MATLAB矩阵及其运算
MATLAB矩阵及其运算
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3．利用冒号表达式建立一个向量
冒号表达式可以产生一个行向量， 一般格式是：
e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。
在MATLAB中，还可以用linspace函数产
生行向量。 其调用格式为：linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元 素，n是元素总数。 显然，linspace(a,b,n)与 a:(b-a)/(n-1):b等价。
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MATLAB常用的三角函数
sin(x):
正弦函数 cos(x)： 余弦函数 tan(x)： 正切函数 cot(x)： 余切函数 asin(x): 反正弦函数 acos(x)：反余弦函数 atan(x)：反正切函数
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函数使用说明
(1)三角函数以弧度为单位计算。
(2)abs函数可以求实数的绝对值、复
第2章 MATLAB矩阵及其运算
1
MATLAB的大部分运算或命令都是
在矩阵运算的意义下执行的，而且 这种运算定义在复数域上。 因此， MATLAB的矩阵运算功能 非常丰富，容易解决含有矩阵运算 的复杂计算问题。 向量和单个数据都可以作为矩阵的 特例来处理。
2
主 要 内 容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
31
显然，序号(Index)与下标(Subscript
) 是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵 元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。
其相互转换关系也可利用sub2ind和
ind2sub函数求得。
32
2．矩阵拆分
(1) 利用冒号表达式获得子矩阵
① A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素； A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素； A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。
matlab矩阵的代数运算
matlab矩阵的代数运算操作：1.矩阵相加：C = A + B，其中A、B和C都是具有相同维度的矩阵。
2.矩阵相减：C = A - B，其中A、B和C都是具有相同维度的矩阵。
3.矩阵乘法：C = A * B，其中A的列数与B的行数相等，C的维度为A的行数乘以B的列数。
4.矩阵点乘（对应元素相乘）：C = A .* B，其中A、B和C都是具有相同维度的矩阵。
5.矩阵的转置：B = A'，其中A和B具有相同的维度，但是B的行和列与A的行和列交换。
6.矩阵的逆：B = inv(A)，其中A是一个可逆方阵，B是A的逆矩阵，满足A *B = B * A = I，其中I是单位矩阵。
7.矩阵的行列式：det_A = det(A)，其中A是一个方阵，det_A是A的行列式。
8.矩阵的迹：trace_A = trace(A)，其中A是一个方阵，trace_A是A的迹，即A的主对角线元素之和。
9.矩阵的特征值和特征向量：[V, D] = eig(A)，其中A是一个方阵，V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵，满足 A * V = V * D。
10.矩阵的广义逆矩阵：B = pinv(A)，其中A是一个矩阵，B是A的广义逆矩阵，满足 A * B * A = A。
11.矩阵的克罗内克积：C = kron(A, B)，其中A和B是两个矩阵，C是A和B的克罗内克积。
12.矩阵的行合并：C = [A; B]，其中A和B具有相同的列数，C是将A和B按行合并得到的矩阵。
13.矩阵的列合并：C = [A, B]，其中A和B具有相同的行数，C是将A和B按列合并得到的矩阵。
矩阵相加：A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A + B;矩阵相减：A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A - B;矩阵乘法A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A * B;矩阵点乘（对应元素相乘）：A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A .* B;矩阵的转置：A = [1 2; 3 4];B = A';矩阵的逆：A = [1 2; 3 4];B = inv(A);矩阵的行列式：A = [1 2; 3 4];det_A = det(A);矩阵的特征值和特征向量：A = [1 2; 3 4];[V, D] = eig(A); % V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
第2章MATLAB矩阵及其运算
·30·
第 2 章 MATLAB 矩阵及其运算
的求解方法时，因不完善的设计导致的内存溢出。在此，主要针对第二种情况进行分析并 给出相应的解决方案。
