湖北省随州市曾都区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

湖北省随州市曾都区2020-2021学年八年级上学期期末数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列计算正确的是()

A．a2?a3=a6B．(a2)2=a4C．a8÷a4=a2D．(ab)3=ab3

2．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．习总书记提出“生态兴则文明兴”“守住绿水青山，就是守住金山银山”，人人都有爱护环境的义务.某时刻在我市某监测点监测到PM2.5的含量为65微克/米”，即0.000065克/米，将0.000065用科学记数法表示为（）

A．0.65 ×10-4B．6.5 × 10-5C．6.5× 10-4D．0.65 ×10-5 4．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．(x+ 1)(x- 1)= x2- 1 B．x2+2x-1=x(x+2)- 1

C．-x2+ 4xy- 4y2=-(x- 2y)2D．3m(x - 2y)= 3mx - 6my

5．当分式- 1

xy

与-

2

1

x y

经过计算后的结果是-

2

x1

x y

时，则它们进行的运算是（）

A．分式的加法B．分式的减法C．分式的乘法D．分式的除法6．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）

A．8 B．9 C．10 D．11

7．如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D．连接BO并延长交AC 于点E,则下列说法一定正确的是（）

A．AD是△ABC的高B．BO是△ABD的中线

C．AO是△ABE的角平分线D．△AOE与△BOD的面积相等

8．如图，已知ABC ?，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC ?全等的是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

9．如图，在△ABC 中, ∠C = 90°，∠B= 30°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点， 连接AD,则△ACD 与△ADB 的面积比为（ ）

A ．1

B ．12

C ．13

D ．23

10．如图，在△ABC 中，小刚同学按如下步骤作图：

(1)以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点E

(2)分别以点C ．E 为圆心，大于

12

CE 的长为半径画弧，两弧在△ABC 内相交于点P (3)连接BP,并延长交AC 于点D

(4)连接DE

根据以上作图步骤，有下列结论：①BD 平分∠ABC ； ②AD+DE = AC ；③点P 与点D 关于直线CE 对称； ④△BCD 与△BED 关于直线BD 对称.

其中正确结论的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

11．计算(-3)0+ 3-2=______

12．如图，AC ⊥BC ，AD ⊥DB ，要使△ABC ≌△BAD ，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）

13．如果等腰三角形两边长分别为3和7，那么它的周长是___________.

14．如图，在△ABC 中，AB= AC ，∠B= 66°，D 、E 分别为AB,BC 上一点,AF//DE ， 若∠BDE = 30°，则∠FAC 的度数为____________

15．若关于x 的分式方程x x 4-+4m 4x

- = 2m 无解，则m 的值为___________ 16．我们定义三边长均为整数的三角形叫做整三角形.已知△ABC 是整三角形，其周长为偶数，若AC- BC = 3.则边长AB 的最小值是__________

三、解答题

17．按要求解下列各题:

(1)计算: 2ab 2(- 3ab)+ (ab 2)3÷(-ab 3)

(2)分解因式:x 3y- 10x 2y + 25xy

(3)解方程:(2x- 3)(3x- 2)= 6(x- 2)(x + 2)

18．如图，在ABC ?中

（1）画出BC 边上的高AD 和角平分线AE .

（2）若30B ∠=°，130ACB ∠=°，求BAD ∠和CAD ∠的度数.

19．先化简，再求值：22221111x x x x x x --??÷-- ?-+??

，选一个你喜欢的实数x 代入求值. 20．如图 AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ．

（1）求证AD=AE ；

（2）连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．

21．小明在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“己知”、“求证”(如图)，他对辅助线描述如下:“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”.

(1)请你简要说明小明的辅助线作法错在哪里?

(2)请你正确完整地写出这一命题的证明过程.

22．国庆70周年前夕，网店销售三种规格的手摇小国旗，其部分相关信息如下表:

已知大号小国旗比中号的批发价贵0.3元，小号小国旗比中号的批发价便宜0.1元某小商品零售商店，第一次用380元购进了一批大号小国旗，紧接着又用780元购进了第二批中号小国旗，第二批的数量是第一批的3倍.

