教学设计——二次函数专题训练点的存在性问题
二次函数大题存在性问题
学科老师个性化教案教师 学生姓名 上课日期 2013—10—05学科数 学年级初 三教材版本学案主题 第二章《二次函数大题存在性》讲解 课时数量（全程或具体时间） 第（1、2）课时 授课时段 13: 00—15：00教学目标教学内容1、二次函数的基本意义和性质、图像及其应用2、二次例函数的简单基本存在性问题个性化学习问题解决1、二次函数的基本定义及其性质、图像及其图像基本性质2、二次函数函数的应用、存在问题的探讨教学重点、难点 重点：二次函数函数和一次函数、几何图形的综合应用 难点：二次例函数的综合应用、解析几何教学内容动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。
一、等腰（边）三角形存在问题：例1（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的顶点坐标为点A （－2，3），且抛物线 c bx ax y ++=2与y 轴交于点B （0，2）. （1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x 轴上存在点P 使△PAB 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由；（3）若点P 是x 轴上任意一点，则当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.例2（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的 正半轴上，A （0，2），B （－1，0）。
诊断二次函数教案教学中的问题与解决方案
诊断二次函数教案教学中的问题与解决方案诊断二次函数教学是高中数学中的一个重要板块，也是学生在数学学习中的一个难点。
在教学中，老师可能会遇到各种各样的问题，例如教学内容不够深入、教学方法不够灵活、教材难以理解等等。
这些问题，如果不能及时解决，就会影响学生的学习效果和教学质量。
本文将从教学内容和教学方法两个方面，分析诊断二次函数教学中的问题，并提出相应的解决方案。
一、教学内容方面的问题及解决方案1.内容过于抽象诊断二次函数的相关概念和公式都比较抽象，对学生来说比较难以理解。
在教学过程中，老师应该采取一些具体生动的实例来引导学生进行理解和掌握。
解决方案：可以选择一些和学生生活密切相关的例子，例如汽车两地之间的行驶路程、投掷物体的高度和时间关系等等。
通过这些具体的例子，可以让学生进一步体会到二次函数在实际生活中的应用。
2.教材内容难以理解有些课本在讲解二次函数时，使用的语言比较晦涩难懂，或者表述不够清晰，从而导致学生无法理解。
解决方案：老师可以结合自己的教学经验，重新解释课本中的知识点，并将句子简化，加强对学生关注点的强调。
老师还需要和学生讨论不同的理解方法和思考方式。
3.计算题目过于死板在教学过程中，老师可能只注重学生的记忆和机械计算，而缺乏对学生思考能力的培养。
解决方案：可以将计算题目结合到生活场景中，加深学生对二次函数的理解。
例如，老师可以运用“最小花费”这一概念，来让学生掌握如何用二次函数解决实际问题，并通过讲解解题过程，引导学生进行思考。
二、教学方法方面的问题及解决方案1.教学方法统一在教学过程中，老师可能会使用相同的教学方法，无法满足不同学生的学习需求。
解决方案：针对不同的学生，老师可以采用多种教学方法。
例如，对于掌握较快的学生，可以选择提高难度的题目进行练习；对于掌握较慢的学生，可以通过具体例子、图形等方式进行解释。
2.教学过于死板有些老师在课堂上的教学过于死板，缺乏交互与互动，无法激发学生的学习兴趣。
《二次函数存在性问题探究》教学设计
《二次函数存在性问题探究》教学设计【教材内容】中考数学疑难问题《二次函数存在性问题探究》【课时安排】第 1 课时【教学对象】九年级学生【授课教师】【教材分析】《二次函数存在性问题探究》是人教版九年级上册教科书第22.3 课《实际问题与二次函数》的拓展，属于函数与几何综合题，本课安排在该教材中二次函数综合第 3 节课时。
《二次函数存在性问题探究》是“动态几何中的二次函数问题”，以图形的运动变化为背景，其背景图形是三角形，其运动方式是单个动点。
解决其问题的核心是：探索变量之间的对应关系（变化规律），掌握等腰三角形、直角三角形在二次函数图形变化中的特点，运用数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化思想等教学思想。
【学情分析】一方面，纵观广东省近三年中考数学压轴题都是“动态几何中的函数问题”,中考第二轮复习时基本都是采用专题方式推进，初中数学专题复习课往往是针对某一类重点题型、重要知识板块或者某一种比较突出的思想方法等组织展开专题复习、专题研究。
培养学生思维的灵活性和发散性，进而提高学生综合运用知识的能力。
另一方面，解决这类问题需要灵活运用数学思想方法，培养学生数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题。
这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题意构思巧妙，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求都比较高。
【教学目标】一、知识与技能（1）让学生体验角的存在性问题、等腰三角形存在性问题的探索过程，感受二次函数存在性问题点线面的关系，抓住角、等腰三角形中元素的变与不变的关键点，结合分类讨论的思想解决存在性问题。