1．变量名区分大小写 变量名的定义必须符合以下条件： 必须以字母开头。 由字母、数字、下划线组成。 最长为 31 个字符。 一些用户不可以清除的变量，如 ans、eps、pi、Inf、NaN 等。 【例 2-1】 变量定义举例如下：
A a king
在 MATLAB 中的变量不需要事先定义，在遇见新的变量名时，MATLAB 会自动建立 并且为其分配存储空间。如果遇见已经出现的变量，会重新为其分配空间。
a = complex(2,9) b = real(a) c = imag(a)
MATLAB 运行结果如下：
a= 2.0000 + 9.0000i
b= 2
c= 9
3．除了可以把数值直接赋给变量，还可以将表达式、矩阵赋给变量
对于矩阵的讲解，会在后面详细讲解。 【例 2-4】 变量的赋值举例如下：
a=[1 4 7] B=abs(6+13i) C=[]
（4）不同数据结构的内存。 在 MATLAB 中，8 位、16 位、32 位、64 位的有符号整型或无符号整型分别占用 1、2、4、8 字节空间，单精度、双精度浮点数分别占用 4、8 字节空间。 在 MATLAB 中，复数的存储比较特殊。复数的实部和虚部在内存中是分开存放的， 当在程序中修改复数的实部或虚部时，会在修改数据的同时复制复数的实部和虚部。 在 MATLAB 中，当数组的元素绝大部分为 0 时，MATLAB 一般默认采用稀疏矩 阵进行存储以节省空间。
a=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
matlab矩阵运算符号
matlab矩阵运算符号在MATLAB中，矩阵运算符号包括加法、减法、乘法、除法和幂运算。
1. 加法：使用“+”运算符，用于将两个矩阵对应位置的元素相加，并返回一个新的矩阵。
例如：复制代码A = [1 2 3;4 5 6];B = [10 20 30;40 50 60];C = A + B;则C的值为：复制代码C = [11 22 33;44 55 66];1. 减法：使用“-”运算符，用于将两个矩阵对应位置的元素相减，并返回一个新的矩阵。
例如：复制代码A = [1 2 3;4 5 6];B = [10 20 30;40 50 60];C = A - B;则C的值为：复制代码C = [-9 -18 -27;-36 -45 -54];1. 乘法：使用“*”运算符，用于计算两个矩阵的乘积。
其中第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
例如：复制代码A = [1 2;3 4];B = [5 6;7 8];C = A * B;则C的值为：复制代码C = [19 22;43 50];1. 除法：使用“/”运算符，用于计算一个矩阵除以另一个矩阵的逆。
例如：复制代码A = [1 2;3 4];B = [5 6;7 8];C = A / B;则C的值为：复制代码C = [-0.25 -0.1667;0.375 0.25];1. 幂运算：使用“^”运算符，用于计算一个矩阵的乘幂。
例如：复制代码A = [1 2;3 4];C = A ^ 2;则C的值为：复制代码C = [7 10;15 22];。
Matlab矩阵及其运算
2.2 Matlab矩阵及其操作
2.2.3 特殊矩阵 • 通用特殊矩阵
zeros：产生全0矩阵(零矩阵) ones：产生全1矩阵(幺矩阵) eye：产生单位矩阵 rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵 randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随 机矩阵
2.2 Matlab矩阵及其操作
2.4 字符串、结构和单元数据
2.4.1 字符串 • 构建
使用‘单撇号’括起来的字符序列，例：str=‘Hello World!’
• 字符串操作
以ASCII码形式存储 获取字符ASCII值：double或abs函数 ASCII转化为字符输出：char函数 例： double('a') abs('a') char(63) (Ex2_12)
定义[ ]为空矩阵，x=[ ] x=[ ]与clear x的区别 将某些元素从矩阵中删除可设置为空矩阵
• 改变矩阵形状
reshape(A,m,n)函数 例：x=[23,45,56,67,78,34,98,65,43,76,12,46] y=reshape(x,3,4) y1=reshape(x,2,6)
• 转置与旋转
转置：单撇号(’)，即A’ 旋转：rot90(A,k)函数 左右和上下翻转：fliplr(A)和flipud(A)
2.3 Matlab运算与矩阵分析
2.3.2 矩阵分析 • 矩阵的逆和伪逆：inv(A) 和pinv(A) • 方阵行列式：det(A) • 矩阵的秩与迹：rank(A)和trace(A) • 向量和矩阵范数：norm(V,1)、 norm(V)和 norm(V,inf) • 矩阵条件数： cond(V,1)、 cond(V)和 cond(V,inf) • 矩阵特征值与特征向量：[V,D]=eig(A) (Ex2_11)
matlab程序设计矩阵及其运算
matlab程序设计矩阵及其运算1. 矩阵的定义和表示在matlab中，矩阵是一种常用的数据结构，用于存储和处理多维数据。
矩阵由行和列组成，每个元素都有一个唯一的位置。
在matlab中，可以通过方括号[ ]来定义和表示矩阵。
