第二节 求导法则
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第二节 求导法则
2 2
所确定的
隐函数 y f ( x ) 的导数.
解 方程两边作为x的函数同时求导
1 x 2 2 得 [ ln(x y )]) (arctan ) 2 y
1 y yx 1 ( 2 x 2 y y ) 2 即 2( x 2 y 2 ) x 2 y 1 ( ) y y x . 故 y y x
y x yu u x
y
u
x
y u 链式法则： y x u x
例3：求下列函数的导数.
(1) y sin 2 x; (2) y (1 2 x )30 ; (3) y ln( x x 2 a 2 ).
(1) y sin u, u 2 x 解：
dy dy du cos u 2 2sin 2 x dx du dx
2x
x2 3 x 3 (2) y , y _______________ . 2 1 x ( x 3)
2 1 1 2 x2 3 x 3 y=[ ] x 1 x 3(3 x ) 3(3 x ) 1 x ( x 3)2
五、隐函数求导法
F ( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数.
x
1 (a ) (loga y )
x
x
1 1 y ln a
1 log x ln a
x a
y lna a ln a
特别地 (e ) e .
x x
例7 求 y arcsinx( 1 x 1)的导数. 解 y arcsinx 的反函数为 x sin y
适用于幂指函数以 及复杂分式的导数
( x 1)( x 3) (2) y ( x 5)( x 7)
所确定的
隐函数 y f ( x ) 的导数.
解 方程两边作为x的函数同时求导
1 x 2 2 得 [ ln(x y )]) (arctan ) 2 y
1 y yx 1 ( 2 x 2 y y ) 2 即 2( x 2 y 2 ) x 2 y 1 ( ) y y x . 故 y y x
y x yu u x
y
u
x
y u 链式法则： y x u x
例3：求下列函数的导数.
(1) y sin 2 x; (2) y (1 2 x )30 ; (3) y ln( x x 2 a 2 ).
(1) y sin u, u 2 x 解：
dy dy du cos u 2 2sin 2 x dx du dx
2x
x2 3 x 3 (2) y , y _______________ . 2 1 x ( x 3)
2 1 1 2 x2 3 x 3 y=[ ] x 1 x 3(3 x ) 3(3 x ) 1 x ( x 3)2
五、隐函数求导法
F ( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数.
x
1 (a ) (loga y )
x
x
1 1 y ln a
1 log x ln a
x a
y lna a ln a
特别地 (e ) e .
x x
例7 求 y arcsinx( 1 x 1)的导数. 解 y arcsinx 的反函数为 x sin y
适用于幂指函数以 及复杂分式的导数
( x 1)( x 3) (2) y ( x 5)( x 7)
函数的求导法则
x
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
返回
六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
返回
六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
函数的求导法则.
例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '
f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '
3 '
'
2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )
n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2
导数的运算法则
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 y sec x 求y
解
y
1 cos
若u ( x)在I上可导，y f (u)在I1上可导 x I ,u ( x) I1,则复合函数y f [ ( x)]
在I上可导，且有dy dy du dx du dx
注
链式法则——“由外向里，逐层求导”
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dx du dx
四、二阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定义
如果函数f (x)的导数f (x)在点x处可导,则称 ( f (x))为函数f (x)在点x处的二阶导数.
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例5 求函数 y arcsinin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin2 y
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
2.
cos x
(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 y sec x 求y
解
y
1 cos
若u ( x)在I上可导，y f (u)在I1上可导 x I ,u ( x) I1,则复合函数y f [ ( x)]
在I上可导，且有dy dy du dx du dx
注
链式法则——“由外向里，逐层求导”
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dx du dx
四、二阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定义
如果函数f (x)的导数f (x)在点x处可导,则称 ( f (x))为函数f (x)在点x处的二阶导数.
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例5 求函数 y arcsinin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin2 y
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
2.
第2节 函数的求导法则
(11)
(12)
(13) (14)
(15)
(16)
1 ， (log a x) (a>0, a x ln a 1 (ln x) ， x 1 (arcsin x) ， 2 1 x 1 (arccos x) ， 2 1 x 1 (arctan x) ， 2 1 x 1 (arccot x ) 1 x2
六.利用复合函数求导法则求隐函数的导数
如果方程F ( x , y ) 0确定了y是x的函数, 那么，这样的函数叫做隐函数.
由方程F ( x , y ) 0确定， 例如， x 2 xy y 2 4 就是一个隐函数.
y=y(x)
即x与 y的函数关系不能明显表示出来，而
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
例4 已知y sec x, 求y.
1 解 y (sec x ) ( ) (cos x ) cos x 2 cos x
sin x cos 2 x
(sec x ) sec x tan x,
1 v ( x ) [ ] 2 v( x ) v ( x)
(csc x ) csc x cot x.