（2）培养学生运用数形结合、数学建模、分类讨论、转化等数学思想方法；拓宽学生的思维和视野，提高学生解决二次函数存在性问题的能力，考核学生综合运用知识的数学核心素养。
二、过程与方法（1）通过对图形情境中的数学信息作出合理的分析，能用二次函数描述和刻画现实事物间的函数关系与几何图形的动态问题。
《二次函数》的教学中遇到的困难及解决的办法
《二次函数》的教学中遇到的困难及解决的办法二次函数是中考的重点知识，也是整个初中数学的重点和难点。
所以在这一章的教学中更应注意一些教学手段和教学方法。
首先，我谈一下在教学中遇到的一些困难及解决的办法。
一、动手操作的准确性的把握及与时间的矛盾：二次函数的解析式有四种，从易到难的每类函数图象都需要学生动手操作，从图象中了解其特点，如对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性等问题。
学生的动手操作能力差，这其间我引导学生明确取点注意的事项，比如取的点要具有代表性和易操作性。
尽量减少因画图使抛物线产生的偏差，不要影响其对性质的剖析。
另外，作图时间过长，致使课上作图完全放到课下，做为前置性作业。
目的是让学生在完成这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质。
这样既复习了旧知（列表、描点、连线）又使学生体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究能力。
这样就将作图难和时间紧的问题相应的解决。
二、二次函数顶点式的形成及增减性的理解所产生的问题及措施：顶点式的探究，就是让大家带着目标去探究。
学生在研究二次函数的顶点式，即：y=a(x-h)2+k图象中遇到了一些困难，如对向左平移定为+h 而向右平移定为-h有很多困惑。
了解情况后，我首先是让学生认真画图象观察，并从图象中总结规律，告诉学生一切数学真理源于实践。
学生能及时的从图象中反应了顶点式的特点并自主的总结规律，这个问题得到了妥善的处理。
另外，学生在对二次函数的增减性问题上也有困惑。
分不清楚增大而增大和增大而减小的分支。
于是，我想出了一个办法解决这个问题：用自己的肢体语言作为影像对学生进行讲解，右手上举，表示开口向上的x>h部分的增减性，即右上方为增大而增大，反之，左手上举即为开口向上的x<h部分的图象的增减性，即左上方为增大而减小。
开口向下亦是如此。
这是第一种方法。
第二种方法就是在图象上取点，两点的横坐标与两点的纵坐标类比，更能反应图象的增减性。
突破初三数学难点：二次函数教案课堂实践建议
近年来，二次函数成为初三数学中的一大难点，相信很多学生和家长都深有体会。
面对这个难点，老师的教学方法和策略也需不断更新与改进。
本文将针对二次函数教学，分享一些课堂实践建议，帮助学生和教师共同突破这个难点。
一、加强理论知识讲解为了让学生更好地掌握二次函数知识，教师需要对二次函数的相关理论知识进行详细讲解。
介绍二次函数的定义和图像特征，包括开口方向、最值和对称轴等。
接着，教师还需讲解二次函数的求根公式、顶点公式和特殊情况的解法，这样有助于学生深入理解二次函数的相关知识。
二、注重举例和实战演练教师在讲解二次函数的理论知识后，需要注重实战演练，结合具体例子进行练习。
在课堂上，教师可以先给出一些简单的例题，让学生自己推导解题过程，一道一道的加难度。
通过实战演练，学生会更好地掌握二次函数的解题技巧，同时也能加深学生对二次函数知识的理解。
三、运用多媒体和工具在课堂上，教师可以使用多媒体和工具来辅助二次函数教学。
比如可以使用投影仪把二次函数的图像呈现在大屏幕上，让学生更清晰地看到二次函数的特征和变化，帮助学生更好地理解和记忆知识。
同时，也可以使用相关的软件或者工具来辅助学生解题，如Geogebra 等。
四、加强练习和作业针对二次函数的难点，教师需要加强练习和作业，让学生在不断的练习中巩固和提高二次函数知识。
在课堂上，教师可以提供足够的练习题，并在下课后布置相关作业让学生巩固所学知识。
同时，也要注意及时批改作业和试卷，帮助学生及时发现和纠正错误，及时解决问题。
二次函数作为初三数学中的重点难点，需要教师在教学中注重方法和策略，并结合学生的学情和特点，提供合适的教学和辅助工具，让学生更好地掌握二次函数知识，提高数学成绩，为学生的未来发展打下坚实的基础。
二次函数与几何综合运用——存在性问题教学设计.doc
二次函数在几何方面的应用——存在性问题一、教学目标：知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。
过程与方法：利用数形结合思想，把“数''与“形”结合起来，互相渗透.同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。
情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。
难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。
教学方法：自主探索、合作交流。