以下是一些常见的矩阵定义：一维行向量：matlabA = [1 2 3 4 5];一维列向量：matlabB = [1; 2; 3; 4; 5];二维矩阵：matlabC = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];可以使用size()函数获取矩阵的维度信息，例如：matlab[m, n] = size(C); % m为行数，n为列数2. 矩阵的运算matlab中的矩阵可以进行各种运算，包括基本的加减乘除运算、转置运算、矩阵乘法运算等。
2.1 加法和减法矩阵的加法和减法可以使用+和-运算符进行，例如：matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];B = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1];C = A + B; % 矩阵的加法D = A B; % 矩阵的减法2.2 矩阵乘法矩阵乘法在matlab中使用运算符进行，例如：matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];B = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1];C = A B; % 矩阵的乘法2.3 转置运算矩阵的转置表示将矩阵的行和列互换，使用'运算符进行，例如：matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];B = A'; % A的转置矩阵2.4 矩阵的逆运算矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A B = B A = I，其中I为单位矩阵。
在matlab中，可以使用inv()函数来求一个矩阵的逆矩阵，例如：matlabA = [1 2; 3 4];B = inv(A); % A的逆矩阵需要注意的是，不是所有的矩阵都有逆矩阵，对于不可逆的矩阵，inv()函数会报错。
MATLAB矩阵及运算
点乘——元素对元素乘法 叉乘——矩阵对矩阵乘法
对比举例
矩阵的右除、左除
MATLAB的基本处理单元是复数矩阵(标量是一 个1*1的矩阵)。而在《线性代数》理论中没有除 法运算。所以定义了除法为乘法的逆运算。
注意:因为矩阵乘法不满足交换律,即一般 A*B≠B*A，所以除法要考虑“右除”、“左 除”。
2.1.2 变量
变量的命名规则: 1）变量名、函数名对字母的大、小写敏感。 2）变量名由字母、数字和下划线构成。第一个
字母必须是英文字母。 3）有字符个数限制（版本5.0 ：最多31个字符）
2.1.2 变量
MATLAB系统默认变量
重点
（注意大小写！）
i或j:
虚单元 正确:5+7j 错误：5＋j7
2.1表达式
表达式 （即语句）:将变量、数值、函数 用操作符连接起来,就构成了表达式 。
例如：a=(10j+sqrt(10))/2; ％注释 ☆行末的“;”用于抑制结果在屏幕上显示
例如： sin(a)，sin(b) ，a+b ☆同在一行的表达式，必须用“，”分开
2.2 矩阵的产生与操作
矩阵的产生:
A./Baa31//b b1 3
a2/b2 a4/b4
B.\A
A.\Bbb31//aa13 bb42//aa42B./A
分析:
K/N＝K*inv(N)
因为N不是方阵,没有逆 阵，所以报告错误。
K\N＝inv(K)*N
因为K的逆阵尺寸2×2， N的尺寸2×3，所以结 果矩阵2×3。
矩阵元素的指数运算
这种战略取得了成功：使人们不在编程细节上化 精力，把注意力集中到科学计算的方法和建模合理性等 大问题上。
MATLAB矩阵及其运算变量和数据操作MATLAB矩阵
2．赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接 起来的式子，其结果是一个矩阵。
例2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。 在MATLAB命令窗口输入命令： x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y)) 其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量， 分别代表代表圆周率π和虚数单位。 输出结果是： z= -0.3488 + 0.3286i
(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1， 倒数第二列为一个指定的向量，其他各列 是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用 一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在 MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V 为基础向量的范得蒙矩阵。例如， A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩 阵。
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展 名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。 变量名表中的变量个数不限，只要内存或 文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。 当变量名表省略时，保存或装入全部变量。 -ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略 该选项时文件将以二进制格式处理。save命 令中的-append选项控制将变量追加到MAT 文件中。
