拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换
L[ f (t)] = F1(s) + e F1(s) + e
= F (s)[e 1
−sT
−sT
−2sT
F1(s) + ⋅ ⋅ ⋅
+e
−2sT
+e
−3sT
1 F (s) + ⋅ ⋅ ⋅] = −sT 1 1− e
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f(t)
1 L[ f (t)] = F (s) −sT 1 1− e
1 d L[cos ωt] = L (sin( ωt) ω dt s 1 ω = = s 2 − 0 2 2 2 ω s +ω s +ω
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(2) f (t) = δ( t)的象函数
解
1 L[ε (t )] = s dε (t) 1 L[δ (t)] = L[ ] = s − 0 =1 dt s
∞
1 1 1 = ⋅ = 2 s s s
2 s3
L[t ε (t)]= L[2∫ tdt] =
2
t 0
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4.延迟性质 4.延迟性质 若： L[ f (t)] = F(s)
则： L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = e F(s)
−st0
例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t) = ε (t) − ε (t − T )
二. 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 1.线性性质 若 L[ f1(t)] = F (s) , 1
则 L [A f1(t) + A2 f2 (t)] = A L [ f1(t)] + A2L[ f2 (t)] 1 1
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
拉普拉斯变换
1 d 例1：L[cos t ] L[ (sin t )] dt
[s 2 sint 2 s
1
0
s ] 2 s 2
1 d 例2：L[ ( t )] L[ ( t )] S ( t ) 0 1 S dt
三. 时域的积分性质
设：L[ f (t )] F ( s)
st L[ ( t )] 0 ( t ) e dt 0 (t )dt
0
=1
4.
f (t ) t
n
n
L[t ] t ne st dt 0
0
t n st de s
t n st e s
t 0 st lim t e
n
R u+ C -
uC (0 ) 0
1 sRCU ( s ) U ( s ) s 1 U ( s) s(1 sRC )
du RC u ( t ) dt
用初值定理和终值定理验证
1 1 u(0 ) lims lim 0 s s(1 sRC ) s (1 sRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 sRC )
e-t sint
2
s
2
( s )2 2
e-t cost
s ( s )2 2
cos t
s s2 2
§ 3 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数 (1)利用公式 f(t)=L-1[F(s)]
1 j st f (t ) F ( s ) e ds t 0 2j j
t 0 s
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )
拉普拉斯变换
A 1 1 2 j s j s j A 2 S 2
典型函数的拉氏变换
单位脉冲函数
f(t)=δ (t)
f(t)=1(t) f(t)=t f(t)=t2/2
F(s)=1 F(s)=1/s F(s)=1/s2 F(s)=1/s3
单位阶跃函数
单位斜坡函数
s1 0; s2,3 0.5 j0.866
展开式为:
s 1 c1 lim sF ( s) lim s 2 1 s 0 s 0 s( s s 1)
c1 c2 s c3 F ( s) 2 s s s 1
s 1 2 [ 2 ( s s 1)]s 0.5 j 0.866 [c2 s c3 ]s 0.5 j 0.866 s( s s 1)
d 2uo (t ) duo (t ) 例：已知某系统的微分方程 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
输入信号：ui(t)=1(t) 初始条件： uo(0)=0.1
du (t ) dt
t 0
0.1
解：设：Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)] 由拉氏变换的微分定理，得：
5s 3 的原函数 f (t） ( s 1)( s 2)( s 3)
c3 c1 c2 s 1 s 2 s 3
F(s)可展开为: F ( s ) 其中:
5s 3 5 (1) 3 c1 lim ( s 1) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) (1 2)(1 3) s -1 5s 3 5 (2) 3 c2 lim ( s 2) 7 ( s 1)(s 2)(s 3) (2 1)(2 3) s -2
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拉普拉斯变换(知识准备)
一、拉普拉斯变换定义 设f(t)是时间t的函数 t<0 f(t)=0 则
称为函数f(t)的拉普拉斯变换 说明： （1）s是复数 s j （2）L为积分运算符，表示对函数f(t)做积分变换 （3）F（S）为f(t)的拉普拉斯变换 （4）积分运算是单边积分 当t<0时 f(t)=0 (5) F(S)存在的条件：函数f(t)增大是指数级的
2
L[ f (t )] s F ( S )
n n
【定理3】（积分定理）设f(t)可作拉氏变换，且为F(s)， 则：
F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 L[ f (t )dt ] s s L[ [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) 2 ]t 0 F (s) 2 f (t )(dt ) ] 2 2 s s s
(s a)2 2 sa (s a)2 2
五、拉氏反变换的定义
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e ds j 2 j
1
j
S平面
六、用部分分式展开法求拉氏反变换
B( s) b0 s b1s bm 1s bm F ( s) n n 1 A( s) s a1s an 1s an
L f1(t ) f 2 (t ) L f 2 (t ) f1(t ) F1(s) F2 (s)
【定理11】 (单边周期函数)设f(t)是周期为T的函 数,即对于任意整数n有:
f (t ) f (t nT )
1 1 e sT
则周期函数f(t)的拉氏变换为:
F (s)
【例2】求单位斜坡函数的拉氏变换