1 sin x x cos x 2 2 x 1 sin x 2 x cos x . x
u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) (3) [ ] (v( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
当u( x ) 1时,
解得 dy sin( x y ) y cos x . dx sin( x y ) sin x
七、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e
(12)
(13) (14)
(15)
(16)
1 ， (log a x) (a>0, a x ln a 1 (ln x) ， x 1 (arcsin x) ， 2 1 x 1 (arccos x) ， 2 1 x 1 (arctan x) ， 2 1 x 1 (arccot x ) 1 x2
六.利用复合函数求导法则求隐函数的导数
如果方程F ( x , y ) 0确定了y是x的函数, 那么，这样的函数叫做隐函数.
由方程F ( x , y ) 0确定， 例如， x 2 xy y 2 4 就是一个隐函数.
y=y(x)
即x与 y的函数关系不能明显表示出来，而
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
例4 已知y sec x, 求y.
1 解 y (sec x ) ( ) (cos x ) cos x 2 cos x
sin x cos 2 x
(sec x ) sec x tan x,
1 v ( x ) [ ] 2 v( x ) v ( x)
(csc x ) csc x cot x.
1 sin x x cos x 2 2 x 1 sin x 2 x cos x . x
u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) (3) [ ] (v( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
当u( x ) 1时,
解得 dy sin( x y ) y cos x . dx sin( x y ) sin x
七、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
第2节 求导法则
x
x x1 .
x
( x ) x1
23
训练：求导数
(1) y (3 2sin x)5 , y 5(3 2sin x)4 (2cos x) 10cos x (3 2sin x)4 .
(2) y tan 1 , x
y
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2 x ，
即 (tan x) sec2 x
类似可得 (cot x) csc2 x
10
例5 求 y secx 的导数 .
解 y (secx) ( 1 ) cos x
12
例6 求 y 5sin x 的导数. 1 cos x
解
y 5
cos x(1 cos x) sin x ( sin x) (1 cos x)2
cos x 1 5 (1 cos x)2
1
5 cos x
.
例7 求 y x tan x secx 的导数 .
解 y 1 tan x x sec2 x secx tan x . 2x
13
训练：求导数
(1) y e x xe ee , y e x ex e1 .
(2) y x cot x xn ln x ,
y 1 cot x x csc2 x nx n1 ln x xn1 . 2x
且( y) 0 , 那么它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
x x1 .
x
( x ) x1
23
训练：求导数
(1) y (3 2sin x)5 , y 5(3 2sin x)4 (2cos x) 10cos x (3 2sin x)4 .
(2) y tan 1 , x
y
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2 x ，
即 (tan x) sec2 x
类似可得 (cot x) csc2 x
10
例5 求 y secx 的导数 .
解 y (secx) ( 1 ) cos x
12
例6 求 y 5sin x 的导数. 1 cos x
解
y 5
cos x(1 cos x) sin x ( sin x) (1 cos x)2
cos x 1 5 (1 cos x)2
1
5 cos x
.
例7 求 y x tan x secx 的导数 .
解 y 1 tan x x sec2 x secx tan x . 2x
13
训练：求导数
(1) y e x xe ee , y e x ex e1 .
(2) y x cot x xn ln x ,
y 1 cot x x csc2 x nx n1 ln x xn1 . 2x
且( y) 0 , 那么它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
高等数学2-2
x a cost 例12 求椭圆 在t 处的切线方程和法线方 程.
解
4 y b sin t dy b cos t b dy dt cot t , dx dx a sin t a dt
可得
k切
b b dy cot , dx t a 4 a
1 , 求y . 例3 设y sin 1 x
解
y
1 cos 1 x
1 1 1 cos . 2 1 x (1 x) 1 x
2
例4 设y sin e x , 求y . 解
y ( sin e )
1 2 sin e 1
x2
1 x x2 1 1 x x2 1
2
x
x 2 x2 1
2x 1 2 2 x 1
1 x 1
2
x2 1 例6 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
例1 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例2 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
例13 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
二节基本的导数公式与运算法则-精选
n22xx1n12x1(2(x2)x()22x1)(2x)
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
第二节函数的求导法则-精品
(e x ) e x (ln x ) 1
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
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这两个记号含义不同
f (u ) u ln cos(e x )
例6. 设 解:
1 x x2 1 1 x2 1
1
1 2 x 1
2
2x
记 arsh x ln ( x x 2 1 ) , 则 (反双曲正弦)
e x e x sh x 2 的反函数
(arsh x)
3. 复合函数求导法则
(C u ) C u ( C为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
说明: 最基本的公式 (C ) 0
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (u v) uv u v
证: 设 f ( x) u ( x)v( x) , 则有
f ( x h) f ( x ) u ( x h )v ( x h ) u ( x )v ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h h
d y
定理2. 设 y f ( x) 为 x f
1
1
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 则
y (
1
2
,
2
),
cos y 0 , 则
1 (sin y ) cos y
1 sin 2 y
利用 arccos x arcsin x 2 类似可求得
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc 2 x , (sec x) sec x tan x .