教学手段：运用多媒体教学三、教学过程：类型一特殊三角形的存在、探究问题【方法指导】1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x, ax2^-hx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-二，）；），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；2a（4）计算求解.根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系求解即可.探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.2.探究直角三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步;分三种情况讨论：①如二朋,c=~3,(2) 当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90° ；(3) 设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标(若所求的点在抛 物线上时，该点的坐标可以设为3 以斗靛+Q ；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为(・=，y)，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解. 2a【范例解析】例1 (2013铜仁)如图，已知直线尸3/3分别交x 轴、火轴于/、月两点，抛物线y^x+bx^c经过从B 两点、,点。
初中数学_二次函数专题复习—平行四边形存在性问题教学设计学情分析教材分析课后反思
《平行四边形存在性问题》教学设计执教者学情分析本节课是在已经进行过一轮复习，也适当做了一些往年的中考试卷，对于基础知识学生掌握的还是不错的，但对于综合性的题目却感觉困难，特别是动点问题。
对于这类问题存在以下几种情况：1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
针对以上情况，我希望通过本节课的学习，一方面帮助学生树立信心，让他们明白所谓的综合题都是由诸多小知识点组成的，所谓的动态问题可以变为“静”来解决，通过代数解决几何问题另一方面通过例题讲解让学生掌握解决这类题目的解题策略。
效果分析针对学生面临的困难：首先，我在教学时注意层次性，讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，逐步过渡。
其次，注意所选例题的典型性，选了最具代表性的两类动点问题产生的平行四边形形存在性问题，一类一个例题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。
教学时注重这几个方面：1、利用几何画板动态画图，让学生体会点在运动过程中，图形会跟着发生变化。
在变化的过程中抓住某一瞬间，化“动”为“静”，使其构成平行四边形，再利用所学知识解决问题。
2、注重板书。
通过清晰的板书让学生一目明了如何分析平行四边形存在性问题。
3、注重数学思想方法的渗透。
数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。
动点问题中主要体现方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。
方程思想，大多数动点问题到最后都转化为方程形式，然后利用方程来求解。
数形结合思想，动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
二次函数存在性问题教学设计
二次函数存在性问题存在性问题涉及的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对同学们的分析问题能力和解题能力要求较高，综观历年来各地的中考试题，可发现函数背景下的存在性问题是近几年来各地中考的热点。
教学目标：通过本节的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力。
并总结出解存在性问题的一般步骤。
教学重难点：难点：问题中条件或结论的不确定性。
重点：总结存在性问题的一般解决步骤。
教学过程：导入课题存在性问题的探究考点概述：“存在性”问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题。
这类问题知识覆盖面广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对同学们的分析问题能力和解题能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
温故而知新问题：如图1，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.请你直接写出A、B、C、D四点的坐标及抛物线的对称轴；你能求出图中哪些线段的长度？你能判断△ BCD 的形状吗？请你求出△ BCD 的面积.若存在，请找出满足条件的点P，并求出点P 的坐标.xy–1–2–31234–1–21234CBA O xy–1–2–31234–1–21234CBA O xy–1–2–31234–1–21234CBA O设计意图：巩固和提升一般步骤，进一步发展学生思维.巩固提升如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点A、B坐标分别为（﹣1，0），（﹣3，0），抛物线与y轴交点C为（0，3）．（1）求抛物线解析式并指点D的坐标；（2）点P是抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度以抛物线顶点D出发向上运动，设点P运动时间为t秒．①当△PAC周长最小时，求t值；②当t=______时，△PAC为是以AC为腰的等腰三角形；③点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．设计意图：供学有余力学生思考，提高发展学生的数学思维.课堂小结：谈谈你这节课的收获和感受！解题步骤可归纳为：分－找－列－求设计意图:提高学生总结归纳能力，输理知识框架。
