两个重要极限的推广与应用
两个重要极限的推广与应用
摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。
关键词： 重要极限 推广形式 应用
Two important limits of popularization and application
Abstract :
Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a
basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application.
Keywords:Important limit Extended form application
极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和
微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0
=→x x x 和e
x x x =+∞→)1
1(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可
以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。
1.两个重要极限的基本形式及其推广形式
1.1 1sin lim 0
=→x
x x (1)
运用1sin lim
=→x
x
x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面： ①分数线上面的x 要与分数线下面的x 要保持一致。 ②公式中的x 一般要趋近于0,并且
x
x
sin 要符合00型的未定式。
③式子中的x 不但可以表示一个未知数，而且可以代表一个式子。 ④通过数学中的变量替换，我们知道当
0)(lim
=→x g x x 时1sin lim 0
=→x
x x 可以推广为
1)()
(sin lim
=→x g x g x x (2) ⑤这一重要极限我们可以记做1sin lim
=?
?
→?，其中?代表一个未知量。 1.2 e x x x =+∞
→)1
1(lim (3)
或e x x
x =+→1
)1(lim (4)
同样，在应用这个重要极限时我们也要注意几个方面：
①同（1）式中的x 一样，此处的x 可以表示一个未知数x ，也可以表示一个式子。
②当∞=→)(lim 0
x g x x 时有e x g x g x x =+
→)
())
(11(lim 0
(5) 或当0)(lim 0
=→x g x x 时有e x g x g x x =+→)
(1))
(1(lim 0
(6)
③由②中可以看出此处的x 可以趋近于0，也可以趋近于∞，但必须与（3）和（4）中保持一致。
④由（3）（4）（5）（6）我们可以看出公式中括号内加号后面的部分与括号外的
幂次互为倒数，并且基本形式与推广形式都可以转化为∞1这种类型的极限问题。
⑤类比于1sin lim
=??→?，这一重要极限我们可以记做e =?+?∞
→?)1
1(lim ，其中?代表一个未知量。
2. 求极限时两个重要极限的具体应用
2.1 1sin lim
=→x
x
x 及其推广公式的应用 例1 求x
x
x sin 5lim
→ 分析：由公式（1）我们可以直接得到 解：
x
x
x sin 5lim
→=551=? 例2 求x
x
x 3sin lim
→ 分析：观察题目我们看出，由于当x →0时有3x →0，如果我们把分母中的x 变成3x 就可以运用公式（2）来解这道题目，因此
解：
x x
x 3sin lim
→= x x x 33
13sin lim 0
?→
=?3x
x
x 33sin lim
→ =3
例3 求x
x
x 3tan 42sin 3lim
→
分析：在解这道题时我们要先利用三角函数把tanx 转化为sinx,然后再把分子和分母都转化为公式中的形式，再利用上面给出的公式，这样就可以解决这道题目。
解：
x
x x
x
x x x x
x
x x x x x x x x x 3cos 3sin 2sin 433cos 3sin 4
2sin 33tan 42sin 33cos 3sin 4
2sin 33tan 42sin 3lim lim lim lim lim 00000?====→→→→→
2
11121
3cos 33sin 22sin 32
433cos 333sin 222sin 43lim lim lim 0
00
=
??=?=
???=
→→→x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x 例4 求4
2
cos 12lim
