矩阵方程AXA T+BYB T=C的亚正定解

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正定超定适定方程求解

正定超定适定方程求解正定超定适定方程是指在已知方程系数矩阵为对称正定且列满秩的条件下，求解超定方程组的问题。

解决正定超定适定方程组的方法有多种，如最小二乘法、QR分解法、Cholesky分解法等。

最小二乘法（Least Square Method）是求解超定方程组常用的方法之一。

该方法通过最小化方程组的残差平方和来求得近似解。

设超定方程组为Ax=b，其中A为一个m×n（m>n）的矩阵，x为未知向量，b为已知向量。

我们希望求出一个近似解x'，使得||Ax'-b||^2取得最小值，其中||.||表示向量的二范数。

最小二乘法的基本思想是，通过构造目标函数f(x)=||Ax-b||^2，对f(x)进行求导，令其导数为零，求得近似解的解析表达式。

具体推导过程如下：目标函数为f(x)=||Ax-b||^2=(Ax-b)^T(Ax-b)=x^TA^TAx-2b^TAx+b^Tb对x求导，令导数为零，即（A^TA）x=A^Tb因为矩阵A的列满秩，所以A^TA是一个正定矩阵，可以通过Cholesky分解或QR分解求解线性方程组(A^TA)x=A^Tb，得到最小二乘解x'。

