高中数学人教B版必修一学案：第二单元 2.3 函数的应用(Ⅰ) Word版含答案
人教B版高中数学必修一《第二章 函数 2.3 函数的应用(Ⅰ)》_7
函数的应用教学目标根据课程标准要求，本课的教育教学目标可分为三个维度加以说明：1.知识目标：能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题．(1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义．(2) 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题．(3) 能处理有民生、经济、物理等方面的实际问题．2.能力目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3.情感目标：通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．【设疑导思，引入新课】引例：西湖旅游景区附近的某旅馆有客房50间，每间日房租90元，每天都客满，旅馆欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租增加10元，客房出租数就会减少2间，若不考虑其他因素，旅馆老板将房价租金提高到多少元时，每天客房的租金收入最高？【概念形成】1.函数应用的内涵应用函数解决实际问题，即把抽象为.2.处理好函数的应用，通常需要做到如下几步：（1）读题：仔细读题目，弄清楚题目中的数字代表的及其数学含义.（2）建模：建立相应的函数模型。
常见的函数模型有，，，等. （3）求解：用相应的和，去求解函数.（4）检验：把解出的数学问题放回到，得出符合条件的结论.【学以致用，小试牛刀】例题1 东方职业学校营销专业的创业小组学生购进一批服装，每批的进价是60元.在销售过程中他们发现：当每件售价为75元时，日销售量为85件；当每件售价为90元是，日销售量为70件.假设日销售量p(件)与每件售价x(元)之间的函数关系为：p=kx+b(每件售价不低于进价，且货源充足).•(1)求出p与x之间的函数关系式；•(2)设每天的利润为y(元)，若不考虑其他费用，则每件售价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？反思提炼：通常我们做销售问题时，要认真读题，要理解其中的销售术语的含义及关系，如“单价”、“销售量”、“成本”、“销售收入”、“利润”等.通过构造二次函数求出最值，通过构造二次不等式求出使收入增加的商品定价范围.例2 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式．居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费．该市居民当月用电量x（度）与应付电费y（元）的函数图像如图所示．•(1) 求该市居民用电的基础电价是多少元/度？•(2) 某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元？•(3) 当时，求x与y的函数关系式(x为自变量)．第2题图反思提炼：分段函数是高考热点问题.现实生活中很多问题都是用分段函数来表示的，如出租车计费、个人所得税、水电费、天然气价格改革等热点问题，都与人们的生活息息相关，体现了数学的大众性和重要性，要求同学们灵活掌握。
数学人教B版必修1学案2.2.3 待定系数法 Word版含解析
数学人教必修第二章待定系数法．了解待定系数法的概念．．掌握用待定系数法求函数的解析式．．理解待定系数法的适用范围及注意事项．．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的，可先把所求函数写为一般形式，其中待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解，其基本步骤如下：()设出含有待定系数的解析式；()根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；()解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【做一做】若()为一次函数，且满足[()]＝＋，则()的解析式为．．二次函数的三种表示形式()一般式：，其中决定开口方向与大小，是轴上的截距，而是对称轴．()顶点式(配方式)：，其中是抛物线的顶点坐标，是对称轴．()两根式(因式分解)：，其中，是抛物线与轴两个交点的．【做一做－】已知抛物线经过点(－)，顶点是(－)，则抛物线的解析式为()．＝－－－．＝－－．＝＋－．＝－－＋【做一做－】已知二次函数的图象过()，()，()三点，则这个二次函数的解析式为．确定二次函数解析式所需的条件剖析：二次函数解析式的求法有以下几种情况：()已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为＝＋＋(≠)．将点的坐标分别代入所设解析式，列出关于，，的三元一次方程组，解出，，即可．()已知顶点坐标为(，)，可设＝(－)＋，再借助于其他条件求.()已知对称轴方程为＝，可设＝(－)＋，再借助于其他条件求与.()已知最大值或最小值为，可设＝(－)＋，再借助于其他条件求和.()二次函数的图象与轴只有一个交点时，可设＝(－)，再借助于其他条件求和.()已知二次函数图象与轴有两个交点，时，可设＝(－)(－)，再借助于其他条件求.题型一用待定系数法求函数解析式【例】求下列函数的解析式：()已知()是一次函数，且满足(＋)－(－)＝＋，求()．()已知二次函数＝()的图象过(，－)，()两点，它的对称轴为直线＝，求这个二次函数的解析式．