(1)求三种型号小国旗的批发价分别是多少元?

(2)该商店很快又购进了第三批小号小国旗1200面.如果三批小国旗全部按网店建议零

售价销售完后，该零售商店获利不少于1980 元，那么小号小国旗的建议零售价至少为多少元?

23．观察下列各式:

1+2=22-1

1+2+22=23-1,

1+2+22+23=24-1,

...

(1)请直接写出1+2+22+23+24=

1+2+22+23+24+25=_ ;

(2)根据(①)的规律,猜想1+2 +22 +...+2n=_ ，并给出证明；

(3)设250=a,根据(2)中的结论，化简250+ 251+ 252+...+ 299+ 2100(用含a的式子表示). 24．在△ABC中，AB = AC，在△ABC的外部作等边三角形△ABD，E为AB的中点，连接DE并延长交BC于点F.

(1)如图1，若∠BAC = 90°，连接CD，求证：CD平分∠ADF；

(2)如图2，过点A折叠∠CAD，使点C与点D重合，折痕AM交EF于点M，若点M 正好在∠ABC的平分线上，连接BM并延长交AC于点N，课堂上两个学习小组分别得出如下两个结论：①∠BAC的度数是一个定值，为100°；②线段MN与NC一定相等. 请你选择其中一个结论，判断是否正确?若正确，给予证明:若不正确，说明理由.

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．

【详解】

A、a2?a3=a5，故此选项错误；

B、（a2）2=a4，正确；

C、a8÷a4=a4，故此选项错误；

D、（ab）3=a3b3，故此选项错误；

故选B．

【点睛】

此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

2．B

【分析】

结合轴对称图形的概念进行求解即可．

【详解】

解：根据轴对称图形的概念可知：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．B

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把

原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【详解】

0.000065这个数用科学记数法可以表示为6.5×10-5

故选：B

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×

10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

4．C

【分析】

根据因式分解的定义，等式的右边是几个整式的积的形式即可判断.

【详解】

根据因式分解的定义，A 、B 、D 的右边都不是几个整式的积的形式，故不是因式分解. C 满足因式分解的定义.

故选：C

【点睛】

本题考查的是因式分解的定义，熟练的掌握因式分解的定义是关键.

5．A

【分析】

根据分式的运算法则计算即可.

【详解】

22111xy x x y x y

??+-+-=- ??? 故选：A

【点睛】

本题考查的是分式的四则运算，分别掌握分式的各运算的法则是关键.

6．C

【分析】

利用多边形的内角和公式及外角和定理列方程即可解决问题．

【详解】

设这个多边形的边数是n，

则有（n-2）×180°=360°×4，

所有n=10．

故选C．

【点睛】

熟悉多边形的内角和公式：n边形的内角和是（n-2）×180°；多边形的外角和是360度．7．D

【解析】

【分析】

根据三角形的重心的性质，是三角形各边中点连线即可求解．

【详解】

∵点O是△ABC的重心

∴AD、BE是△ABC的中线

∴△ABE的面积=△ABD的面积=1

2

△ABC的面积

∴△ABE的面积-△AOB的面积=△ABD的面积-△AOB的面积

即△AOE与△BOD的面积相等

故选：D

【点睛】

本题考查的是重心，掌握重心是三角形三条中线的交点是关键.

8．B

【分析】

根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．

【详解】

解：A、△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；

B、△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；

C、△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；

D、△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

9．B

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的性质可得AD=BD，∠DAB=∠B=30°，进一步可求出∠CAD的度数，根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD与BD的关系，即可求解. 【详解】

∵∠C = 90°，∠B= 30°

∴∠CAB=60°

∵点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点

∴AD=BD，∠DAB=∠B=30°，

∴∠CAD=30°

∴CD=1

2

AD=

1

2

BD

∴CD∶BD=1∶2

△ACD的面积=1

2

AC×CD；△ABD的面积=

1

2

AC×BD

∴△ACD与△ADB的面积比为1 2

故选：B

【点睛】

本题考查的是垂直平分线的性质及直角三角形的性质，本题的解题关键在理解同高的两个三角形的面积比等于两底边之比.