二次函数教学中存在的问题及解决策略
二次函数教学中存在的问题及解决策略摘要：函数是初中数学课程的基本概念之一，是教学的重要内容，在九年级数学教学中，二次函数又是重中之重。
而在实际课堂教学中，学生的认知水平与二次函数的内容存在着一定的矛盾，使学生难以真正掌握这一模块的知识。
鉴于此，教师应找到学生在二次函数学习中产生困难的原因并对此深入分析，在找到原因后，教师还需要有针对性地解决这一问题，从而使教学呈现出高效性。
关键词：二次函数教学；存在问题；解决策略引言二次函数是学生在简单基础的一次函数之外所接触到的函数部分内容。
尽管相对于更加复杂的三次函数以及三角函数简单许多，但相对于一次函数而言难度大大增加，并且对学生接下来的函数部分学习有着准备性、基础性的作用，教师必须重视二次函数的教学设计，绝不能掉以轻心。
同时，由于学生的数学基础水平不同，教师在联系一次函数展开教学的过程中也需要重视方式方法，在帮助学生理解的基础上带领学生对简单一次函数进行基本的复习，在融会贯通的前提下优化整体教学质量。
1初中生学习二次函数困难的原因学生在学习二次函数时，存在困难的因素有很多。
最主要体现在三个方面。
其一，二次函数知识本身的原因。
因为函数概念本身就具有一定的抽象性，并且二次函数的图像和性质具有一定的复杂性，相比较之前学生学习过的一次函数，图象所反应出的性质更加复杂。
此外，二次函数的应用问题也是学生学习困难的原因之一，由于实际问题产生的背景复杂，涉及到的变量多，使学生在建立数学模型时存在很大的困难；其二，学生自身的原因。
由于学生的认知发展水平不够，并且九年级学生的抽象思维还未真正形成，他们在学习二次函数时，思维只能停留在具体数字的认识上；其三，教师的教学方法较为陈旧。
受传统教育理念的影响，教师还选择照本宣科，忽视学生思维的发展，例如，在判断哪些为二次函数时，教师往往以题海战术训练学生，这样会使学生达不到理解的程度。
2二次函数教学的有效策略1.巧用信息技术，降低理解难度二次函数呈现出一定的抽象性，对学生而言，容易使他们产生思维的障碍，鉴于此，信息技术的出现能够为课堂教学注入新活力，同时，也能够在一定程度上降低学生的理解难度。
专题训练(三) 二次函数中的存在性问题
专题训练(三)二次函数中的存在性问题▶类型一构造特殊三角形1.如图1,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D 的坐标为(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.图12.如图2,直线y=-√3x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,3√3),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式;(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长.图2▶类型二构造特殊四边形3.如图3,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,A为x轴上方的抛物线上任意一点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,设点A的横坐标为m,当四边形ABOC为平行四边形时,m的值为.图34.如图4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-43x+2(a≠0)过点B(1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标;(3)以AC为边在第二象限画正方形ACPQ,求P,Q 两点的坐标.图45.如图5,在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标;(2)将抛物线L沿B,D所在的直线平移,平移后点B 的对应点为点B',点C的对应点为点C',点D的对应点为点D',当四边形BB'C'C是菱形时,求此时平移后的抛物线的表达式.图5▶类型三构造相等的角或特殊度数的角6.[2020·绍兴柯桥区期末]如图3-ZT-6,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c 经过B,C两点,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的函数表达式.(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小,求符合条件的点E的坐标.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出PB2的值;若不存在,请说明理由.图6专题训练(三)教师详解详析1.(1+√2,2)或(1-√2,2)[解析] ∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形, ∴点P 在线段CD 的垂直平分线上.