分析：对于()可设出一次函数()＝＋(≠)，对于()可设出二次函数的顶点式或一般式，利用待定系数法求出解析式．反思：通过解决本题，我们可得出：利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后求出待定系数即可．当已知函数的类型，如二次函数、一次函数、反比例函数等，可以设出所求函数的一般形式，如＝＋＋(≠)，＝＋(≠)，＝(≠)等．设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，注意提炼解题过程，简化解方程的途径．题型二已知函数图象求函数解析式【例】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当≤或≥时，函数解析式可设为＝＋(≠)；③当≤≤时，函数解析式可设为＝(－)＋(＜)或＝＋＋(＜)．反思：由函数图象求函数的解析式，关键是观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后针对不同区间上的函数，利用待定系数法求出相应的解析式．题型三易错辨析【例】已知()是二次函数，不等式()＜的解集是{＜＜}，且()在区间[－]上的其中一个最值为，求()的解析式．错解：根据()是二次函数，且()＜的解集是{＜＜}，可设()＝(－)．又∵()在[－]上的其中一个最值为，则有可能出现(－)＝或＝，即＝或－＝，解得＝或＝－.综上可知()＝(－)＝－或()＝－(－)＝－＋.反思：在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万别出现增解或漏解现象．若函数＝＋的图象经过点(，－)和(－)，则这个函数的解析式为()．＝－．＝＋．＝－－．＝－＋已知二次函数＝＋＋(≠)的最大值为，图象顶点在直线＝＋上，并且图象过点(，－)，则，，的值为()．－．，－．－，－．－，－已知()＝，()是一次函数，且是增函数，若[()]＝－＋，则()＝.已知抛物线＝(≠)与直线＝＋(≠)交于两点，其中一交点为()，则另一交点为．已知二次函数()图象的对称轴是直线＝－，并且经过点()和()，求二次函数()的解析式．答案：基础知识·梳理．一般形式系数求待定系数【做一做】()＝－－－或()＝＋－已知()为一次函数，可以使用待定系数法．设()＝＋(≠)，则[()]＝(＋)＝(＋)＋＝＋＋，利用对应系数相等即可求得＝－，＝－－或＝，＝－.．()()＝＋＋(≠)＝－()()＝(－)＋(≠)(，)＝()()＝(－)(－)(≠)横坐标【做一做－】设所求解析式为＝(＋)＋(≠)．∵抛物线过点(－)，∴＝＋.∴＝－，∴＝－(＋)＋＝－－－.。
新人教B版高中数学(必修1)2.3《函数的应用(Ⅰ)》word教案
用函数模型解实际问题一、用电问题例1 某地区上年度电价为0.8元/（kW ·h ），年用电量为a kW ·h ，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW ·h ）至0.75元/（kW ·h ）之间，而用户期望电价为0.40元/（kW ·h ）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ），该地区电力的成本价为0.3元/（kW ·h ）．（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式． （注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））．（2）设0.2k a =，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％？解析：（1）设下调后的电价为x 元/（kW ·h ），依题意知用电量增至0.4k a x +-（kW ·h ），电力部门的收益为：(0.3)(0.550.75) 0.4k y a x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭≤≤． （2）依题意有[]0.2(0.3)(0.80.3)(120%)0.4a a x a x ⎛⎫+--⨯+⎪-⎝⎭≥，且0.550.x ≤≤， 整理得2 1.10.300.550.75x x x ⎧-+⎨⎩≥，≤≤，解得0.600.75x ≤≤，即当电价最低定为0.60元/（kW ·h ）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％． 评注：根据已知条件如何构建函数关系并能解决实际问题是考查的重点，本题在构建函数模型时，反比例关系不可忽视．二、纳税问题例2 2005年10月2７日，全国人大常委会通过关于修改个人所得税的决定：原来月收入超过800元就要纳税，2006年1月1日开始改为超过1600元才纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：若某人2005年９月交了个人所得税123元，则按新税法他只需交税_______元．解析：设某人工薪所得x 元，应交纳个人所得税y 元，则税法修改前函数关系为00800(800)0.0580*******(1300)0.113002800x x x y x x <⎧⎪-⨯<⎪=⎨+-⨯<⎪⎪⎩，≤，，≤，，≤， 由题设可知250.1(1300)123x +⨯-=元，2280x =，故某人工薪所得为2280元．税法修改后函数关系为001600(1600)0.0516********(2100)0.121003600x x x y x x <⎧⎪-⨯<⎪=⎨+-⨯<⎪⎪⎩，≤，，≤，，≤，故按新税法他只需交税25(22802100)0.143+-⨯=元．评注：从纳税问题抽象出函数关系是关键，本题函数模型为分段函数．