0 f (t ) t
F ( S ) L[ f (t )]
t0 t0
st st e st
0 te
st
dt t
e
s
0
0
s
dt
1 s
(
0
e
dt
b a
1 s
2
a
b
udv uv
a
b
vdu)
【例3】求正弦函数的拉氏变换
四、常用拉氏变换对
f (t ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F (s) 1 1 s 1 s2 1 s n 1 1 sa s2
(t )
u (t ) t 1 n t n! e at sin t c ost e a t sin t e a t c ost
2
s
s2 2
st0
L[理有
s
L[e
at
sin t ] F ( s a )
f (t )
( s a)
2 2
2、由拉氏变换求函数初值
【例6】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求初值f(0) 【解】由初值定理可得：
1 L[ f (t )] sa
2 1 1 F ( s) s 1 s 2 s 3
则F(s)的拉氏反变换为
f (t ) 2e
t
e
2t
e
3t
t0
【定理2】当方程A（S）=0有n重实数根时有
B( s) B( s) F (s) A( s ) ( s p ) n k1 k2 kn n n 1 s p ( s p) ( s p)
【定理8】 （初值定理）若f(t)和它的一阶导数可作拉 氏变换,且sF(s)在s趋于无穷时极限存在，则：
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
s
【定理9】 （终值定理）若f(t)和它的一阶导数可作拉 氏变换,且sF(s)在s趋于零时极限存在，则：
t
参考输 入信号 r
偏差信 号e
控制量 u
扰动 n
控制环节 GC 比较 环节 反馈信号 b 反馈环节
被控对象
GO
H
输出信号 C
自动控制理论的发展概况
1 经典控制理论
– – – – 40~50年代形成 SISO系统 基于：二战军工技术 目标：反馈控制系统的镇定 基本方法：传递函数，频率法，PID调节器
拉普拉斯变换
主要内容 1、自动控制系统中的术语和定义
2、自动控制理论的发展概况
3、拉普拉斯变换
4、拉普拉斯反变换
自动控制系统中的术语和定义 反馈控制系统的基本组成
反馈控制系统结构框图
① 测量元件：测量被控量的实际值或对被控量进行物 理转换。 ② 比较元件：将测量值和给定值进行比较，得到偏差。
③ 控制元件： 根据偏差大小产生控制信号。通常包括 放大器和校正装置，控制信号和偏差信号具有一定 关系(称为调节规律)。 ④ 执行元件：由控制信号产生控制作用，从而使被控 制量达到要求值。阀、电动机、液压马达等。 ⑤ 被控对象：被控制的机器、设备或过程等。
函数f(t)增大是指数级的含义:
存在常数
M 0
ct
C0
使得
f (t ) Me
【例1】
0t
求单位阶跃函数的拉氏变换
0 f (t ) 1
【解】 根据定义有
t0 t0
F ( S ) L[u (t )] e
0
st
1 st dt e S
0
1 s
s 1 f ( 0 ) lim sF ( S ) lim s s s a
3、由拉氏变换求函数终值
【例7】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求终值f(∞)
【解】由终值定理可得：
1 L[ f (t )] sa
s 0 f ( ) lim sF ( S ) lim s 0 s 0 s a
1 jt (e e jt )e st dt 2j
1 2j
0
e
( s j ) t
dt
0
e
( s j ) t
1 1 1 dt 2 2 2 j s j s j s
【例4】求指数函数的拉氏变换
L[af1(t ) bf 2 (t )] aF1( s) bF2 (s)
说明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏 变换的线性组合。
L[ af1 (t ) bf 2 (t )]
0 [af1(t ) bf2 (t )]e dt st st a 0 f1(t )e dt b 0 f 2 (t )e dt
k1 k2 k3 F ( s) s 1 s 2 s 3
3s 7 k1 ( s 1) F ( s) s 1 ( s 1) 2 ( s 1)(s 2)(s 3) s 1 3s 7 k2 ( s 2) F ( s) s 2 ( s 2) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) s 2 3s 7 k3 ( s 3) F ( s) s 3 ( s 3) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) s 3
st
aF1 ( s ) bF2 ( s )
【定理2】（微分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s),其 一阶导数可作拉氏变换，则
二阶： n阶：
L[ f (t )] sF (s) f (0) 2
( n)
L[ f (t )] s F ( s) sf (0) f (0)
0
T
f (t )e
st
dt
三、变换定理的应用
1、简化求拉氏变换的过程
【例5】求下列函数的拉氏变换
(1)
0 f (t ) u (t t0 ) 1
t t0 t t0
st0
(2) f (t ) e at sin t 【解】（1）根据时间平移定理有
L[u (t t0 )] e
0 f (t ) at Ae
t0 t0
at st
F ( S ) L[ f (t )]
A
0
[ Ae
]e
dt
0
e
( s a )t
A dt sa
二、拉氏变换定理
【定理1】（线性变换定理）若函数f1(t)和f2(t)都可 作拉氏变换，且其拉氏变换分别为F1(s)和F2(s)，a 和b是任意常数，则有
L[ f (t t0 )u (t t0 )] e
st0
F ( s)
说明：时间域函数偏移或延迟t0的拉氏变换，为非偏 移函数的拉氏变换乘以一个指数项，该指数项称为偏 移或延迟算子。 【定理5】 （复频率平移定理）若f(t)的拉氏变换是 F(s),a是任意常数，则
L[e
at
f (t )] F ( s a)
【定理6】 （复数微分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s), 则
d L[t f (t )] F (s) ds
f (t )] ( 1)
n
推广：
L[t
n
d
n n
F (s)
ds
【定理7】 （复数积分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s), 则 f (t )
L[
t
]
s
F ( s ) ds
ki ( s pi ) F ( s)
s pi
i 1, 2 ,n
则F(s)的拉氏反变换为
p t f (t ) k1e 1
p t k2e 2
kn
p t e n
t 0
【例8】用部分分式展开法求下列函数的拉氏反变换 3s 7 F (s) 3 s 6 s 2 11s 6 【解】 3s 7 3s 7 F (s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 1)(s 2)(s 3)