x x x -→ 分析：观察题目我们可以看到，题中有2
cos 1x -，我们可以利用三角函数公式将
其先转换成2
sin 2
x ，然后再利用上面的推广公式就可以很顺利的解决这道题目了。
解：
42
cos 12lim
x x x -→= 42
20
)
2(sin 22lim x
x x → = 2220
)2
2sin
(21
2lim x x x →? 1
1
212=??= 例5 求1
31sin
322lim
-+∞
→m m m m 分析：通过观察可以看出，把分子上的未知数转化到分母上可以凑成推广公式的
形式，再利用其就可以计算出该题。
解：
1
3311
sin
131sin
3222lim lim
-?=-+∞→+∞
→m m m
m m m m m m
3
311
3311sin 2lim
lim
=?=-=+∞
→+∞
→m m m
m
m m
2.2 e x x x =+∞
→)1
1(lim
或e x x x =+→1
)1(lim 及其推广公式的应用
例6求
5)11(51lim +∞→+m m m
分析：观察可以看出，先做一下等价变形，然后再利用基本形式就可以计算出答案。
解：
])11()11[(51)11(515
5lim lim m m m m m m m ++=+∞→+∞→ 5)11()11(51lim lim m m m m m ++=
∞
→∞→ 5115
1
=??=
e
例8求
x
x x cos 1cos 222
lim
--→
分析：通过观察我们可以看出，先运用三角函数的二倍角公式把分子和分母都转化为正弦函数，然后再把分子和分母分别凑成推广形式，再利用公式即可解出这道题。
解：
x
x x cos 1cos 222
lim
--→=
2
2
)2
(sin 22sin
2lim
x x x → 11
1)2(sin 2
2
2sin
22
2
2
20
lim
=?==→x x x x x
例7 求x
x x 10
)41(lim -→
分析：在解这道题时，我们要注意括号中1之后的符号是正号还是负号 解：
x
x x
x x x 10
10
)]4(1[)
41(lim lim -+=-→→
4
)4()41
(
)]
4(1[lim --?-→=-+=e x x
x
例8求1
2)2
535(
lim -∞
→-+x x x x 分析：通过题目我们可以观察出这道题可以转化为∞1的形式，然后我们利用分离系数将其等价变形为我们熟知的求极限的形式，再利用上面的公式即可解决问题。
解：
1
212)2511()2535(
lim lim
-∞
→-∞
→++=++x x x x x x x
5
22
51
2)25()
2511(lim
e
x x x x x =++=+-?+∞→
例9求1
3)3
747(
lim -∞
→-+x x x x
分析：通过观察我们可以看出，该道题可以转化为∞
1的形式，我们利用分离系数把其
转化为上面给出的形式，然后再利用公式即可解出。
解：
1
313)37737()3747(
lim lim
-∞
→-∞
→-+-=-+x x x x x x x x )
13(3
77
)37(1
3)3
77
1()3771(lim lim -?-?-∞
→-∞
→-+
=-+=x x x x x x x x
e 3
=
例10 求
x x x
x 31
)211(lim
+-→ 分析：通过题目我们可以观察出这道题可以转化为∞
1的形式，然后我们利用分离
系数将其等价变形为我们熟知的求极限的形式，再利用上面的公式即可解决问题。
解：
x x x x 310
)211(lim
--→=x x x x x 31
)21321(lim --+→ =
x x x x 31
0)1
231(lim
-+→
=
x
x x x x x x x 31
1233120
)
1
231(lim
?-?-→-+
=e 1-
小结：通过以上的例题我们可以看出，在利用两个重要极限来计算极限的时候，我们经常运用的是其推广形式，这就要求我们在学习这部分内容时不仅要记住最基本的形式，而且要真正理解这两个重要极限的内涵，熟练运用其推广形式，不能只是死记硬背，生搬硬套，而是要能够做到举一反三，熟练掌握。
3. 微分学中两个重要极限的运用
极限在微分学中的应用很广泛，其中导数的定义就是由极限来定义的，而两个重要极限更是在推导一些重要极限的必备工具，比如说关于三角函数和幂函数导数的推
导。
3.1 ααcos )(sin ='
推导过程：由导数的定义我们可以知道
α
ααααα
αααα??+?=?-?+='→?→?2sin
22cos 2sin )sin()(sin lim
lim 0
a
α
α
α
αα???+?=→?2sin
22cos
2lim 0
2
2sin
22cos
lim lim 0
α
αα
ααα??+?=→?→?