三、生活水平问题例3 某地政府提出全面建设小康社会的目标．国际上常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：n ＝食品消费水平总额消费支出总额×100％，各种家庭的恩格尔系数如下表所示：根据某地区家庭抽样调查统计：预测2011年至2018年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元，其中食品消费支出总额每年平均增加300元．（1）若2011年该地区家庭刚达到温饱（n=60%），且该年度消费支出总额为10000元，问2016年能否达到小康？请说明理由．（2）若2016年比2011年的消费支出总额增加了４0％，而其中食品消费支出总额增加了20％，问该地区2018年能否达到小康？请说明理由．解：（1）2011年该地区每户家庭食品消费支出为10000×60％＝6000（元）， ∴20166000300550%1000010005n +⨯==+⨯， ∴2016年该地区能达到小康．（2）设2011年的消费支出总额为a 元，其中食品消费支出总额为b 元，则(140%)51000a a +=+⨯，(120%)5300b b +=+⨯，解得125007500a b ==，，∴201875003007960049.23%125001*********n +⨯==+⨯≈， ∴2018年该地区能达到小康．评注：本题以人民生活水平为背景，综合考查同学们运用知识解决问题的能力，注意增长量与增长率的理解．。
数学人教B必修1第二章23 函数的应用
2、3 函数的应用(Ⅰ）1。
直线型的函数模型我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的，它们在每个区间的变化率都一样. 解题时常设为:常数函数型：y ＝C （C ∈R ,C 为常数），正比例型:y ＝kx （k ≠0），一次函数型：y ＝kx ＋b (k ≠0）。
当k ＞0时后两者都是增长型函数，k 的值越大增速越快。
如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数关系,则可以用一次函数模型来解决.【例1】据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0、8元，普通车存车费是每辆一次0、5元。
若普通车存车量为x 辆次,存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A.y ＝0、3x ＋800(0≤x ≤2 000）B.y ＝0、3x ＋1 600（0≤x ≤2 000)C 。
y ＝－0、3x ＋800（0≤x ≤2 000)D.y ＝－0、3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)解析:由题意可知总收入y （元）关于x （辆次）的函数关系式为y ＝0、5x ＋(2 000－x )×0、8＝－0、3x ＋1 600,0≤x ≤2 000、答案：D2。
二次函数模型的建立投物、射击、喷泉、灌溉等相应物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有二次函数关系时,可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型，利用图象的性质解答。
【例2】某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面3 m 高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为 6 m,如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0、1 m)( ）A.6、9 mB.7、0 mC 。
7、1 m D.6、8 m解析：可建立坐标系，设出抛物线的解析式为y ＝a (x 2－16）(a ＜0)。
又点（3，3）在抛物线上,∴3＝a (9－16)。
∴3=7a -、∴23=(16)7y x --。
人教B版高中数学必修一教案-2.3 函数的应用(Ⅰ)
巩固练习
教材例3
学生独立完成，然后展示解决问题的过程
使学生巩固本节所学知识和方法。
问题解决
对课前提出的问题，建立直角坐标系分析思路，提问如何去解决
分析思路引导学生思考如何去求函数关系式，一般式和顶点式，然后分析怎样去求喷水水池的半径。
（2）如何列函数关系式？
学生读题，教师引导学生找出关键字句，联想学习的函数模型，回答问题，找出自变量、因变量求出关系式，求出关系式，教师板书，体现示范作用。
通过生活中的实际问题，使学生进一步认识到数学源于生活；
根据例1总结归纳解决实际问题问题的步骤，引导学生归纳。
提问学生，根据例1 的解题过程总结解决实际问题的步骤，对学生回答的问题及时补充。
水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
教师提出问题，学生思考引入课题．
通过对实际问题的引入，激发学生对本节课的兴趣。
应 用
举
例
2019年世界园艺博览会在北京举行，引出课本例1
（1）题目中自变量是什么？因变量是什么？
进一步体会数学在生活中的应用，提高学习数学的应用意识，学会生活要先学好数学。
小结
提问本节课的收获和感悟，提问解决实际应用问题的步骤及注意问题。
学生总结，师生完善
使学生养成归纳的好习惯，让学生初步掌握数学建模的基本过程
布置作业
习题2-3 A 7
习题2-3 B 3
学生课下练习与思考．
使学生巩固本节所学知识和方法。
2.3函数的应用教学设计
一、教学目标
1、能运用所学的函数知识、方法解决以一次函数、二次函数为模型的实际问题
人教B版高中数学必修一教案函数的应用