例2-7 求(x+y)5的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6) 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展 开式的系数。
2.3 MATLAB运算 2.3.1算术运算 1．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、 －(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个 数据的算术运算只是一种特例。
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>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; % 建立 3×4 的矩阵 A >> A % 显示矩阵 A 的內容 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理 4 取矩阵的任意部分
int32；uint32；int64；uint64），通过 intmax('int8')和intmin('int8') 函数返回该 类整型的最大值和最小值 2、浮点：（single；double）： REALMAX('double')和REALMAX('single')分别 返回双精度浮点和单精度浮点的最大值， REALMIN('double')和REALMIN ('single')分别 返回双精度浮点和单精度浮点的 最小值。
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
主要内容有： 主要内容有： 1、一般操作 、 2、向量建立与操作 、
向量只有一行， 向量只有一行，各元素之间用空格或逗号分隔 向量可看成是一个只有一行的矩阵
向量运算包括： 向量运算包括：
任取向量的一个元素或一部分元素 改变某个或某部分元素的值 向量的扩充 删除某个或某部分元素 向量的运算。 向量的运算。
2 向量操作 (任取向量的一个元素或一部分 任取向量的一个元素或一部分) 任取向量的一个元素或一部分
>> s = [1 3 5 2]; >>a=s(3) %取s的第三个元素 >>a=s(2:3) %取s的第二和第三个元素 >>a=s(2:end) %取s的第二至第四个元素 >>a=s(1:3) %取s的第一和第三个元素
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理 补充
在matlab编程时，经常遇到的情况是 B=[]; %误差方程的系数矩阵用B表示 For i=1:hangzs xs1= xs2= … B=[B;xs1,xs2…]; End 平差78页水准网的误差方程系数阵[1 1 -1 0;0 1 0 -1] xs1=1;xs2=1;xs3=0;xs4=-1; B=[B;xs1 xs2 xs3 xs4]; xs1=0;xs2=1;xs3=0;xs4=-1;
结 束 语
本课程基于matlab语言基础， 本课程基于matlab语言基础，望大家以后 matlab语言基础 进一步学习，方能编写出高质量m文件， 进一步学习，方能编写出高质量m文件，以 适应高科技的需要。 适应高科技的需要。
望你们今后能成为matlab高手。 望你们今后能成为matlab高手。 matlab高手
1 一般操作
不让 MATLAB 每次都显示运算结果，只需在运 算式最后加上分号（;）即可，例如： >> (5*2+3.5)/5; 若要加入注解（Comments），可以使用百分比 符号（%）例如： >> y = (5*2+3.5)/5; % 將 运算结果储存在变量 y，但不用显示于屏幕。
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
变量命名规则与使用 数据类型 常见的数学函数 测绘中常见的特殊矩阵 向量与矩阵的处理
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
特别提醒：编程的基础，全是重点
变量命名规则与使用 命名规则与 第一节 变量命名规则与使用
第一个必须是英文字母，其组成可以是任意字母、数 字、下划线，中间不可留空格、标点符号。 最多只能有 63个字母，关键字和标准函数名不能用作 变量。 使用变量时，不需预先经过变量声明，而且所有数值 变量均以预设的 double （双精度）形式储存。 MATLAB标准函数名必须用小写字母，所以建议定义 变量、自编函数名时用小写字母。 在matlab中，变量名是区分大小写的。 特别提醒：在编程时，变量的命名是很有学问的，不要 随便命名，养成变量命名的好习惯。
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
2 向量操作 (向量的扩充)
>> s = [1 3 5 2]; >>s(8)=7 %加入第八个元素的值为7 %第五、六、七个元素未赋值为0
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
2 向量操作 (向量的删除)
>> s = [1 3 5 2 0 0 0 7]; >>s(3)=[] %删除第三个元素 s(5:7)=[] %删除第五、六、七个元素 S=[] %全部删除