10．C

【分析】

根据作法（1）（2）可证△BCP≌△BEP，可判断BD是∠ABC的平分线，可证①②④都是正确的，因为CP是任意长，故无法证明点P与点D关于直线CE对称.

【详解】

连接PC、PE

由作法（1）（2）得：

AC=AE，CP=CE，BP=BP

∴△BCP≌△BEP（SSS）

∴∠CBD=∠ABD

∴BD平分∠ABC，故①正确；

又∵BC=BE，∠CBD=∠ABD，BD=BD

∴△BCD≌△BED（SAS）

∴CD=DE

∴AD+DE = AD+CD=AC，故②正确；

连接CE，交BD于F点

∵BC=BE，∠CBD=∠ABD

∴BD垂直平分CE，故△BCD与△BED关于直线BD对称，故④正确；

∵CP是任意长，故无法证明点P与点D关于直线CE对称，故③错误.

故选：C

【点睛】

本题考查的是角平分线的尺规作图，掌握三角形的全等的判定方法及掌握作图语言是关键.

11．

1 1 9

【分析】

根据0指数幂和负整数指数幂解答即可. 【详解】

(一3)0+ 3-2

11 11

99

故答案为：

1 1 9

【点睛】

本题考查的是0指数幂和负整数指数幂，掌握其意义及运算方法是关键.

12．AC=BD（答案不唯一，或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA）

【解析】

【分析】

根据题目已给条件可得∠C=∠D=90°，AB为公共边，然后根据三角形全等的判定定理HL、HL、AAS、AAS添加条件即可.

【详解】

解:∵AC⊥BC，AD⊥DB，

∴∠C=∠D=90°

∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD

∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．

故答案为：AC=BD（答案不唯一，或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA）13．17

【分析】

分类讨论①若3为腰长，7为底边长，②若7为腰长，3为底边长，分别算出三角形，判断是否满足三角形的三边性质，再算出周长即可.

【详解】

①若3为腰长，7为底边长，

则三边长为：3，3，7，

由于3+3＜7，则三角形不存在；

（2）若7为腰长，3为底边长，

则三边长为7，7，3，满足三角形三边关系，

所以这个三角形的周长为7+7+3=17，

故答案为：17．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的

三边关系是解决本题的关键.

14．18°

【分析】

先根据等边对等角求出∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据平行线的性质求出∠BAF的度数即可求解.

【详解】

∵AB= AC，∠B= 66°

∴∠C=∠B= 66°

∴∠BAC=180°-66°-66°=48°

∵AF//DE，∠BDE = 30°

∴∠BAF=∠BDE = 30°

∴∠FAC=∠BAC-∠BAF=18°

故答案为：18°

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及平行线的性质，掌握各定理的内容并能结合图形使用是关键.

15．1

2

或1

【分析】

方程无解分两种情况：①方程的根是增根②去分母后的整式方程无解，去分母后分情况讨论即可.

【详解】

①去分母得：x-4m=2m（x-4）

若方程的根是增根，则增根为x=4

把x=4代入得：4-4m=0 解得：m=1

②去分母得：x-4m=2m（x-4）

整理得：（2m-1）x=4m

∵方程无解，故2m-1=0 解得：m=1 2

∴m的值为1

2

或1

故答案为：

12

或1 【点睛】 本题考查的是分式方程的无解问题，注意无解的两种情况是解答的关键.

16．5

【分析】

根据AC- BC = 3可得AC=BC+3，故三角形的周长为2BC+AB+3，其为偶数，故AB 为奇数，又因为AB ＞3，故AB 的最小值为5.

【详解】

∵AC- BC = 3

∴AC=BC+3

∴三角形的周长=2BC+AB+3

∵其周长为偶数，三边长均为整数

∴AB 为奇数

又∵AB ＞AC- BC 即AB ＞3

∴AB 的最小值为5.

故答案为：5

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是关键.

