈R （其中A >0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持横坐标不变，将y 轴进行压缩或伸长 由此看出，两者只是说法上的不同，本质上是一样的另外，我们应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了,即⎩⎨⎧>='>='.0,,0,μμλλy y x x 我们在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧.P ＇(x ＇,y ＇)是变换图形后的点的坐标，P (x ,y )是变换前图形的点的坐标.活学巧用【例1】 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？探究:一般情况下我们有这样一个建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为对称轴，以端点或中点为原点直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”.这一步内容中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明.【例2】 (2005江苏高考) 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =2PN ,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解析:本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立适当坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM =2PN ，即(PM )2=2(PN )2，结合图形,由勾股定理转化为PO 12-1=2(PO 22-1)，设P (x ，y ),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得解:如图,以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P (x ,y )，则PM 2=PO 12-MO 12=(x +2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x -2)2+y 2-∵PM =2PN ，即(x +2)2+y 2-1=2［(x -2)2+y 2-1］，即x 2-12x +y 2+3=0，即(x -6)2+y 2=33. 这就是动点P 的轨迹方程点评:这道高考题是考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.【例3】 (1)在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 4,21后的图形.①y 2=2x ;②y =3sin2x .(2)将曲线C 按伸缩变换公式⎩⎨⎧='='yy x x 3,2变换后的曲线方程为x ＇2+y ＇2=1,则曲线C 的方程为(A.19422=+y xB.14922=+y x C.4x 2+9y 2=36D.4x 2+9y 2=1 解:(1)由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧'='=⎪⎩⎪⎨⎧='='.41,2,4,21y y x x y y x x 得 (*) ①将(*)代入y 2=2x ,得(41y ＇)2=2·(2x ＇). ∴y ＇2=64x ＇.∴经过伸缩变换后抛物线y 2=2x 变成了抛物线y ＇2=64x ＇.②将(*)代入y =3sin2x ,得41y ＇=3sin2·(2x＇∴y ＇=12sin4x ＇.∴经过伸缩变换后,曲线y =3sin2x 变成了曲线y ＇=12sin4x ＇(2)将⎩⎨⎧='='y y x x 3,2代入方程x ＇2+y ＇2=1,得4x 2+9y2故选D.【例4】 在同一平面直角坐标系中，将直线x -2y =2变成直线2x ＇-y ＇=4，求满足图象变换的伸缩变换.解:设变换为⎩⎨⎧>='>='.0,,0,μμλλy y x x 代入方程2x ＇-y ＇=4,得2λx -μy =4,与x -2y =2比较系数得λ=1,μ=4.∴⎩⎨⎧='=',4,y y x x 即直线x -2y =2上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的4倍可得到直线2x ＇-y ＇点评:(1)求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了.(2)原曲线的方程f(x ,y )=0,新曲线的方程g(x ＇,y ＇)=0,以及坐标伸缩变换公式⎩⎨⎧>='>='0,,0,μμλλy y x x 中,“知二可求一”. 【例5】 已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为(A.21 B.2C.3D.31 解析一:f 1(x )=cos x →f 2(x )=cos3x解析二:⎩⎨⎧'='=∴⎪⎩⎪⎨⎧='='.,3,,31y y x x y y x x 将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x .答案:C点评:本题直接考查变换规律：函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错.。
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
人教课标版高中数学选修4-4第一讲-坐标系一-平面直角坐标系教案
人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系一 平面直角坐标系教案考纲要求 备考指津1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．考点一 平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴(或横轴)，竖直的数轴叫y 轴(或纵轴)，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限． 2．各象限内点的坐标特征点P (x ，y )在第一象限x ＞0，y ＞0；点P (x ，y )在第二象限x ＜0，y ＞0；点P (x ，y )在第三象限x ＜0，y ＜0； 点P (x ，y )在第四象限x ＞0，y ＜0.3．坐标轴上的点的坐标的特征 点P (x ，y )在x 轴上y ＝0，x 为任意实数； 点P (x ，y )在y 轴上x ＝0，y 为任意实数；点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.考点二 特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同；平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同．3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．考点三 距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离(1)点P (a ，b )到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即|b |；点P (a ，b )到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即|a |.(2)点P (a ，b )到原点的距离等于点P 的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即a 2＋b 2.2．坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝x12＋y12.考点四函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．4．函数图象的画法(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．考点五函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．1．在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为()．A．(2,3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)3．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为__________．4．函数y＝1x－2的自变量x的取值范围是__________．5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间内，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是()．6．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s.起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y (m)与时间t (s)的函数图象是( )．一、平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】 在平面直角坐标系中，若点(2x ＋1，x －2)在第四象限，则x 的取值范围是( )．A ．x ＞－12B ．x ＜2C ．x ＜－12或x ＞2D ．－12＜x ＜2 解析：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －2<0，解得－12＜x ＜2. 答案：D掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法．在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n |)一定在( )．A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限二、距离与点坐标的关系【例2】 如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为(2，－1)，则△ABC 的面积为__________平方单位．