QR分解是另一种常用的求解正定超定适定方程组的方法。

QR 分解将系数矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，即A=QR。

将原方程组Ax=b两边同时左乘Q^T，得到R^Tx=Q^Tb。

由于R是一个上三角矩阵，通过回代求解可以得到近似解x'。

Cholesky分解是一种特殊的QR分解。

对于正定矩阵A，它可以分解为A=LL^T，其中L是一个下三角矩阵。

将原方程组Ax=b两边同时左乘L^(-1)，得到L^(-T)L^(-1)x=L^(-T)b。

令L^(-T)L^(-1)=R，可以得到Rx=L^(-T)b。

由于R是一个上三角矩阵，通过回代求解可以得到近似解x'。

除此之外，还有其他一些求解正定超定适定方程组的方法，如LU分解、求广义逆等。

亚正定矩阵的判定方法

亚正定矩阵的判定方法X 贾正华(安徽巢湖师专数学系,巢湖,238000)中图分类号 O 151文[1]~[3]给出了亚正定矩阵的理论及有关性质,本文给出亚正定矩阵的一个判定方法.定理1[1] A 为n 阶实方阵,则下列诸结论等价:(1)A 亚正定.(2)A +A c 正定.(3)对任意实n 元非零列向量X ,都有X c A X >0.(4)A 可逆且A -1亚正定.(5)对任意正实数k ,k A 亚正定.(6)对任意反对称实阵S ,A +S 亚正定.(7)对任意n 阶可逆实方阵P ,P c A P 亚正定.(8)A 的任何主子阵均为亚正定阵.定理2 (亚正定矩阵的必要条件)A 为亚正定矩阵,则(1)[4]A 的各阶主子式大于0.(2)[1]A 的任一特征根的实部大于0.引理1 K 1,K 2,,,K n 为一组实数,若对任意正实数E 1,E 2,,,E n ,都有E n i=1K i E i >0,K i >0,i =1,2,,,n.引理1用数学归纳法不难验证.引理2 设A 为n 阶实对称方阵,则A 正定的充要条件为对任意n 阶正定方阵B ,都有Tr (AB)>0.证明设K 1,K 2,,,K n 为A 的特征根,则存在正交矩阵Q ,使得Q c A Q =diag [K 1,K 2,,,K n ],所以Q c ABQ =Q c A QQ c BQ =diag [K 1,K 2,,,K n ]#Q cBQ.设Q c B Q 的对角线元素为C 11,C 22,,,C nn ,则Q c AB Q 的对角线元素为K 1C 11,K 2C 22,,,K n C nn ,所以T r (AB )=Tr (Q cABQ )=E n i=1Ki C ii .若A ,B 均正定,则K i >0,C ii >0,i =1,2,,,n ,则Tr (AB )>0.反之,对任意正定矩阵B ,当然可取得Q c BQ =diag [E 1,E 2,,,E n ]使E 1,E 2,,,E n 为一组任意正实数,所以Q c ABQ =diag [K 1E 1,K 2E 2,,,K n E n ], Tr (AB )=E ni =1K i E i .由Tr (AB )>0及引理1]K i >0i =1,2,,,n.故A 正定.定理3 A 为n 阶实方阵,A 亚正定当且仅当对任意n 阶正定矩阵B 都有Tr (AB )>0.证明因为(A +A c )B =AB +A c B =AB +(BA )c ,当A 亚正定时,A +A c 正定,由引理2得X 收稿日期:1997-10-291998年12月第27卷第4期内蒙古师大学报自然科学(汉文)版Journal of Inner M ong olia No rmal U niversity (Natur al Science Edition)Vol.27No.4Dec.19982Tr (AB )=Tr (AB )+Tr [(AB )c ]=T r (AB )+T r [(BA )c ]=Tr [AB +(BA )c ]=T r [(A +A c )B ]>0.故Tr (AB )>0.反之,若Tr (A B)>0,则Tr [(A +A c )B ]>0,由引理2]A +A c 正定,故A 亚正定.定理4 A 为n 阶实方阵,n 为偶数,A *为A 的伴随矩阵,则A 亚正定当且仅当A *为亚正定阵.证明因为A #A *=A #I n (I n 为n 阶单位阵),若A 亚正定,由定理1及定理2推出A >0,且A-1亚正定.所以A *=A #A -1,由定理1知A *为亚正定阵.反之,若A *亚正定,由定理1](A *)-1亚正定,且A *>0,又A *=A n-1而n 为偶数]A >0.所以A =A #(A *)-1由定理1]A 为亚正定矩阵.推论 A 为实方阵,A 亚正定则A *也然.引理3[6] A ,B 为同阶的实方阵,A 正定,B (半)正定,A ,B 可交换,则AB 为正定阵(半正定阵).定理5 A ,B 为同阶实方阵,A 正定,B 亚正定(亚半正定),A ,B 可交换,则AB 为亚正定阵(亚半正定阵).证明 AB +(AB )c =A B +B c A c =BA +B c A =(B +B c )A.又 B c A =B c A c =(AB )c =(BA )c =A c B c =AB c ,所以 A (B +B c )=AB +AB c =AB +B c A =BA +B c A =(B +B c )A .因为A 正定,B 亚正定,由定理1及引理3知,(B +B c )A 正定,所以AB +(AB )c 正定,AB 亚正定.参考文献1 屠伯埙.亚正定理论(Ñ).数学学报,1990,33(4):462~4712 屠伯埙.亚正定理论(Ò).数学学报,1991,34(1):91~1023 李月芬.亚正定矩阵的几个性质.内蒙古师大学报(自然科学汉文版),1992,2:13~154 贾正华.从正定矩阵判定定理所想到的.数学学报,1995,11:40~415 屠伯埙.线性代数方法导引.上海:复旦大学出版社,19866 屠伯埙.高等数学.上海:复旦大学出版社,1990SOM E DET ERM IN IN G M ETHO DS ONQ U ASI-POSIT IVE DEFIN IT E M AT RICESJia Zhenghua(D ep ar tment of M athematics ,A nhui Chaohu T eacher p s College,238000,Chaohu,PRC)Abstract We show some determining methods on quas-i positive definite m atrices.Key words quas-i positive definite matrix ,positive definite matrix #268# 内蒙古师大学报自然科学(汉文)版第27卷。

矩阵方程AXA T+BYB T=C的亚半正定解

－
（３）
０
０
Ｊ
０ｍ
一
ｒ
０
ｒ—
０
，一ｎ
一
矗
矗一
点一ｒｎｋ（，ａＡＢ），
ｒｒｎＡ，Ａｌｄａａｌａ２ … ， — ａｋ — ｉｇ（，，ａ），Ａ２ｄａｂｂ … ，一ｉｇ（ｌ，２，ｂ），
且
１ｎ ≥ Ⅱ ≥ … ≥ Ⅱ ＞０，０６ ≤ ６ ≤ … ≤ ６＜１， Ⅱ ＞１２＜１２＋ｂ一１（一１２，，．ｉ， … ）
而令矩阵
ＣｌＣｌＣ１Ｃ１１２３４Ｇ一０Ｇ一Ｃ２ｊＣ２Ｃ３Ｃ２２２
（４）
Ｇ１ｃ｛Ｇ３Ｃ３２
Ｃ１ＧＣ３Ｃ｜２｜｜
关于Ｘ，的矩阵方程ｌ，
ＡＸＡ＋ＢＹＢ一Ｃ（）１
的研究已有很多工作，［］［］文１＇２研究了矩阵方程（）１的对称解，３研究了（）［］１的对称正定解．文考虑本
矩阵方程（）１的亚半正定解，论了方程有解的充要条件，在有解时给出了解的一般表达式．讨并先给出几个有用的引理．引理１３矩阵Ａ∈ ＿ｌ ” 的充要条件是Ｓ（ ∈Ｓ墨 ” Ａ）．
维普资讯
第２３卷第６期
２００７年１２月
大学数学
Ｃ（ＩＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩ）ＭＣＳ
Ｖｏ．３。．１２ № ６