2.3函数的应用(Ⅰ)教学目标：学习一次、二次函数的模型的应用，解决一些简单的实际问题教学重点：一次、二次函数的模型的应用教学过程：1、复习一次、二次函数的有关知识2、解题方法：（1）审题（2）使用合适的数学模型（3）求解（4）作答3、例1是一次函数模型的例子常设一次函数为b=，使用待定系数法求解.kxy+例2、两函数差的最大值用于刻画两函数在谋取间内的近似情况。
例3、用列表法求解可以作为学生探求思路的方法，重点讲解方法二。
例4某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元／百千克，时间单位：天）杰: 由图1可得市场售价与时间t的函数关系：，由图2可得种植成本与时间t的函数关系：，由上消去t得Q与P的对应关系式：。
因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益，所以当且时，；由二次函数性质可知当P＝250时，t＝50，此时P－Q取得最大值100；当且时，；由二次函数性质可知当P＝300时，t＝300，此时P－Q取得最大值87.5。
因为100＞87.5，所以当t＝50时，P－Q取得最大值100，即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大。
课堂练习：第73页习题2-3A小结：本节课学习了一次、二次函数的模型的应用，解决一些简单的实际问题课后作业：第73页习题2-3B,1,3,4。
高中数学 第二章 函数 2.3 函数的应用(Ⅰ)教案 新人教B版必修1(2021年最新整理)
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2.3 函数的应用(Ⅰ）错误!教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用．三维目标1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．2．会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．重点难点教学重点：根据实际问题分析建立数学模型，并根据数学模型解决实际问题．教学难点：建立数学模型．课时安排1课时错误!错误!思路1例1某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km。
火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京2 h时火车行驶的路程．解：因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝错误!(h)，所以0≤t≤错误!。
因为火车匀速行驶t h所行驶路程为120t，所以，火车行驶的总路程s与匀速行驶时间t 之间的关系是s＝13＋120t(0≤t≤错误!）．离开北京2 h时火车行驶的路程s＝13＋120×错误!＝233（km)．点评：本题函数模型是一次函数,要借助于相关的物理知识来解决.）先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：）＝错误!时，错误!x－10＝50,例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元,每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高？分析：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数．设提高为x个2元,则依题意可算出总租金(用y表示）的表达式．由于客房间数不太多,为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解．解:方法一依题意可列表如下：由上表容易得到,当x＝10,即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8 000元．再提高租金，总收入就要小于8 000元了．方法二设客房租金每间提高x个2元,则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y ＝(20＋2x）(300－10x）＝－20x2＋600x－200x＋6 000＝－20(x2－20x＋100－100）＋6 000＝－20（x－10)2＋8 000。
人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用(Ⅰ)教学设计
人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用（Ⅰ）教学设计一、教学目标1.知识目标1.了解函数的概念，理解函数及其图象的基本性质；2.掌握利用函数探究问题的方法，能够用函数模型解决一些实际问题；3.了解正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质及其应用。
2.能力目标1.能够把实际问题转化为函数模型进行求解；2.能够利用函数的性质进行问题的研究；3.能够运用完整求解思想，掌握解决实际问题的方法和技巧。
二、教学重难点1.教学重点1.函数的概念、基本性质及其应用；2.正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质及其应用。
2.教学难点1.如何有效地运用函数的性质进行问题的研究；2.如何将实际问题转化为函数模型进行求解。
1.引入环节通过简单的例子介绍函数的概念，引导学生明确函数的定义及其理解。