α
αcos 1
cos =?=
3.2 ααsin )(cos -=' 推导过程：由导数定义得
αααααα
ααααα??+?-=?-?+='→?→?2sin
22sin 2cos )cos()(cos lim
lim
α
ααααααααααααsin 1sin 2
2sin
22sin 2sin
22sin 2lim lim lim 0
00
-=?-=??+?-=???+?-=→?→?→? 3.3 log log 1
)(e m
m
α
α=
' 推导过程：由导数定义得
log lim
log
lim
log log
lim
log )1(0
1
1)(α
α
α
α
αα
αααα
α
ααα
α
α
α??+→??+→??+→?=?=?-='m
m
m
m
m
log
log log
lim 1
lim
11
]
)1([
)1(0
1
1
e m
v m
v m
v v v v
α
α
α=
==++→→
以上几个实例说明了运用两个重要极限可以推导一些基本导数公式，而且有时候求导数时必须用两个重要极限，比如说ααcos )(sin ='等用其他的方法就很难求出，可见两个重要极限的用处之广泛。
当然，两个重要极限的应用并不仅仅只有这些，比如在经济学中还有很广泛的应用，其实数学知识不在于举多少应用例子，关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值。
参考文献：
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[10]龚怀云 刘跃武 陈红斌 向淑晃. 数学分析 [M]. 西安交通大学出版社, 2000. 47-50.
1-7 两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1． 例1 求x x x tan lim →． 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim →．
(完整版)1-7两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求20cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→．
两个重要极限学习资料
2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论） （6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x
那么，？=→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 0型极限； （2）分子是正弦函数； （3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例1】 求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ） 【例3】 求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习 （1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结:
两个重要极限(可编辑修改word版)
2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ?
lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结:
两个重要极限练习题
1-7两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 综上所述，得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点： x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解 令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ； x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果 是 推广 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2
(完整版)数学分析中求极限的方法总结.
数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1 （1 （2（3）若B ≠0 （4（5）[] 0lim ()lim ( )n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数） i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 ()()222 22 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+= =-- 例2. 求3 x →
33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知() 111 12231 n x n n = +++ ??-? L L 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? L L 1111111 1 3311 n n n =-+-+-+- -- L L 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()() 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→? → +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即
《第二个重要极限的应用——复利模型》
《第二个重要极限的应用——复利模型》 教学方案设计 一、教学简述 （一）教学背景 极限是高等数学的最基础的理论及工具，尤其是第二个重要极限在极限中占有很重要的地位，它的结构独特，使用灵活，许多实际问题都依赖于为这种极限的应用，特别是复利模型的应用，因此若掌握了第二个重要极限不仅有助于我们学好微积分，也利于解决生产和生活中的实际问题。 （二）教学特色 第二个重要极限的地位特殊，由于结构复杂，形式多样，计算灵活，在经济学中尤为重要，为了体现其在经济工作中的优势，本节课旨在突出第二个重要极限的应用——复利模型，通过理论联系实际，以点至面的让学生掌握这一重点和难点。本节微课从“情境问题”教学法出发，构建虚拟课堂，因故事引出谜团，以谜团贯穿教学过程，借谜团掌握知识要点，构建以专业问题为背景的数学模型教会学生学会
主动提出问题、研究问题和解决问题，最终又回归于专业问题的运用。环环相扣的教学进程，让学生步步深入教学内容，提高学习的效果，从而更助于学生掌握本节课的知识。 （三）教学内容 1.课程《高等数学》 2.章节：第一章函数极限与连续性，第三节两个重要极限的第二部 分第二个重要极限。 （四）授课对象 财管、经济、国贸等经管类专科一年级 （五）教学目标 1.知识目标：基于第二个重要极限的学习，探究复利模型的最终结 论，进而回归实际问题，完成对第二个重要极限的应用。 2.能力目标：通过本微课的学习培养学生质疑问题、解决问题的能 力和相关知识的迁移能力。对专业学习和生活阅历的培养都有帮助。 3.情感目标：专业问题的引入可以激发学生的学习兴趣，明确高等 数学的实用性，体会数学思想和数学方法的精妙。进而培养学生主动探索和创新的科学精神。 （六）教学的重点与难点 1.重点：利用第二个重要极限的运算方法解决实际运用 2.难点：引导学生对复利模型的理解和归纳总结，进而推出其结论。（七）教学方法
两个重要极限的推广与应用
两个重要极限的推广与应用 摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词： 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。 1.两个重要极限的基本形式及其推广形式 1.1 1sin lim 0=→x x x (1) 运用1sin lim 0=→x x x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面：
大学数学经典求极限方法(最全)
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 )1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】∞ ∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???????=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】13)13)(13(lim )13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 例4：求极限3 0sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键
重要极限
题目：两个重要极限 学生姓名：刘强麟 学生学号：201603180125 专业班级：市场营销A1班 一、两个重要极限的认识 两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。 《经济数学基础》课程在讲述关于两个重要极限时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。 二、极限存在的准则 为了得出两个重要极限公式，先给出两个判定极限存在的准则： 准则I ：如果函数 f （x ），g （x ），h （x ）在同一变化过程中满足 g （x ）≤f （x ）≤h （x ）， 且()=x g lim ()A =x h lim ，那么()x f lim 存在且等于A. 准则II ：如果数列{n x }单调有界，那么n n X lim ∞ →一定存在.