专题30代数中的新定义问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(学生版)

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题30代数中的新定义问题【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A ＝（t 1，t 2，…t n ），其中，t 1，t 2，…，t n 都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（n ≥2且n 为整数）．例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，x *y ＝（x +y ）﹣|x ﹣y |，新运算2：对于任意两个n 元完美数组M ＝（x 1，x 2，…，x n ）和N ＝（y 1，y 2，…，y n ），M ⊗N =12（x 1*y 1+x 2*y 2+…+x n *y n ），例如：对于3元完美数组M ＝（1，1，1）和N ＝（0，0，1），有M ⊗N =12（0+0+2）＝1．（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有：；（2）设A ＝（1，0，1），B ＝（1，1，1），则A ⊗B ＝；（3）已知完美数组M ＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N ，使得M ⊗N ＝2；（4）现有m 个不同的2022元完美数组，m 是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ，D 满足C ⊗D ＝0；则m 的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．【例3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x ，y 定义一种新运算T ，规定T （x ，y ）=ax 2+by 2x+y （其中a ，b 是非零常数，且x +y ≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T （3，1）=a×32+b×123+1=9a+b 3+1，T （m ，﹣2）=am 2+4b m−2．（1）填空：T （4，﹣1）＝（用含a ，b 的代数式表示）；（2）若T （﹣2，0）＝﹣2，且T （5，﹣1）＝6．①求a 与b 的值；②若T （3m ﹣10，﹣3m ）＝T （﹣3m ，3m ﹣10），求m 的值．【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点．（1）判断函数y ＝2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）． ①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y ＝ax 2+6x +c +14（a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（13，13）是函数y ＝x 图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y =2x 图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y =1x 图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m 可以被9整除，且m 的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m 为“够二数”；将m 的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m '，F(m)=m−m′+1818999，例如：m ＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，F(8424)=8424−4248+1818999=6．（1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F （m ）的值；（2）若一个四位正整数n =abcd 是“够二数”，且c F(n)为5的倍数，请求出所有的“够二数”n 的值．2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m ，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“倍和数”、例如：m ＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；m ＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．（2）当一个“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m 的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T （m ），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R （m ），令G （m ）=T(m)R(m)，当G （m ）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m ．3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．材料二：一个四位数N =abcd 满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数ab ，以及十位数字与个位数字组成的两位数cd 均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若p =ac −bd ，q =ad −bc ，则记F （N ）＝q ﹣p ．（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；（2）若s ，t 都是“双巧数”，其中s ＝3010+100x +10y +z ，t ＝1100m +400+10n +2r ，（1≤x ，z ，n ≤9，1≤y ≤8，1≤m ≤5，1≤r ≤4，且x ，y ，z ，m ，n ，r 均为整数），规定K （s ，t ）=F(s)F(t)，当F （s ）+F （t ）＝12时，求K （s ，t ）的最大值．4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“和谐数”．例如：m ＝7431，满足1+3＝4，2×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m ＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；（2）若m 是“和谐数”，且m 与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m ．5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x 、y ，有L （x ，y ）＝ax +by （其中a ，b 均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为L （x ，y ），其中x ，y 叫做线性数的一个数对，若实数x ，y 都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若L （x ，y ）＝2x +7y ，则L （3，﹣2）＝，L （32，−12）＝；（2）已知L （5，13）=503，L （2，25）＝8． ①若L （m ﹣1，m +2）为正格线性数，求满足66＜L （m ﹣1，m +2）＜99的正格数对有哪些？②若正格线性数L （x ，y ）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x 定义一种新运算E ，规定E （x ）＝（ax +2）（2bx ﹣3），其中a ，b 是非零常数．如：当a ＝1，b ＝1时，E （x ）＝（x +2）（2x ﹣3）＝2x 2+x ﹣6．（1）当a ，b 满足(a −12)2+|b +6|=0时，计算E （x ）；（2）已知E(2−3x)=32x 2−2x −163，请求出a b 的值；（3）若当a ＝3，b ＝2时，关于x 的不等式组{E(x)−2x(6x +3)≤2k 4E(2+x)−E(2x −1)＜228恰好有5个整数解，求k 的取值范围．7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a 、b ，定义T （a ，b ）的含义为，当a ＜b 时T （a ，b ）＝a +b ；当a ≥b 时，T （a ，b ）＝a ﹣b ．例如：T （1，3）＝1+3＝4，T （2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；根据以上材料，回答下列问题：（1）若T （m 2+1，﹣1）＝6，则m ＝；（2）已知x +y ＝8，且x ＞y ，求T （4，x ）﹣T （4，y ）的值．8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x ﹣1＝3和x +1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是否互为“美好方程”；（2）若关于x 的方程x2+m ＝0与方程3x ﹣2＝x +4是“美好方程”，求m 的值；（3）若关于x 方程12022x ﹣1＝0与12022x +1＝3x +k 是“美好方程”，求关于y 的方程12022（y +2）+1＝3y +k +6的解．