如图,作CD 的垂直平分线l 交抛物线于点P 1,P 2,交y 轴于点E ,则E 为线段CD 的中点.∵抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C , ∴C (0,3).而D (0,1), ∴点E 的坐标为(0,2), ∴点P 的纵坐标为2.在y=-x 2+2x+3中,令y=2,可得-x 2+2x+3=2,解得x=1±√2,∴点P 的坐标为(1+√2,2)或(1-√2,2).2.解:(1)∵直线y=-√3x+n 交y 轴于点C (0,3√3), ∴n=3√3,∴y=-√3x+3√3. 令y=0,得x=3, ∴A (3,0).∵抛物线y=23x 2+bx+c 经过点A ,交y 轴于点B (0,-2).∴c=-2,6+3b-2=0, ∴b=-43,∴抛物线的表达式为y=23x 2-43x-2.(2)∵点P 的横坐标为m ,且点P 在抛物线上, ∴Pm ,23m 2-43m-2. ∵PD ⊥x 轴,BD ⊥PD , ∴点D 的坐标为(m ,-2), ∴BD=|m|,PD=23m 2-43m-2+2.当△BDP 为等腰直角三角形时,PD=BD , ∴|m|=23m 2-43m , m 2=23m 2-43m 2,解得m 1=0(舍去),m 2=72,m 3=12,∴当△BDP 为等腰直角三角形时,线段PD 的长为72或12.3.2 [解析] 当x=0时,y=3, ∴点C 的坐标为(0,3),则OC=3.∵点A 的横坐标为m ,且点A 在抛物线上, ∴点A 的坐标为(m ,-m 2+2m+3).当四边形ABOC 是平行四边形时,AB=3,当AB=3时,-m 2+2m+3=3,解得m 1=0(舍去),m 2=2,∴m=2. 4.解:(1)将B (1,0)代入y=ax 2-43x+2,得a-43+2=0,∴a=-23,∴抛物线的函数表达式为y=-23x 2-43x+2.(2)当y=0时,-23x 2-43x+2=0,解得x 1=1,x 2=-3. 当x=0时,y=2,∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0,2),与x 轴的另一交点A 的坐标为(-3,0).(3)如图,过点P ,Q 分别作PH ⊥y 轴,QG ⊥x 轴,垂足分别为H ,G.∵四边形ACPQ 是正方形,∴易证△AOC ≌△QGA ≌△CHP , ∴AO=QG=CH=3,OC=GA=HP=2, ∴P (-2,5),Q (-5,3).5.解:(1)把A (-3,0)和B (1,0)代入抛物线L :y=ax 2+bx+3,得{9a -3b +3=0,a +b +3=0,解得{a =-1,b =-2,即抛物线L :y=-x 2-2x+3,化为顶点式为y=-(x+1)2+4,故顶点D 的坐标为(-1,4). (2)∵B (1,0),D (-1,4),由待定系数法可得直线BD 的表达式为y=-2x+2. 设平移后点B 的对应点B'的坐标为(x ,-2x+2), 则BB'2=(x-1)2+(-2x+2-0)2=5(x-1)2.∵抛物线L :y=-x 2-2x+3,∴点C 的坐标为(0,3),∴BC 2=12+32=10, ∴5(x-1)2=10,解得x 1=√2+1,x 2=-√2+1.∴点B'的坐标为(√2+1,-2√2)或(-√2+1,2√2).当点B'的坐标为(√2+1,-2√2),即点B 向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得y=-(x+1-√2)2+4-2√2.当点B'的坐标为(-√2+1,2√2),即点B 向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得y=-(x+1+√2)2+4+2√2.综上所述,当四边形BB'C'C 是菱形时,此时平移后的抛物线的表达式为y=-(x+1-√2)2+4-2√2或y=-(x+1+√2)2+4+2√2.6.解:(1)直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于B ,C 两点,则点B ,C 的坐标分别为(3,0),(0,3). 将点B ,C 的坐标代入y=-x 2+bx+c ,得 {-9+3b +c =0,c =3,解得{b =2,c =3,故抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)如图①,作点C 关于x 轴的对称点C',连结C'D 交x 轴于点E ,此时EC+ED 的值最小,则△EDC 的周长最小.抛物线的顶点D 的坐标为(1,4),点C'(0,-3).用待定系数法可求得直线C'D 的表达式为y=7x-3. 当y=0时,x=37,故点E 的坐标为37,0.(3)存在.①当点P 在x 轴上方时,如图②, ∵OB=OC=3,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45°=∠APB. 令y=0,则-x 2+2x+3=0, 解得x 1=-1,x 2=3, ∴A (-1,0),∴AB=4.过点B 作BH ⊥AP 于点H ,设PH=BH=a , 则PB=P A=√2a.由勾股定理得AB 2=AH 2+BH 2, 即16=(√2a-a )2+a 2, 解得a 2=8+4√2,则PB 2=2a 2=16+8√2. ②当点P 在x 轴下方时, 同理可得PB 2=16+8√2.综上可得,PB 2的值为16+8√2.。
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二次函数点的存在性专题——等面积问题