二、反函数的求导法则
( y ) 的反函数 , f ( y ) 在 y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1 ( y )] 0 d y 1 f ( x) 1 或 d1x dx [ f ( y )]
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v( x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
(1) (u v) u v 证: 设 f ( x) u ( x) v( x) , 则 f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h0 h [ u ( x h) v ( x h) ] [ u ( x ) v ( x ) ] lim h0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h0 h0 h h u( x) v( x) 故结论成立.
3 1 4
1 4
对吗?
1 4
31 4 x
1 2 x
2. 设Байду номын сангаас
其中 (x) 在 x a 处连续,
在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x) ( x) ( x a) ( x) 故 f (a) (a) 正确解法:
(sin x) cos x
(ln x)
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数
例7. y
x 1 x 1 求 , y . x 1 x 1
2
2x 2 x 1 2 x x 1 解: y 2 1 x y 1 (2 x) 1 2 x2 1 x2 1
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列导数: 解: (1) ( x ) (e
ln x
)
( ln x)
x
x 1
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x) x x ( ln x 1)
e x e x e x e x ch x (3) (sh x) 2 2 说明: 类似可得 1 x a x ln a . (ch x) sh x ; (th x) 2 ; (a ) ch x sh x e x e x a x e x ln a th x sh x ch x 2
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(arccos x)
1
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
u ( x h) u (x) v( x h) u (x) v( x h) v( x) lim h 0 h h
u ( x)v( x) u ( x)v( x)
故结论成立.
推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
2) ( uvw ) u vw uvw uvw 1 ln x 3) ( log a x ) ln a x ln a
y a x (a 0 , a 1) , 则 x log a y , y ( 0 , ) 2) 设
1 (log a y )
1
1 y ln a
y ln a
特别当 a e 时, ( e x ) e x
小结:
( arcsin x) ( arctan x)
例1. y x ( x 4 cos x sin 1) ,
3
( x 3 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
x ( x 4 cos x sin 1)
3
2 x 1 y x 1 (1 4 cos 1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos 1 2 2
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
(3)
u u v u v 2 v v
u ( x) v( x)
证: 设 f (x)
, 则有
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h
证: 在 x 处给增量 x 0 , 由反函数的单调性知 y 1 x y f ( x x) f ( x) 0 , x y 且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0 , 因此 y 1 f ( x) lim lim x x0 x y 0 [ f 1 ( y )] y
第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
(C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
例8. 设 y x
aa
a
xa
a
xa ax
ax
(a 0), 求 y .
a 1
解: y a x
a a a 1
a a
ln a a x
ln a a x ln a
例9. y e
解:
sin x2
arctan x 1 ,求
2
y .
y (e
sin x 2
cos x 2 2 x) arctan x 2 1 1 sin x 2 1 2x ) e ( 2 x 2 x2 1
2
1 1 x 1 x 2 2 4 1 x2 1 1 x2 1 x 1 1 x
1 1 1 x 2 2 x 2 1 x2 2 x 1 (2 x x 3 ) ln( x 2 x 2 1) ln( 1 x 2 1) 1 1
1 v h x v ) 推论: v( h) ( x2 v v
故结论成立.
例2. 求证
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) 证: (tan x) cos 2 x cos x
cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos x 1 (sin x) (csc x) 2 2 sin x sin x sin x
(a ) a ln a
x x
( arccos x) ( arc cot x)
( e x ) e x
三、复合函数求导法则
定理3. 在点 x 可导, 在点
可导
复合函数 在点 x 可导, 且 dy f (u ) g ( x) dx y 证: y f (u ) 在点 u 可导, 故 lim f (u ) u 0 u y f (u )u u （当 时 ) y y u u f (u ) ( x 0u f (u ) ) 故有 x x x
1 x x 1
2
2 sin x 2arctan x 2 1 2 x cos x e
e
sin x 2
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
1 1 1 x 1 2 ,求 y . 例10. 设 y arctan 1 x ln 2 2 4 1 x 1 1 1 x 解: y 2 1 ( 1 x2 )2 1 x2
dy y lim lim d x x 0 x x 0
f (u ) g ( x)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
f (u ) u ln cos(e x )
例6. 设 解:
1 x x2 1 1 x2 1
1
1 2 x 1
2
2x
记 arsh x ln ( x x 2 1 ) , 则 (反双曲正弦)
e x e x sh x 2 的反函数
(arsh x)
3. 复合函数求导法则
(C u ) C u ( C为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
说明: 最基本的公式 (C ) 0
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (u v) uv u v
证: 设 f ( x) u ( x)v( x) , 则有
f ( x h) f ( x ) u ( x h )v ( x h ) u ( x )v ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h h
d y
定理2. 设 y f ( x) 为 x f
1
1
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 则
y (
1
2
,
2
),
cos y 0 , 则
1 (sin y ) cos y
1 sin 2 y
利用 arccos x arcsin x 2 类似可求得
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc 2 x , (sec x) sec x tan x .