9．（2022春•岳麓区校级期末）对a ，b 定义一种新运算T ，规定：T （a ，b ）＝（2a ﹣b ）（ax﹣by ）（其中x ，y 均为非零实数）．例如：T （1，1）＝x ﹣y ．（1）已知关于x ，y 的方程组{T(1，3)=a +3T(2，0)=8a，若a ≤﹣1，求2x ﹣y 的取值范围；（2）在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A （x ，y ）落在坐标轴上，将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O 'A '，坐标轴上有一点B 满足三角形BOA '的面积为15，请直接写出点B 的坐标．10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x ，y 的二元一次方程ax +by ＝c ，若满足a +b ＝c ，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程2x +3y ＝5，其中a ＝2，b ＝3，c ＝5，满足a +b ＝c ，则方程2x +3y ＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，（1）判断方程3x +5y ＝8 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；（2）若关于x ，y 的二元一次方程kx +（k ﹣1）y ＝9是“幸福”方程，求k 的值；（3）若{x =p y =q 是关于x ，y 的“幸福”方程组{mx +(m +1)y =n −1mx +2my =n的解，求4p +7q 的值．11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y ＝x +1，其“青一点”为（1，2）．（1）①判断：函数y ＝2x +3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y =8x 的图象上的青一点是；（2）若抛物线y =(m −1)x 2+mx +14m 上有两个“青一点”，求m 的取值范围；（3）若函数y =x 2+(m −k +2)x +n 4−k 2的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m ≤3时，n 的最小值为k ，求k 的值．12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2），满足纵坐标相等，即y 1＝y 2，则称点A 、B 为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．（1）若点P （2022，p ）和点Q （q ，2023）为“高水平函数”y ＝|x +1|图象上的一对“高水平点”，求p +q 的值；（2）关于x 的函数y ＝kx +b （k 、b 为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；（3）若点M （1，m ）、N （3，n ）、P （x 0，y 0）都在关于x 的“高水平函数”y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ＞0）的图象上，点M 、P 为该函数的一对“高水平点”，且满足m ＜n ＜c ，若存在常数w ，使得式子：w +13＞−14x 02﹣x 0+2恒成立，求w 的取值范围．13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”是；（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，求（m +n ）2022的值；（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试求证：经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（√3−1，3√3−3），……都是“一中点”．例如：抛物线y ＝x 2﹣4上存在两个“一中点”P 1（4，12），P 2（−1，−3）．（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．①y ＝2x ﹣1 ；②y ＝x 2−1 ；③y ＝x 2+4 ．（2）若抛物线y ＝−12x 2+（23m +3）x −29m 2﹣m +1上存在“一中点”，且与直线y ＝3x 相交于点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），令t ＝x 12+x 22，求t 的最小值；（3）若函数y =14x 2+（b ﹣c +3）x +a +c ﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b ≤2时，a 的最小值为c ，求c 的值．15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2如（x 1＜x 2），分别以x 1，x 2为横坐标和纵坐标得到点M （x 1，x 2），则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x 2﹣3x ＝0，求出该方程的衍生点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程为x 2﹣（5m +1）x +5m ＝0的衍生点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值；（3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的衍生点M 始终在直线y ＝kx +2（k +3）的图象上？若有，请求出b ，c 的值；若没有，请说明理由．16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y ＝4x +3图象的“1倍点”，点（−32，﹣3）是函数y ＝4x +3图象的“2倍点”．（1）函数y ＝x 2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y ＝ax 2+5x +c 上有且只有一个“1倍点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当a ＞1时，求：①c 的取值范围；②直接写出∠EMN 的度数．17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．（1）①函数y ＝﹣2x +1图象上的“立信点”坐标为；②函数y ＝x 2+2x −2图象上的“立信点”坐标为．（2）若二次函数y ＝x 2+2（k +2）x +k 2的图象上存在A （x 1，x 1），B （x 2，x 2）两个“立信点”和1x 1+1x 2=−1且求k 的值；（3）若二次函数y ＝ax 2+bx +1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s ＝b 2+4a ，当t ≤b ≤t +1时，s 有最小值t ，试求t 的值．18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y ＝x ﹣1，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1是函数y ＝x ﹣1的零点．（1）求一次函数y ＝2x ﹣3的零点；（2）若二次函数y ＝x 2+bx +32b 的零点为x 1，x 2，A ，B 两点的坐标依次A （x 1，0），B （x 2，0），如果AB ＝2，求b 的值；（3）直线y ＝﹣2x +b 的零点为1，且与抛物线y ＝kx 2﹣（3k +3）x +2k +4（k ≠0）交于C 、D 两点，若m +1≤1k ≤m +2时，线段CD 有最小值3√5，求m ． 19．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．（1）请直接写出函数y ＝2﹣x 的不动点M 的坐标；（2）若函数y =3x+8x+a有两个关于原点对称的不动点A ，B ，求a 的值；（3）已知函数y ＝ax 2+（b +1）x +（b ﹣1），若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a 的取值范围．20．（2022春•西城区校级期中）对任意的实数m 有如下规定：用[m ]表示不小于m 的最小整数，例如[52]＝3，[5]＝5，[﹣1.3]＝﹣1，请回答下列问题：（1）①0≤[x ]﹣x ＜1；②[x ﹣2022]＝[x ]﹣2022；③[3x ]＝3[x ]；④[x ]+[y ]＝[x +y ]；⑤若[x ]＝a （a 为整数），则a ﹣1＜x ≤a ．以上五个命题中为真命题的是（填序号）．（2）关于x 的方程[x ﹣1]＝2x +1的解为．（3）某市出租车的起步价是13元（可行驶3千米），以后每多行1千米增加2.3元（不足1千米按1千米收费），现有某同学乘出租车从甲地到乙地共付费36元，如果他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元．若该同学乘坐出租车从甲地出发去往乙地，由于突发情况，在距离乙地1公里处掉头原路返回，那么该同学返回甲地后应付费元．。

