【教案】人教A版(2019)选择性必修第二册5.3函数的极值与最大(小)值(2)教学设计

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(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=M．
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值（minimum value）.
如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值．
问题2下图是函数y=f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？
观察图象，我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y=f(x)的极小值，f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y=f(x)的极大值．
问题3进一步地，你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？
从图可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(a)．
追问在下面两幅图中，观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们
在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
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结论一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它
必有最大值和最小值．
问题4最值与极值有什么区别和联系？
最值与极值的区别是：
1.极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质；
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的；
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外).
4.函数的极值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最值可以在端点取到.
最值与极值的联系是：
最值有时是函数的极值.
问题5如何求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值呢？
结合上面两幅图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．
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例 求函数f (x )=13
x 3-4x +4在区间[0，3]上的最大值与最小值.
解：又由于f (0)=4，f (3)=1，
所以，函数f (x )=13
x 3-4x +4在区间[0，3]上的最大值是4，最小值是-43
.
小结 一般地，求函数y =f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y =f (x )在区间[a ，b ]内的极值；
(2)将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
观察上图，我们发现，当x >0时，1-1
x ≤ln x .
例 当x >0时，证明：1-1
x
≤ln x .
解 将不等式1-1x ≤ln x 转化为1
x -1+ln x ≥0.
设f (x )= 1
x -1+ln x ，那么f ′(x )= -1
x 2+1x =x−1
x 2. 令f ′(x )=0，解得x =1.
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