2.知识讲解1.函数的定义及其图象的基本性质；2.正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质及其应用。
3.案例分析案例一：一只舞蹈队每月的报销费用是2000元加上每位队员的月工资500元，如果舞蹈队共有20位队员，问每年的报销费用是多少？案例二：一块长方形的铜板，面积为900平方厘米，铜板的一边长为另一边长的3倍，按照面积计价每平方厘米10元，请问铜板的价值是多少？案例三：某地从2010年开始，每年要增加1000人口，到2015年末，共增加了多少人口？4.练习环节练习一：已知函数$f(x)=\\dfrac{1}{4}x^2-3x+2$，求其在区间[1,3]上的最小值。
练习二：设y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=−3；当x=1时，y=4；当x=4时，y=0。
试求该函数的解析式。
5.归纳总结回顾本节课的知识点，总结函数的概念及其应用。
在教学过程中，通过引入例子，让学生更好地理解函数的运用，创设了案例分析环节，使学生更好地运用所学知识点进行问题的解决，对学生的学习效果起到了很好的促进作用。
同时，在练习环节中，教师更加注重对学生思维的引导，让学生运用一定的思维方式进行求解，提高了学生的探究能力和解决问题的能力。
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用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活．知识点一常见的函数模型思考用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型，常见的函数模型有哪些？梳理三类常见函数模型思考解决实际问题的基本过程是什么？梳理数学模型的基本程序类型一一次函数模型的应用例1某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(千瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示．(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费多少元？(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；(3)月用电量为260千瓦时时，应交电费多少元？引申探究若将例1(2)中的x≥100去掉，求y与x的关系式．反思与感悟一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．跟踪训练1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？类型二二次函数模型的应用例2如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？引申探究若将例2改为：要使鸡场面积为6253，怎样设计可使用的篱笆最短？反思与感悟 (1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．跟踪训练2 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． (1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？类型三分段函数模型的应用例3某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)反思与感悟分段函数模型的求解技巧(1)在求其解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重，不漏”．(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间．跟踪训练3某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图中的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示．(1)(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？1．某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只球；②按球拍和球的总价的92%付款．某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法()A．①B．②C．两种一样D．不能确定2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是() A ．118元B ．105元 C ．106元D ．108元3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为() A ．95元B ．100元 C ．105元D ．110元4．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为() A ．3 m B ．4 m C ．6 m D ．12 m解决函数应用问题的一般程序(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系．(2)建模：将文字语言转化成数学语言，选择适当的函数建立函数模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：将得到的结论，还原为实际问题的结果．答案精析问题导学 知识点一思考 一次函数、二次函数、反比例函数． 