解析：利用数轴得出B 点坐标为(4,3)，C 点坐标为(1,2)，然后利用割补法，结合点的坐标与距离的关系求出△ABC 的面积．答案：5图形的割补法是解决有关图形面积的常用方法，需要同学们在解题时合理地利用图形进行巧妙分割，此类题型的解法往往不唯一．三、函数图象的应用【例3】 如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．答案：C利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．四、函数自变量取值范围的确定【例4】 函数y ＝x ＋2x －2的自变量x 的取值范围是( )． A ．x ≥－2且x ≠2 B ．x ＞－2且x ≠2 C ．x ＝±2 D ．全体实数解析：要使函数有意义，必须同时满足二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，解得x ≥－2且x ≠2. 答案：A求函数自变量的取值范围，往往通过解不等式或不等式组来确定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础，同时要学会这种转化的思想方法．1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P (－3,5)关于y 轴的对称点的坐标为( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为s ，下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( )．3．(2011广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(4,0)，点B 的纵坐标是－1，则顶点A 的坐标是( )．A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2,1)4．(2011内蒙古呼和浩特)函数y ＝1x ＋3中，自变量x 的取值范围为__________． 5．(2011江苏盐城)有六个学生分成甲、乙两组(每组三个人)，分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60 km 的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12 km 处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12 km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度分别保持不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s (千米)与汽车行驶时间t (分钟)之间的函数关系如图所示，假设学生上下车时间忽略不计．(1)汽车载人时的速度为__________km/min ；第一批学生到达博物馆用了__________分钟．(2)求汽车在回头接第二批学生途中(即空载时)的速度．(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04 km ，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．1．如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( )．A ．(5,2)B ．(－6,3)C ．(－4，－6)D ．(3，－4)2．若点P (a ，a －b )在第四象限，则点Q (b ，－a )在( )．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．如图是中国象棋棋盘的一部分，若在点(1，－1)上，在点(3，－1)上，则的坐标是( )．A．(－1,1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－2,2)4．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()．5．点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是__________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是__________．6．已知一条直线l平行于x轴，P1(－2,3)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，且P1，P2的距离为4，则P2的坐标为__________．7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(3,4)，求顶点B的坐标．9．在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.A 3.(3，－2) 4.x ≠2 5.C 6.C规律方法探究变式训练 A 知能优化训练中考回顾1．B 2.B 3.D 4.x ＞－35．(1)1.2 50 (2)1.8 km/min(3)解：能够合理安排．方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟． 理由：设从故障点开始第一批学生乘车t 1分钟，汽车回头时间为t 2分钟，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1.2t 1＋0.2(t 1＋t 2)＝48，0.2(t 1＋t 2)＋1.8t ＝1.2t 1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝32，t 2＝16. 从出发到达博物馆的总时间为：10＋2×32＋16＝90(分钟)，即时间可提前100－90＝10(分钟)．模拟预测1．D 2.A 3.D 4.C 5．(1，－2) (－1，－2) 6.(2,3)或(－6,3)7．y ＝152x (0＜x ＜10) 8．(8,4) 9．解：(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A ′B ′C ′(或先平移再旋转也可)．(2)D (0，－2)，E (－4，－4)，F (2，－3)．S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.。
高中数学 第一章 坐标系 第1节 平面直角坐标系教学案 新人教A版选修44
第1节 平面直角坐标系[核心必知]1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．已知Rt △ABC ，|AB |＝2a (a >0)，求直角顶点C 的轨迹方程．[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A (－a ，0)，B (a ，0)，设顶点C (x ，y )．法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，即(2a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝a 2.依题意可知，x ≠±a .故所求直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．法二：由△ABC 是直角三角形可知AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，则yx ＋a ·yx －a＝－1(x ≠±a )，化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．法三：由△ABC 是直角三角形可知|OC |＝|OB |，且点C 与点B 不重合，所以x 2＋y 2＝a (x ≠±a )，化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．——————————————————求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2，|MC|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝x2＋（y＋2）2，∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]＝[x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：|BD |＝|2ah |a 2＋h2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2，∴|BD |＝|CE |， 即BD ＝CE . ——————————————————(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c2)，∴AD 2＋BD 2＝（a ＋b ）24＋c 24＋（a －b ）24＋c24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2.∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x，y ′＝12y后的图形是什么形状？(1)y 2＝2x ；(2)x 2＋y 2＝1.[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1，得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1，即x ′219＋y ′214＝1，即伸缩变换之后的图形为焦点在y 轴上的椭圆． ——————————————————利用坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x ′，y ′的曲线方程．3．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．解：设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .代入x ′2－y ′2＝1得(x3)2－(y2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．[考题印证](湖北高考改编)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法． [解]如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．一、选择题1．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cosx ′2B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 2．直线2x ＋3y ＝0经伸缩变换后变为x ′＋y ′＝0，则该伸缩变换为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y解析：选B 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0）y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′＋y ′＝0，得，λx ＋μy ＝0.又∵2x ＋3y ＝0，∴λ＝2，μ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y . 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．将点P (2，3)变换为点P ′(1，1)的一个伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx （h >0）y ′＝kx （k >0），由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝12，k ＝13∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y 3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y36．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝log 3x 得y ′＝log 312x ′，即y ＝log 3x2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x ′2＋y ′216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ.代入x 2＋y 2＝16得x ′216λ2＋y ′216μ2＝1.∴16λ2＝1，16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y8．已知A (2，－1)，B (－1，1)，O 为坐标原点，动点M ，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1，1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 (x －42)2－9y 2＝1.①x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．10．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |，|PB |，|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程．解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P (x ，y )，B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，3a )，(y >0，a >0)用点的坐标表11 示等式|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2， 化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)． 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)∴e ＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13， ∴b 2a 2＝23. 又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1＝ 2. ∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N (0，t 2)． 设M (x ，y )，由于MN ―→＝(－x ，t2－y )， PF 1―→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN ―→·PF 1―→＝2x ＋t （y －t 2）＝0y ＝t，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
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一 平面直角坐标系
课堂探究
探究一 用平面直角坐标系解决实际问题
解决此类问题的关键是：如何建立平面直角坐标系，将几何位置量化，通过有关距离的知识求解．另外，我们还要注意数形结合的思想方法的应用．
【例题1】已知B 村庄位于A 村庄的正西方向1 km 处，原计划在经过B 村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l ，但在A 村庄的西北方向400 m 处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问，埋设地下管线l 的计划需要修改吗？
思路分析：解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线l 的相对位置，如图以A 为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要求出点W 到直线l 的距离，则问题即可解决．
解：以A 为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,0)，B (－1 000,0)．由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)． 由直线l 过点B 且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0.
于是，点W 到直线l 的距离为
d ＝|－2002－2006＋1 000|1＋(3)2 ＝1 000－2002－20062
＝500－100(2＋6)≈114＞100，
所以埋设地下管线l 的计划不需要修改．
点评 合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确．
探究二 平面直角坐标系下的轨迹问题
在解决能够判断曲线类型的问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决．
【例题2】如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．
思路分析：由曲线C 上的点M 满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从而可以用待定系数法来求其方程．
解：以O 为坐标原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系(坐标系略)，
则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，
依题意得
||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝(6＋2)－(6－2)＝22＜|AB |＝4.
所以曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线．
设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，
则c ＝2,2a ＝22，所以a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.
故曲线C 的方程为x 22－y 22
＝1. 探究三 平面直角坐标系下的伸缩变换
求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可求解．
【例题3】在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
思路分析：设出伸缩变换，代入2x ′－y ′＝4中，与x －2y ＝2比较．
解：设满足条件的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，将其代入第二个方程，得2λx －
μy ＝4，与x －2y ＝2比较，将其变成2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y .
直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍即可得到直线2x ′－y ′＝4.
探究四 易错辨析
易错点：混淆原曲线上的点和所求曲线的点
【例题4】在平面直角坐标系中，求方程x ＋y ＋2＝0所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝4y 后的图形．
错解：直线x ＋8y ＋4＝0.
错因分析：点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原曲线的方程，点(x ′，y ′)的坐标适合变换后的曲线方程．错解混淆了(x ，y )和(x ′，y ′)的含义．
正解：由坐标伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝14y ′.
代入x ＋y ＋2＝0，得2x ′＋14
y ′＋2＝0， 所以8x ′＋y ′＋8＝0.
故经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝4y 后，直线x ＋y ＋2＝0变成直线8x ′＋y ′＋8＝0.。