17．（1）237a b -；（2）2(5)xy x -；（3）3013

x = 【分析】

（1）根据整式的运算法则计算即；

（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解；

（3）去括号化为一般形式后求解即可.

【详解】

（1）2ab 2(- 3ab)+ (ab 2)3÷

(-ab 3) 23

3636a b a b ab

23

236a b a b =237a b -

（2）x 3y- 10x 2y + 25xy 2

210255xy x x xy x （3）(2x- 3)(3x- 2)= 6(x- 2)(x + 2)

2

26136624x x x 13303013x x

【点睛】

本题考查的是整式的运算、分解因式及解一元一次方程，掌握整式的运算法则、分解因式的方法及公式、解一元一次方程的步骤是关键.

18．（1）见解析； （2）60BAD ∠=°

，40CAD ∠=° 【分析】

（1）延长BC ，作AD ⊥BC 于D ；根据角平分线的做法作出角平分线AE 即可；（2）可根据三角形的内角和定理解答即可．

【详解】

解：（1）如图所示：

AD,AE 即为所求；

（2）在△ABD 中，AD ⊥BD ，即∠ADB=90°，

∵∠B=30°，

∴∠BAD=180°-90°-30°=60°；

在△ABC 中，∠B+∠ACB+∠BAC=180°

∴∠BAC=180°-30°-130°=20°

∴∠CAD=60°-20°=40°.

【点睛】

此题是计算与作图相结合的探索．考查学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、三

角形内角和外角等基础知识解决问题的能力．

19．11x -；x=3时，值为12

. 【分析】

括号外分式的分子分母先分解因式，括号内通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的除法运算，最后代入使分式有意义的值进行计算即可.

【详解】

22221111x x x x x x --??÷-- ?-+??

=()()()221211111x x x x x x x x -??--÷- ?+-++??

=()()()

22121111x x x x x x x ---+÷+-+ =()()()()

21·112x x x x x x x -++-- =

11x -， 当x=3时，原式=

131-=12

（x 取除了0，1，-1，2以外的数，答案不唯一）. 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

20．（1）证明见解析；

（2）互相垂直，证明见解析

【分析】

（1）根据AAS 推出△ACD ≌△ABE ，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）证Rt △ADO ≌Rt △AEO ，推出∠DAO=∠EAO ，根据等腰三角形的性质推出即可．

【详解】

（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，

∴∠ADC=∠AEB=90°

， △ACD 和△ABE 中，

∵ADC AEB CAD BAE AB AC ∠∠??∠∠???

＝＝＝

∴△ACD ≌△ABE （AAS ），

∴AD=AE ．

（2）猜想：OA ⊥BC ．

证明：连接OA 、BC ，

∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，

∴∠ADC=∠AEB=90°

． 在Rt △ADO 和Rt △AEO 中，

∵OA OA AD AE ???

＝＝ ∴Rt △ADO ≌Rt △AEO （HL ）．

∴∠DAO=∠EAO ，

又∵AB=AC ，

∴OA ⊥BC ．

21．（1）过A 点作条线段的垂线可以，作三角形的中线也可以， 但中垂线既要过线段的中点又要垂直于这条直线，作一条辅助线不能同时满足既垂直又平分. （2）详见解析.

【分析】

（1）从中垂线的定义分析即可.

（2）证△BAD 与△CAD 全等即可.

【详解】

（1）过A 点作条线段的垂线可以，作三角形的中线也可以， 但中垂线既要过线段的中点又要垂直于这条直线，作一条辅助线不能同时满足既垂直又平分

.

（2）过点A作AD⊥BC于点D

则∠ADB=∠ADC=90°，

又∠B=∠C，AD=AD，

∴.△BAD≌△CAD(AAS)

∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的判定定理的证明，作出“三线合一”的辅助线是关键. 22．（1）大、中、小号国旗的批发价分别为0.95元、0.65元、0.55元（2）小号小国旗的建议零售价至少为1元.

【分析】

（1）设中号小国旗的批发价为x元，则大号的批发价为(x + 0.3)元，根据第二批的数量是第一批的3倍列出分式方程解答即可.