梳理y ＝kx ＋bk ≠0 反比例 y ＝a ·⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a知识点二思考 ①分析问题，②建立函数模型，③解决函数问题，④回到实际问题． 题型探究例1解 (1)月用电量为100千瓦时时，应交电费为60元． (2)当x ≥100时，y 与x 之间为一次函数关系．设y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧200k ＋b ＝110，100k ＋b ＝60，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝10， ∴y ＝12x ＋10.(3)当x ＝260时，y ＝12×260＋10＝140(元)．所以月用电量为260千瓦时时，应交电费为140元．引申探究 解 由函数图象不在同一条直线上，所以选择分段求解． (1)当0≤x ≤100时，设y ＝kx ，则60＝100k ，∴k ＝35，∴y ＝35x .(2)当x ≥100时，同上例(2)，y ＝12x ＋10.∴y ＝⎩⎨⎧35x ，0≤x ≤100，12x ＋10，x ＞100.跟踪训练1解 (1)买4个茶壶，送4个茶杯，再单买x －4个茶杯， ∴y ＝5(x －4)＋20×4(x ≥4)， 即y ＝5x ＋60(x ≥4)．当x ＝40时，y ＝5×40＋60＝260(元)． (2)只买茶杯，则y ＝0.92×5x ，即y ＝4.6x . 当x ＝40时，y ＝4.6×40＝184(元)．比较两种方案，可以看出，应选择第(2)种方案更优惠． 例2解 设鸡场面积为S . ∵养鸡场总长为x ，∴宽为50－x3.∴S ＝x ·50－x 3即S ＝－13(x 2－50x )＝－13(x －25)2＋6253，∴当x ＝25时，S max ＝6253. 即鸡场的长度为25米时，面积最大．引申探究 解 ∵长为x ，∴宽为6253x ，∴L ＝x ＋6253x ×3，即l ＝x ＋625x.由对勾函数的性质知，L ＝x ＋625x 在(0,25)上为减函数，在(25，＋∞)上为增函数，∴当x ＝25时，L min ＝25＋25＝50.跟踪训练2 解 (1)由题可设y ＝a (x －15)2＋17.5，将x ＝10，y ＝20代入上式， 得20＝25a ＋17.5. 解得a ＝110.所以y ＝0.1x 2－3x ＋40(10≤x ≤25)． (2)设最大利润为Q (x )， 则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －(0.1x 2－3x ＋40)＝－0.1(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)． 因为x ＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．例3 解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0＜x ≤100时，P ＝60；当100＜x ≤550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50；当x ＞550时，P ＝51. ∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0＜x ≤100，62－x50，100＜x ≤550，51，x ＞550.(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0＜x ≤100，22x －x250，100＜x ≤550，(x ∈N ＋).11x ，x ＞550，当x ＝500时，L ＝6 000；当x ＝1 000时，L ＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．跟踪训练3解 (1)由图知该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数图象为两条直线段，且在前20天，图象经过点(0,2)和(20,6)，后10天经过点(20,6)和(30,5)，故解析式为P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0＜t ≤20，t ∈N ＋，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N＋.(2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，将(4,36)与(10,30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.解得a ＝－1，b ＝40. 日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝40－t,0＜t ≤30，t ∈N ＋. (3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧(15t ＋2)×(40－t )，0＜t ≤20，t ∈N ＋(－110t ＋8)×(40－t )，20＜t ≤30，t ∈N＋.即y ＝⎩⎨⎧－15t 2＋6t ＋80，0＜t ≤20，t ∈N ＋，110t 2－12t ＋320，20＜t ≤30，t ∈N＋.当0＜t ≤20时，当t ＝15时，y max ＝125；当20＜t ≤30时，y ＝110t 2－12t ＋320在(20,30]上是减函数，又当20＜t ≤30时，y max ＜110×202－12×20＋320＝120＜125， 所以第15日交易额最大，最大值为125万元． 当堂训练 1．A2.D3.A4.A。