张跃辉-矩阵理论与应用前第四章答案

0 1
0 −1
)
0 −1
;.
11
18. 证明第三种初等矩阵 (即 I + aEij, i = j, a = 0) 彼此相似. 又, 第一种初等矩阵是否彼此相似?
4
证明：为证明第三种初等矩阵 (即 I + aEij, i = j, a = 0) 彼此相似，先证明 Eij(i = j) 均与 E12 相似即可. 为此，若 i = 1，则交换 Eij 的第 2 列与第 j 列，然后交换新矩阵 (此时新的矩阵即为 E12) 的第 2 行与第 j 行，但这两行都是 0 行，故所得矩阵仍是 E12. 因此 Eij(i = j) 与 E12 相似.
A C
B D
= |A||D − CA−1B|.
证明：利用分块矩阵的初等变换可得
(
)(
)(
)
I 0 AB
A
B
−CA−1 I
C D = 0 D − CA−1B ,
故两端的行列式相等.
()
14. (1) 设矩阵 A, C 均可逆, 求分块矩阵
AB 0C
的逆矩阵.
(
)
(2) 设矩阵 A 可逆, D − CA−1B 也可逆, 证明分块矩阵
6. 证明: 对任意 n 阶矩阵 A, 有 r(An) = r(An+1).
证明：由于 r(Ai+1) ≤ r(Ai), 故 A, A2, · · · , An+1 中必有 2 个矩阵 As 与 At 的秩相同. 不妨设 s < t. 于是 r(As) = r(As+1) = · · · = r(At). 下证必有 r(At+1) = r(At). 考虑方程组 At+1x = 0 的任意解 α. 由于 Aα 是 Atx = 0 的解而 r(At) = r(At−1)，故 At−1x = 0 与 Atx = 0 同解，从而 Aα 满足方程 At−1x = 0 即 Atα = 0. 这表明 At+1x = 0 与 Atx = 0 同解，故 r(At+1) = r(At). 重复上述证明可知 r(Ai) = r(Aj), ∀i, j ≥ s.