二、反函数的求导法则
( y ) 的反函数 , f ( y ) 在 y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1 ( y )] 0 d y 1 f ( x) 1 或 d1x dx [ f ( y )]
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v( x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
(1) (u v) u v 证: 设 f ( x) u ( x) v( x) , 则 f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h0 h [ u ( x h) v ( x h) ] [ u ( x ) v ( x ) ] lim h0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h0 h0 h h u( x) v( x) 故结论成立.
3 1 4
1 4
对吗?
1 4
31 4 x
1 2 x
2. 设Байду номын сангаас
其中 (x) 在 x a 处连续,
在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x) ( x) ( x a) ( x) 故 f (a) (a) 正确解法:
(sin x) cos x
(ln x)
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数
例7. y
x 1 x 1 求 , y . x 1 x 1
2
2x 2 x 1 2 x x 1 解: y 2 1 x y 1 (2 x) 1 2 x2 1 x2 1
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列导数: 解: (1) ( x ) (e
ln x
)
( ln x)
x
x 1
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x) x x ( ln x 1)
e x e x e x e x ch x (3) (sh x) 2 2 说明: 类似可得 1 x a x ln a . (ch x) sh x ; (th x) 2 ; (a ) ch x sh x e x e x a x e x ln a th x sh x ch x 2
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(arccos x)
1
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
u ( x h) u (x) v( x h) u (x) v( x h) v( x) lim h 0 h h
u ( x)v( x) u ( x)v( x)
故结论成立.
推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
2) ( uvw ) u vw uvw uvw 1 ln x 3) ( log a x ) ln a x ln a
y a x (a 0 , a 1) , 则 x log a y , y ( 0 , ) 2) 设
1 (log a y )
1
1 y ln a
y ln a
特别当 a e 时, ( e x ) e x
小结:
( arcsin x) ( arctan x)
例1. y x ( x 4 cos x sin 1) ,
3
( x 3 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
x ( x 4 cos x sin 1)
3
2 x 1 y x 1 (1 4 cos 1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos 1 2 2
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
(3)
u u v u v 2 v v
u ( x) v( x)
证: 设 f (x)
, 则有
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h
证: 在 x 处给增量 x 0 , 由反函数的单调性知 y 1 x y f ( x x) f ( x) 0 , x y 且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0 , 因此 y 1 f ( x) lim lim x x0 x y 0 [ f 1 ( y )] y
第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
(C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
例8. 设 y x
aa
a
xa
a
xa ax
ax
(a 0), 求 y .
a 1
解: y a x
a a a 1
a a
ln a a x
ln a a x ln a
例9. y e
解:
sin x2
arctan x 1 ,求
2
y .
y (e
sin x 2
cos x 2 2 x) arctan x 2 1 1 sin x 2 1 2x ) e ( 2 x 2 x2 1
2
1 1 x 1 x 2 2 4 1 x2 1 1 x2 1 x 1 1 x
1 1 1 x 2 2 x 2 1 x2 2 x 1 (2 x x 3 ) ln( x 2 x 2 1) ln( 1 x 2 1) 1 1
1 v h x v ) 推论: v( h) ( x2 v v
故结论成立.
例2. 求证
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) 证: (tan x) cos 2 x cos x
cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos x 1 (sin x) (csc x) 2 2 sin x sin x sin x
(a ) a ln a
x x
( arccos x) ( arc cot x)
( e x ) e x
三、复合函数求导法则
定理3. 在点 x 可导, 在点
可导
复合函数 在点 x 可导, 且 dy f (u ) g ( x) dx y 证: y f (u ) 在点 u 可导, 故 lim f (u ) u 0 u y f (u )u u （当 时 ) y y u u f (u ) ( x 0u f (u ) ) 故有 x x x
1 x x 1
2
2 sin x 2arctan x 2 1 2 x cos x e
e
sin x 2
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
1 1 1 x 1 2 ,求 y . 例10. 设 y arctan 1 x ln 2 2 4 1 x 1 1 1 x 解: y 2 1 ( 1 x2 )2 1 x2
dy y lim lim d x x 0 x x 0
f (u ) g ( x)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y