第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲 正切函数图像及其性质

知识梳理

1、正切函数的图像：

可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，

且()2

x k k Z π

π≠+

∈的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2

x x k k Z π

π≠+∈，

（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞

当x 从大于

，时，tan x →-∞.

（3）周期性：T π=

（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数

⎪⎭⎫

⎝

⎛-

2,2ππ()z k k ∈+

2

π

π2

π

+π−→−k x ()z k k ∈+ππ

2

ππ

k x +−→

−2

x y

y

x

（5）单调性：在开区间(,),

22

k k k Z

ππ

π

π

-++∈内，函数单调递增.

（6）中心对称点：,0,

2

k

k Z

π

⎛⎫

∈

⎪

⎝⎭

2、余切函数的图象：

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

-

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=

=

2

tan

2

tan

cot

π

π

x

x

x

y

即将x

y tan

=的图象，向左平移

2

π

个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得x

y cot

=的图象

由余弦函数图像可知：

（1）定义域：{|()}

x x k k Z

π

≠∈，

（2）值域：R

（3）周期性：Tπ

=

（4）奇偶性：tan()tan

x x

-=-，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间(,),

k k k Z

πππ

+∈内，函数单调递增.

（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

例题解析

一、正切函数的图像

例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.

【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛

⎫

+

⎪⎝⎭

()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.

（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为

(),0π，图象上的

7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫

- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，313

T π

π

==，

令

332x k ππ-=，k Z ∈，解得32

x k ππ=+，k Z ∈， 故对称中心为3,02k ππ⎛

⎫

+

⎪⎝

⎭

()k Z ∈. （2）令

033

x π

-=，解得x π=，

令

334

x ππ-=，解得74x π=，

令

334x ππ

-=-，解得4

x π=， 令

332

x ππ-=，解得52x π=，

令

332

x ππ-=-，解得2x π

=-，

所以函数()tan 33x f x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π， 图象上的点有7,14π⎛⎫

⎪⎝⎭、,14π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

两点， 在这个5,22ππ⎛⎫-

⎪⎝⎭

周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=， 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

内的简图(如图).

【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.

例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos x

f x x

=

． （1）求函数()f x 的定义域；

（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性； （3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．

【答案】（1）,2x x k k Z π

π⎧⎫

≠+

∈⎨⎬⎩

⎭

；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；

（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；

（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可

【详解】（1）由cos 0x ≠,得2

x k π

π≠+

（k Z ∈）,

所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z π

π⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭

.

（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,

因为()()()

()sin sin cos cos x x

f x f x x

x ---=

=

=--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22

tan ,22x x f x x x x ππππππ

⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩

或,

所以()f x 在[]

,ππ-上的图象如图所示,

【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】

||y tan x =等价于 0,2()0,2

tanx x x k y k Z tanx x x k πππ

π⎧

≥≠+⎪⎪

=∈⎨

⎪-<≠+

⎪⎩

，图像如图所示．

例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★

【答案】定义域：{|,}2x x k k Z π

π≠+

∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2

k k π

ππ+

（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】

（1）Z k k k ∈⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

,,2ππ

π, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3

例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42

k k k Z π

π

ππ-

+∈

（2）[,),32

k k k Z π

π

ππ+

+∈

例7.比较下列两数的大小

（1）2tan

7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13

tan()5

π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan

7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13

tan()5

π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）

.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个

【难度】★★

【答案】B

【巩固训练】

1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图

2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628

k k k Z ππππ-+∈

3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-

413tan π与⎪⎭

⎫

⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★

【答案】

tan

413tan -=⎪⎭

⎫

⎝⎛-

π 4π，

52tan

517tan ππ

-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-，

⎪⎭⎫

⎝⎛=<

<

2,0tan ,524

0πππ

在x y

内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ

517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan

4

tan

即 4．若()tan()4

f x x π

=+，

试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★

【答案】(1)(1)(0)f f f <-<

5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．

【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

k ()k Z ∈；（2）图象见解析

【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.

【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

x f x ，212

T π

π

==.

令

232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23

ππ=+x k ，k Z ∈， 故对称中心为2

,03

ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

k ()k Z ∈.

（2）令

023x π-=，解得23x π=，令234x ππ

-=，解得76

x π=， 令

234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ

-=，解得53

x π=， 令

232x ππ

-=-，解得3

x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫

=-

⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3

x π

=-和53

x π

=

. 故函数在一个周期内的函数图象为：

【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.

二、正切函数的定义域及值域

1、正切函数的定义域

例1.求下列函数的定义域

（1）tan 2y x = （2

）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x

=

+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧

⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭

且 （4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧

⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭

且

例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）

A ．2

2tan

21tan 2x

y x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=

【答案】C

【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.

【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧

⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭

， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,2

2x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k π

π≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Z

πππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭

，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭

， 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x =

==+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x

-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭

， 与()tan f x x =定义域不相同.

故选：C.

【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.

例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________

【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ

--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩

即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩

所以x ∈[1,)(,)(,1]4444πππ

π---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ

--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ

---

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数

()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.

【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090

x x ->

⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩

，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

因此，函数()y f x =的定义域为3,,4

242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪

⎪⎝

⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

例5.求函数y =lg(tan x -+

3cos 2+x 的定义域． 【难度】★★

【答案】(,),

32k k k Z ππ

ππ++∈

【解析】tan 2cos 0,2

x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππ

ππ++

∈ 【巩固训练】

1．函数tan 4y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

的定义域为__________ 【难度】★

【答案】,4x x k k Z ππ⎧

⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭

2．与函数)42tan(π

+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）

.A 2π

=x .B 2π

-=x .C 4π

=x .D 8π

=x

【难度】★

【答案】D

3．求下列函数的定义域

(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4

x y x x π=+⋅- ． 【难度】★★★

【答案】见解析

解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2

x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩

(2,2)(2,2),()443

x k k k k k Z πππ

ππππ⇒∈+++∈． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．

2、正切函数的值域与最值

例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数

()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x

-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧

⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭

；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.

【答案】③④

【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.

【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x

-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠

， 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧

⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭

； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)

x x x x f x x x x x x --===+--

所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；

()f x 在定义域上不具有单调性

故答案为：③④

【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：

（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭

x y x x π； （2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦

y x x x ππ． 【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以

1211t 1

t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭

x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1

t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，

()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11

t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣

⎦y x x x ππ

所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦

令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦

所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝

⎭

所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣

⎭上单调递减， 313

24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：

（1）tan ,,626⎛

⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

y x x πππ； （2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭

x y x x ππ； （3）2

sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．

【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭

；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+

，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.

（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t

+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.

（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到2

22y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π

=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

上为增函数，所以所求函数值域为[． （2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ

，所以⎛∈- ⎝⎭

t ．

212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭

t t y t t t t ． 因为1y t =-为减函数，所以31y t =

-

在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数， 即：321=-+-y t

在⎛∈- ⎝⎭

t 上为增函数， 所以min 31222y =-+=-

，max 522y +=-=.

所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭

． （3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ

+=++++=++． 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦

t ππθθ

，所以[∈t ．

2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．

当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+

所以函数的值域为[1,5+．

【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.

例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛

⎫

⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]

32,324- 例5.若⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π

=-时，min 1y =； 4x π=

时，max 5y =

例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,

],[0,]34

x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】3

23-=a 例7.求函数252tan 4tan 3

y x x =

-+的值域. 【难度】★★

【答案】(0,5] 【巩固训练】

1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域