高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》专项训练解析含答案

数学高考《矩阵与变换》复习资料一、151．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩的解的情况，并求出相应的解.【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【解析】【分析】首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦2 1 11 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 11 1 11 1 1x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并加以讨论.【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，方程组无解；当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【解析】【分析】分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】()()2131225101D a a a a-=-=-+--，()()1133211111x D a a a a--=--=-+-，()2131321011y D a a --=-=---，()2111235101z D a a-=--=-当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧⎪+-=-⎪⎪--=-⎨⎪⎪---=⎪⎩，方程组无解；当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【点睛】本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.3．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析【解析】【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；（ii ）当2m =时，0x yD D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=，该方程组有无数组解，即12x Rx y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.4．已知方程组()()()11,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩（1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明（3）利用绝对值不等式求最值【详解】（1）22111123230,3,4,23232234,33y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解（2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题5．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】【分析】(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解. (2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可．【详解】(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,23D =34--891=-+=,711x D = 34--=28335-+=,23y D =711=22211-= ,5xD x D ∴== ,1y D y D== , 所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=⎩ . (2)1m D =1m=21m - =()()11m m +- , 12x m D m+=1m=2m m - =()1m m - ,1y m D =12m m+ =()()221211m m m m --=+- ,当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.6．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解．【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换，（1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v；（2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v ；（2）()25216,0. 【解析】【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.8．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析【解析】【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解；当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.9．解关于x ，y 的方程组93x ay a ax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析【解析】【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.10．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析；【解析】【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【详解】解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠，即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-．当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=，即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.【答案】2πθ=【解析】【分析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标．【答案】()1,4- 【解析】试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定：A B ''u u u u r.因为，所以1{4x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A ' 则．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得1{4x y =-=，所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵13．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩因为k≠0，所以a ＝2． 5分因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分【解析】试题分析：由特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．14．已知矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，4123B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．【解析】试题分析：411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．试题解析：B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．15．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量．【详解】解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．16．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ．【答案】【解析】【分析】【详解】设则即此直线即为则..17．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】【分析】根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､(),P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩，代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.18．设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ，可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-. 【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.19．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r .【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可；（2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---，令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r.再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r.综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.20．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩.得0x y +=，令1x =，则1y =-，所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦；当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.。

矩阵方程AXA T+BYB T=C的对称半正定解

、
，，．，．．
一／
ＡＡ ¨ 挖
ＡＡ ¨ 挖
ｒｎ（２，存在ＡｌＡ０的充要条件是Ａｌ０且ＡｌａｋＡ２则）ｌ使ｌ，ｌ可表示为Ａ１＝ｃ１
＋（一Ａ２ＡＥＹ，厶一ＴＩｒＩ２）Ｙ∈ Ｒ‘一，Ｇ∈ ＳｒＲ是任意的）ｏ．
文［］［］出了矩阵方程ＡＡＩ、２给Ｘ＋ＢＢＹ：Ｃ有对称解和对称正定解的判别条件及解的通式．文在本文［］［］作的基础上，虑文［］的同类问题，Ｉ、２工考２即矩阵方程有对称半正定解的判别及通解表达式．
Ａ＝ ∑ ＾，
，４００００＾０口０
曰＝ ∑ 日．
０
（）２
其中ＥＯ “ ＥＯｐＰＲ，Ｒ，Ｍ是ｍ × ｍ阶可逆矩阵，且
０
０
Ｓ４
．
０
０
Ｓ口
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ｏｌ０２０３４４４
ｌ
２０３４
＾ＥＲ， … ０ＥＲ‘一 ’‘一 ’ Ｓ，８４ … … ，ＡＳＥ
尺（） ” … ）一（一
，
，口ＥＲｐ，０ ‘一川
ＥＲ‘ ‘ … ’０３一 ’ 一，４Ｅ
１引理
引理Ｉ半正定矩阵的任一主子阵仍是半正定矩阵．
引２设＝Ｓ，∈ ・，理Ａ（三ＲＡ，ｔ则【Ａ］ｎｌｎ６ｌ ∈ ｌｘｎ