【教材分析】
二次函数隶属于数与代数领域，是初中阶段一种重要的函数，二次函数面积问题本身是学习二次
函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决代几综合问题能力的一个考查。
二次函数面积
问题将数与代数，空间与图形两大领域有机结合，目的在于让学生通过二次函数面积问题，学会
用函数知识，深化学生对由形到数，再由数到形的数学思想方法的理解，体会图形变换在函数中
的作用，学会用分类讨论，转化的思想去解决和函数有关的面积问题。
此部分内容是学习一次函
数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
【教学目标】
1.知识与技能：能利用二次函数解析式，求出相应线段的长度及图形面积，并根据面积相等的条
件，在图像上确定点的位置，并求出相应点的坐标
2.过程与方法：在探索等面积点存在性问题的过程中，进一步体会研究函数图像和图形面积问题
的基本方法，以及数形结合、分类讨论的思想方法；体会利用平移变换，确定点的位置的方法
3.情感态度价值观：经历解决问题的过程，感受数学思想方法的价值，培养学生合作意识，让学
生积累经验，提升学生总结归纳的能力
教学重点：确定点的位置，求出点的坐标
教学难点：利用同底等高及平移变换，确定点的位置；利用函数解析法及代几综合法求出点的坐
标
【学情分析】
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步
认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能利用数形结合的思想方法解决三角形底边在x轴上的简单的同底等高的问题，但在三角形底边不在x轴上也不用x轴平行时，学生就不容易在函数图
像上确定出点的位置，并且还不能熟练地应用一次函数及二次函数的相关知识，以及数与形之间
的转化的思想解决问题。
本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生综合运
用函数知识的能力，深化学生对由形到数，再由数到形的数学思想方法的理解，从而解决解决学
生解决面积问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
【教学过程】
环节一【自主学习，合作释疑】
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
（1）求△ABC的面积
【设计意图】：二次函数面积问题，将函数与图形紧密相结合，由二次函数中的数的问题，转化
成图形问题，学生体会“数与代数”与“空间与图形”两大领域之间的关系。
由（1）中简单的三角形面积入手，让学生体会三角形面积与底边及高之间的关系，同时体会由数到形的数形结合思
想。
环节二【合作探究，积累经验】
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
（2）抛物线上是否存在点M，使△ABC与△ABM的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
【设计意图】
本节为二次函数上点的存在性面积专题，解决这类问题的突破口就在于同底的条件，问题（2）在问题（1）的基础上，考虑抛物线上点的存在性问题，确定点的位置，利用同底等高，求出点的坐
标，解决这一问题，体现了由形到数的思想；同时注意分类讨论的思想方法，点位于AB上方及点位于AB下方的不同情况的讨论问题；同时注意平移变换，确定点的位置，以平移变换为切入点，
“两平行线间的距离处处相等”为依据，确定等面积点的位置并求解，为下一问做铺垫。
同时也
体会坐标与线段长度的关系，激发学生学习的兴趣，使学生经历规律产生的过程。
环节三【分组展示，拓展提升】
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
（3）抛物线上是否存在点P，使△ABC与△PBC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【设计意图】
问题（2）主要让学生体会当三角形的同底位于坐标轴上或与x轴平行时，就以这条公共边为底，
做高求面积即可；问题（3）在问题（2）的基础上，仍然以同底为突破口，但是此时的同底并不
在x轴上，也不与x轴平行，学生不能直接根据高确定要求点的纵坐标；有了上一问的解题经验，部分学生能够根据上题的解题经验进行迁移，利用平移变换，抓住“两平行线间的距离处处相等”，从而利用平移变换，抓住平移要素，确定直线平移后的位置及点的位置，利用平移前后一次函数
间的关系确定直线解析式，再将一次函数和二次函数综合运用，求出点的坐标。
学生再次体会并
积累解决此类问题的经验
环节四【反思总结，课后作业】
本节课你都有那些收获？
已知：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C
求：抛物线上是否存在点E，使△NDB与△EDB的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【设计意图】
学生经历分析问题，解决问题的过程，体会数与形之间的关系，从图形变换的角度，利用分类的
思想解决问题。
学生归纳总结，是对自身已有知识及解题经验的一种升华，总结提炼解决二次函
数点的存在性问题——等面积专题的方法；通过课后作业，让学生利用自己总结的经验及方法，
尝试解决新问题，深化已有经验。