>> A(:, 2) = [] % 刪除矩阵 A 第二列（：代表所有横列， []代表空矩阵） A= 1 3 4 5 5 5 8 6 9 11 12 5 >> A([1 4], :) = [] % 刪除第一、四列（：代表所有直 行，[]是空矩阵） A= 5 5 8 6 MATLAB 也支持复数运算，通常以 i 或 j 代表单位虚 数（不要求掌握）
e
x
>> y = log(x) % 自然对数 ln(x) Fix 向零方向取整 round四舍五入到邻近的整数
第四节 测绘中常见的特殊矩阵
特殊矩阵zeros ones eye rand randn为必须掌握，其余不 要求掌握。 rand是0-1的均匀分布，randn是均值为0方差为1的正 态分布 rand(n)或randn(n)生成n*n的随机数矩阵 rand(n,m)或randn(m,n)生成m*n的随机数矩阵
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理 4 矩阵的扩充
>> A = [A B‘] % 将矩阵 B 转置后、再以行向量并入矩 阵A A= 1 2 3 4 5 5 6 5 8 6 9 10 11 12 5 特别提醒： 利用已建好的矩阵建立更大的矩阵 两个矩阵合并行、列的对应关系
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理 4 矩阵的删除
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
3、矩阵建立 、 将矩阵的元素用[]括起来 将矩阵的元素用 括起来 同一行各元素之间用空格或逗号分隔 不同行元素之间用分号分隔 4、矩阵操作 、 取矩阵的任意部分 更改矩阵的值 矩阵的扩充 矩阵的删除 5、工作空间变量的清除、存储与恢复 空间变量的清除、 、
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
5 工作空间变量的清除、存储与恢复
clear 指令来清除或刪除工作空间內的某一特定或所 有变量； Clear all %刪除工作空间內的所有变量 Clear a %刪除工作空间內的变量a save filename [变量名表] [-append] [-ascii] %将内存变量以二进制或ascii格式存储 %变量名表以空格分隔 Load filename [变量名表] [-ascii] %将存贮的变量恢复
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
• 向量操作 (向量的运算 向量的运算) 向量的运算
例如： >> s = [1 3 5 2]; a=[2 5 3 1]; >> t = 2*s+1 %s所有的元素乘以2加1 >> t =s+a %s的元素加a对应位置的a的元素
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
先介绍两个产生行向量表达式或函数： 先介绍两个产生行向量表达式或函数： 1、冒号表达式 、 e1:e2:e3 功能：产生一个行向量（必须掌握） 功能：产生一个行向量（必须掌握） e1为初始值 为初始值 e2为步长 为步长 e3为终止值 为终止值 如果步长为1， 省略 如果步长为 ，e2省略 2、函数 、函数linspace(a,b,n) a为向量的第一个元素 为向量的第一个元素 b为向量的最后一个元素 为向量的最后一个元素 n为元素总数 为元素总数
eps是一个函数，eps在matlab中叫做“浮点零”，也 叫matlab中的零值 ，是一个非常非常小的数，但不是0。在 程序中的应用是防止分母为零。
第二节 数据类型
MATLAB共有15种基本类型，每一种类型可以是一维 、二维或多维的；我们常用到的几种类型： 1、整型：（int8；uint8；int16；uint16；
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理 4 更改矩阵的值
>> A(2,3) = 5 % 将矩阵 A 第二行、第三列的元素值， 改为 5 A= 1 2 3 4 5 6 5 8 9 10 11 12 >> A(2,1:3)=1 % 取出矩阵 A 的第二行、第一至第三 列，并赋值为1 A= 1 2 3 4 1 1 1 8 9 10 11 12
0
命令窗口中指令行的编辑
本章导读
Matlab 的大部分运算或者命令都是在矩阵 运算的意义下执行的，所以矩阵是matlab 最基本、最重要的数据对象，许多含有矩 阵的复杂计算用matlab很容易得到解决， 所以矩阵运算非常非常重要。希望大家对 本章重点掌握。
第二章 MATLAB矩阵及其运算
本节课主要内容
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
1 一般操作
直接在MATLAB 命令窗口內的提示符>>之后输 入运算式，并按入 Enter 键即可。 例如： >> (5*2+3.5)/5 2.7000 ans =
极坐标的计算 ：A（2,2），A到B方位角45度， A到B边长10米，求B的坐标
向量与矩阵的 第五节 向量与矩阵的处理
第二节 数据类型
3、逻辑 ：返回1（真）或0（假），5>4,5<4 4、字符 ：Matlab中的输入字符需使用单引号。 构成矩阵或向量的行字符串长度必须相同。 name = ['abc' ; 'abcd'] 5、日期和时间 ： clock、now、weekday、eomday、calendar、tic 、toc、cputime、datetick 6、结构 :zibozb.x=4074256.145 zibozb.y=588236.658 结构数组相当于数据库中的记录；