正定矩阵习题答案

正定矩阵习题答案正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。

本文将围绕正定矩阵展开讨论，并给出一些习题的答案。

首先，让我们回顾一下正定矩阵的定义。

一个n阶实对称矩阵A被称为正定矩阵，当且仅当对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示x的转置。

这个定义意味着正定矩阵的所有特征值都是正数。

接下来，我们将给出一些与正定矩阵相关的习题，并给出它们的答案。

习题1：证明一个正定矩阵的所有主子式都是正数。

答案：一个n阶矩阵的主子式是指由原矩阵的前k行和前k列组成的k阶子矩阵的行列式。

我们可以使用数学归纳法来证明这个结论。

当n=1时，显然主子式就是矩阵本身，因此结论成立。

假设对于n=k-1时结论成立，即一个k-1阶正定矩阵的所有主子式都是正数。

现在考虑一个k阶正定矩阵A，我们可以将它表示为以下形式：A = [B, b; b^T, c]其中B是一个k-1阶矩阵，b是一个列向量，c是一个实数。

根据正定矩阵的定义，我们知道B是一个正定矩阵。

由归纳假设，B的所有主子式都是正数。

现在我们来看A的主子式。

对于一个k阶主子式，我们可以将它表示为以下形式：D = [D', d; d^T, e]其中D'是B的一个主子式，d是一个列向量，e是一个实数。

根据行列式的性质，我们有det(A) = det(D) - det(d * d^T)。

根据归纳假设，det(D') > 0，而det(d * d^T) = d^T * d > 0，因为d非零。

因此，det(A) = det(D) - det(d * d^T) > 0，即A的所有主子式都是正数。

习题2：证明两个正定矩阵的和仍然是正定矩阵。

答案：设A和B是两个正定矩阵，我们需要证明A + B也是正定矩阵。

对于任意非零向量x，我们有x^T * (A + B) * x = x^T * A * x + x^T * B * x。

东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数，负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二三四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。

线性代数第4节正定矩阵

求得 A 的特征值为 2, 2 3 ，
全为正，因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
即矩阵 A A 为正定， A 的秩 r ( A) n ， A A 为且则正定矩阵.
T
类似结论有：