（2）设小号小国旗的建议零售价为y元，由（1）求出大号、中号的数量，根据零售商店获利不少于1980 元列出不等式解答即可.

【详解】

（1）设中号小国旗的批发价为x元，则大号的批发价为(x + 0.3)元根据题意得，

780 x =3×

380

0.3

x

解得x = 0.65

经检验,x= 0.65是分式方程的解

∴(x + 0.3)= 0.95，x-0.1= 0.55

答：大、中、小号国旗的批发价分别为0.95元、0.65元、0.55元.

（2）设小号小国旗的建议零售价为y元，由（1）知，大号的数量为380 ÷ 0.95 = 400(面)，中号的数量为400×3 = 1200(面) 根据题意得：

400 ×(2-0.95)+ 1200 ×(1.5-0.65)+ 1200(y -0.55)≥1980，

解得：y≥1

答：小号小国旗的建议零售价至少为1元

【点睛】

本题考查的是分式方程及一元一次不等式的应用，能正确的理解题意并列出方程和不等式是关键，本题的易错点是分式方程忘记检验.

23．（1）25- 1，26- 1；（2）2n+1-1，证明详见解析；（3）2a2- a

【分析】

（1）根据上面的规律1+2+22+23+…+2n=2n+1-1直接写出答案即可；

（2）根据上面的规律1+2+22+23+…+2n=2n+1-1直接填空，证明时可设S= 1+2+...+2n①，则2=2+22+…2n+2n+1②利用其加减进行证明；

（3）根据（2）中的结论，求出1+2 +22 +...+249和1+2+…249+250.+…+2100，即可求得结论. 【详解】

（1）根据题意得：1+2+22+23+24=25- 1

1+2+22+23+24+25=26- 1

故答案为：25- 1；26- 1

（2）1+2 +22 +...+2n=2n+1-1

故答案为：2n+1-1

证明：设S= 1+2+...+2n①，则2=2+22+…2n+2n+1②

②-①得：2S- S=2n+1- 1

∴S=2n+1- 1

即1+2+22+...+2n=2n+1- 1

（3）由（2）知1+2+…249+250.+…+2100=2101-1 ③

1+2+..+249=250-1 ④

③-④得：250+251+…+299+2100=2100-250=2100×2-250= (250)2×2- 250=2a2- a

【点睛】

本题考查的是数的乘法及有理数的运算，能根据条件探索规律及整体思想的应用是解答的关键.

24．（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的三线合一证DE⊥AB，再证AC//DE，得∠CDF=∠ACD，根据等边对等角证∠ADC=∠ACD，等量代换即可证明.

（2）若选①，根据等腰三角形的三线合一求出DM垂直平分AB，得AM=BM，得

∠BAM=∠ABM，设∠BAM=∠ABM=a，可根据条件表示出∠ACB，∠BAC，∠MAC，利用∠DAB=60°，∠DAM=∠CAM，列方程即可求出a的值，即可求解；若选②，连接MC，

在①的基础上求出∠MCN和∠NMC，即可判断. 【详解】

（1）∵△ABD是等边三角形

∴AD=AB

∵AB=AC

∴.AD=AC

∴∠ADC=∠ACD

∵ E为AB的中点

∴DE⊥AB

∴∠BAC=90°

∴∠AED=∠BAC

∴AC//DE

∴∠CDF=∠ACD

∴∠ADC=∠CDF，即CD平分∠ADF

(2)若选①，正确.理由是：

在等边△ABD中，∠BAD=60°

∵E为AB的中点，

∴DF垂直平分AB

∴AM-=BM

∴∠BAM=∠ABM

∵点M在∠ABC的平分线上

∴∠ABM=∠CBM

设∠BAM=∠ABM =a，则∠ABC=2a

∵AB=AC

∴∠ACB=∠ABC=2a

∴∠BAC=180°-4a

由折叠可知：∠DAM=∠CAM=60°+a

∴60°+a+a=180°-4a

∴a=20°

∴∠BAC =60°+20°+20°=100°