2017届新人教B版 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 课时作业

课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则┑p为() A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：根据特称命题的否定为全称命题得：┑p：∀n∈N，n2≤2n.
答案：C
2．(2015·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)≤n”的否定形式是()
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
解析：根据全称命题的否定为特称命题，则命题“∀n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)≤n”的否定形式是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0.
答案：D
3．已知命题
p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程x＋2＝0的根
则下列命题为真命题的是()
A．p∧(┑q) B．(┑p)∧q
C．(┑p)∧(┑q) D．p∧q
解析：由题知p 真q 假，∴┑q 为真，
∴p ∧┑q 为真．
答案：A
4．已知p ，q 为两个命题，则“p 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：p 是真命题，无论q 是真是假，“p ∨q ”必为真命题，但“p ∨q ”为真命题，有可能p 假q 真，故为充分不必要条件．
答案：A
5．已知命题p ：复数z ＝1＋i i 在复平面内所对应的点位于第四象
限，命题q ：∃x 0>0，x 0＝cos x 0，则下列命题中为真命题的是( )
A ．(┑p )∧(┑q )
B ．(┑p )∧q
C ．p ∧(┑q )
D ．p ∧q
解析：z ＝1＋i i ＝1－i ，其对应的点位于第四象限，故命题p 为真
命题；由数形结合可知，命题q 也是真命题．故p ∧q 为真命题．
答案：D
6．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2－2x ＋1≤0，命题q ：∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断：
①p 且q 是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④非p 是真命题
其中正确的是()
A．①④B．②③
C．③④D．②④
解析：由题意知p假q真，故②④正确，选D.
答案：D
7．已知命题p：函数y＝2－a x＋1的图象恒过定点(1，2)；命题q：若函数y＝f(x－1)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是()
A．p∨q B．p∧q
C．(┑p)∧q D．p∨(┑q)
解析：函数y＝2－a x＋1的图象可看成是先把函数y＝a x的图象向左平移一个单位，再将所得图象沿x轴作翻折，最后再将所得图象向上平移2个单位得到，而y＝a x的图象恒过(0，1)，所以y＝2－a x＋1的图象恒过点(－1，1)，因此p为假命题；若函数f(x－1)为偶函数，即图象关于y轴对称，f(x)的图象即f(x－1)的图象向左平移一个单位得到，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因此q为假命题，故p∨(┑q)为真命题，故选D.
答案：D
8．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax ＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－b
2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)
为函数的最小值，即对所有实数x ，都有f (x )≥f (x 0)．因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，选C.
答案：C
二、填空题
9．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”的否定是________．
解析：全称命题的否定为特称命题，故命题“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”
． 答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0<0
10．若“x ∈[2，5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x 的取值范围是________．
解析：根据题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，解得1≤x ＜2，故x ∈[1，2)． 答案：[1，2)
11．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
解析：要使“∀x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”成立， 只需m ≥(tan x )max ，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4. ∵正切函数y ＝tan x 在x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增， ∴(tan x )max ＝tan π4＝1，
∴m ≥1，故实数m 的最小值为1.
答案：1
12．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m
的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
解析：因为存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0是假命题，所以对任意x∈R都有x2＋2x＋m>0，因此Δ＝4－4m<0，即m>1，故a＝1.
答案：1
1．下列命题的否定为假命题的是()
A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．∀x∈R，lg x<1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1
解析：对A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，其否定为真命题．对B，当x>10时，lg x>1，所以∀x∈R，lg x<1是假命题，其否定为真命题．对C，6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题．对D，显然成立，所以其否定是假命题．选D.
答案：D
2．(2016·山西考前监测)给定下列三个命题：
p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；
p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；
p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．
则下列命题中的真命题为()
A．p1∨p2B．p2∧p3
C．p1∨(┑p3) D．(┑p2)∨p3
解析：对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(┑p 2)∧p 3为真命题，故选D.
答案：D
3．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，3x 0<4x 0，命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >x .则下列命题中为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∨(┑q )
C ．p ∧(┑q )
D ．(┑p )∧q
解析：由指数函数的单调性可知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，3x 0
＜4x 0为假，则命题┑p 为真；易知命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >x 为真．则命题┑q 为假．根据复合命题的真值表可知命题p ∧q 为假，命题p ∨(┑q )为假，命题p ∧(┑q )为假，命题(┑p )∧q 为真，故选
D.
答案：D
4．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．
解析：因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0，1)，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y
轴的右侧，且与x 轴有两个交点，所以Δ＝m 2
－4>0，且－m 2>0，即m <－2，所以m 的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
5．某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：
小赵说：只要不是B就行；
小张说：B，C，D，E都行；
小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行；
小刘说：除了E之外，其他的都可以．
据此判断，他们四人可以共同看的影片为________．
解析：小赵可以看的电影的集合为{A，C，D，E}，小张可以看的电影的集合为{B，C，D，E}，小李可以看的电影的集合为{A，B，D，E}，小刘可以看的电影的集合为{A，B，C，D}，这四个集合的交集中只有元素D，故填D.
答案：D。