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（或相应地，２＞０ＳＡ１一（２－）一（２（ｌｆ））Ａ２，（１１４）５２）Ａ２＋Ａｔ＞０．
设Ｄ∈ Ｒ，则矩阵方程Ｘ＋Ｘ丁＝Ｄ有解的充分必要条件为Ｄ：ＤＴ其通解为
，
ｘ
Ｄ＋Ｈ，
其中Ｈ是任意反对称矩阵．
ＡＡＴ４Ｂｙ丁＝ＣＸ－Ｂ
．
ｌ－ｚ
＞０Ｖｚ ∈ Ｒ川， ≠ ０表示阶亚正定矩阵集合；＞，｝Ａ
０表示Ａ是对称正定矩阵；为单位矩阵．Ｓ（记Ａ）：Ａ＋ＡＴＳＡ）示Ｓ（，一（表Ａ）的逆矩阵．
（）１
的研究已有很多工作，［］２研究了矩阵方程（）的对称解，３研究了（）的对称正定解本文考虑矩阵文１［］１［］１方程（）的亚正定解，论了方程有解的充要条件，１讨并在有解时给出了解的一般表达式．
先给出几个有用的引理．引理１Ｅ矩阵Ａ ∈ Ｒ的充要条件是ｓ（）∈ ｓＲ据引理１容易证明下列引理２．引理２矩阵ｘ ∈ ＩＲ的充要条件是ｘ可表为ｘ＝Ｈ＋Ｓ，中Ｈ ∈ ｓ ” ｓ∈ ＡＳ：其Ｒ，Ｒ
矩阵方程ＡＴ＋ＢＹ＝Ｃ的亚正定解ＢＴ
潘秋华
（江苏科技大学数理系，江苏镇江２２０）１０３
摘
要：用矩阵对的广义奇异值分解（ＳＤ，利ＯＶ）讨论了矩阵方程ＡＡＸ丁＋ＢＹＴ＝Ｃ关于亚正定Ｂ
矩阵ｘ、ｙ有解的充要条件，ｑＡ，Ｃ是给定的矩阵，其－Ｂ，在有解时给出了解的通式．关键词：阵方程；阵分解；矩矩亚正定矩阵；解通
由引理ｌ及引理４容易证明引理５．
引５设＝－坦Ｒｎ｜Ｒ”充条是理ＡＪＪｎ，４的要件为／－ ∈ ￣则 ∈ ￣Ｉ
ｎ２１九２２
ｉ）Ｓ（ＩＡＩ）＞０ｉ；ｉ）Ｓ（２Ａ２）～（２＋１引理６
）（１（２）＞０ｓＡｌ）Ａ１＋Ａ
２主要结果
收稿日期：０７—０２０５— １８
作者简介：潘秋华（９２一）江苏镇江人，１６，讲师
４０２
安徽师范大学学报（自然科学版）
２００８年
定理１已知Ａ ∈ Ｒ， ∈ Ｒ，ｍ卅矩阵对（Ｂ的广义奇异值分解为ｍＢＣｘ，Ａ，）
第３８年５期２０卷９０ｌ月
学ｅｔＪｕｎ安ｆｎｕＮｏｍａＵｎ报ｒｉＮａｕ版Ｓｉｃ）ｏｒａｏ师范大学ｉｓ自然科ｔｒｌｅｅｌ徽ｈｉｒｌｖ（ｙ（学ａ）ｎＡｃ
Ｖｌ．１Ｎ．ｏ３ｏ５１
Ｓｐ．２００８ｅ
中图分类号：５．１Ｏ１１２文献标识码：Ａ文章编号：０１４３２０）５～０１～０１０ —２４（０８０４９４
１引言与引理
文中Ｒ ” Ｏ、Ｒ、Ｒ ” 、Ｒ５ＡＳ分别表示 × 阶实矩阵、阶实正交矩阵、对称正定矩阵和祀阶反对称矩阵的全体： ” ｛ ∈ ＲＲ＝Ａ关于，的矩阵方程ｙ
Ｌ０ｏ —ｋｏＪ
ｒ－５ｎｒ
０ｌＳ
，ｌｋ～ｒ
（）３
ｌｒ —ｋ＋ —ｓ
Ｌｏ
ｏ一ｋＪ
七：ｒｎ（Ｂ）ｒ：７Ａ，ａｋＡ，，２Ａ１＝ｄａ（１ｎ，，，是ｉｇａ，２ … 岔）Ａ２＝ｄａｂ，２ … ，，ｉｇ（１ｂ，６）且
Ａ＝Ｇ１１Ｈ，Ｂ＝ＧＫ２２２Ｈ
（）２
其中Ｇ为阶可逆矩阵， ∈ Ｏ，Ｈ１ＲＨ２∈ Ｏ，Ｒ
ｒ００ｔ］ｒ一５
１０
０１ｒ— Ｓ
ｎ｝０，１１：尼０ｒ０１Ｉ一０
１＞缸 ≥ 口 ≥ …≥ ＞００＜ｂ ≤ ｂ ≤ … ≤ ｂ＜１＋６＝１ｉ：ｌ２…，）而令矩阵１２，１２ｃ３２４７２ｃ３２２３４｝２３ｃ３
ＣＣ薹ｃ：ｓ１１Ｓ２１Ｃ
（）４
Ｌ４Ｃ２Ｃ３Ｃａｍ —ｋＣ１４４４Ｊ
则矩阵方程ＡＮｎＴ＋ＢＢＹＴ＝Ｃ关于ｘ ∈ Ｒ， ∈ Ｒ有解的充要条件是：Ｙ１）Ｃ１０，３０，＝０，３＝Ｃ１＝ＣＱ４：Ｏ（，ｉＪ＝ｌ２３４；，，，）
．
．
引理３Ａ ∈ ５ ”的充要条件是对阶非奇异矩阵尸，ＪＲ都有ｐＴ ∈ 己ＡｐＲ
．
引４Ａｆ４ｆ（Ａ：Ａ）充条为理＝Ａ＞其ＡＡ：２的要件］ｌ０中ｄｉ２
Ｌ１２２＿２Ｊ
Ａ１＞０Ａ２Ａｆ１２０１，２ｒＡ１＞一２Ａ＿（或相应地Ａ２＞０Ａｌ一Ａ１２ＡＴ＞０．２，１２－ｚ）Ａ￣