三、两个重要极限的证明 两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对“夹逼”定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。 1、重要极限一：1sin lim 0 =→x x x 证： 因为()x -x -sin =x sinx --=x sinx ，既x 改变符号时，x sinx 的值不变，所以只讨论x 有正值趋于零的情形。 作单位圆O ，如图： 设圆心角x =∠AOB ，延长OB 交过A 点的切线与D ，则 AOB ?面积<扇形AOB 面积
两个重要极限的推广与应用
两个重要极限的推广与应用 摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词： 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和 微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)1 1(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可
重要极限的推广及其应用
重要极限1lim 1+x x e x →∞ ?? = ??? 的推广及其应用 1 引言 极限1lim 1+x x e x →∞ ?? = ??? 是高等数学中的重要极限之一.它在数学、经济等各领域都有广泛的应用.此 重要极限公式无论在极限内容还是在实际生活应用中都占有十分重要的地位，也是目前竞争激烈的全国硕士研究生数学系统考试中重点测试内容之一.但是，不少学生对该重要公式的本质特征和计算方法缺乏全面、深刻地认识，在解题和实际生活应用中经常犯错误，因此进一步学习和研究此重要极限公式，有利于我们更加深刻的理解和灵活应用此重要极限，进一步利用此重要极限解决实际问题，以达到将理论知识与实际问题相结合的目的，这对于开阔学生思维、激发学习兴趣有积极的促 进作用，从而可以激发学生讨论新知，调动学生的积极性.本文在分析重要极限1lim 1+x x e x →∞ ?? = ??? 的5 个基本特征基础上，给出了7个推广定理，并给予证明，其次举例说明推广公式的优越性，同时得到了一些容易掌握的应用技巧，最后给出了此重要极限公式在实际生活中的简单应用. 2 预备知识 引理 设在同一极限过程下，若()()lim 0,lim f x a g x b =>=(a b ，为有限数)，则 () () lim g x b f x a =.（证明略） 3 重要极限公式的本质特征 此重要极限公式的标准形式: e x x x =?? ? ??+∞ →11lim ，另两种变形为: ()1 0lim 1x x x e →+=， 1lim 1n n e n →∞ ?? += ??? ，通过观察此重要极限的三种形式，我们可以发现如下特征: (1)在使用它求极限时，必须使函数出现()() 11?? +???? 形式. (2) () 1 部分趋于0，指数部分趋于∞. (3) () 1 部分与指数部分互为倒数. (4)() 1 1+ 部分的极限值为1，指数的极限值为∞，属于“1∞ ”型.
两个重要极限试题
两个重要极限试题
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1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： x (弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... x x sin 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求20cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→．
对两个重要极限的重要性的认识
e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→x x x 对两个重要极限的重要性的认识 摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。 关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用 1.绪论 两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目 前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。 《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。 它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。 2.两个重要极限的证明 两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。 2.1第一个重要极限：1sin lim 0=→x x x 证明：作单位圆，如图1：
高等数学重要公式
《高等数学》（专科升本科）复习资料 一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材 高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法： 第一部分 函数、极限、连续 复习内容 函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。 复习要求 会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。 重要结论 1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇 函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限； 3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定 收敛； 4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于 零； 5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷 大量的乘积则有多种可能 6. 初等函数在其定义域内都是连续函数； 7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。 重要公式 1. 若,)(lim ,)(lim 0 0B x g A x f x x x x ==→→则 AB x g x f x g x f x x x x x x =?=?→→→)(lim )(lim )]()([lim 0 00； B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00。)0(≠B 2. 两个重要极限公式 1）1sin lim 0=→x x ；2） e x x x =??? ??+∞→11lim ，()e x x x =+→101lim 。