达西方程与渗透

Darcy 方程与渗透率
Darcy 方程
动量守恒律即是控制体元中运动流体的动量变化率等于所有有效的作用外
力总和，表示为：
ρσd dt
u F =+∇⋅
(1-2) 在流体力学中，不可压缩粘性流体动量守恒律表现为著名的Navier-Stokes 方程组。

原则上讲，给出Navier-Stokes 方程、连续性方程以及两个状态方程，就可以解决任意形状中不可压缩粘性流体运动的所有问题，而多孔介质中流体的流动也不例外。

遗憾的是Navier-Stokes 方程是非线性的，除非多孔介质中流体流动的孔道具有规则的几何形状和良好的对称性，否则不可能求解之。

以多孔介质孔道的复杂性和不规则性，Navier-Stokes 方程不可能直接适用于解决渗流力学问题，因此如果要想在多孔介质中应用流体力学基本方程组，必须根据流体渗流的特点对之加以改造。

在渗流力学中，动量守恒律表现为Darcy 方程。

这一方程原是Darcy 在1855~1856年就法国Dijon 的给水过滤问题进行的直立均质砂柱中水的流动实验所得到的。

Darcy 方程虽然是一个实验型定律，但是有具体的物理含义。

根据流体力学中的Hagen-Poisseuille 公式（Navier-Stokes 方程的一个特解）采用毛细管模型、水力半径模型等可以导出Darcy 方程的等价形式。

而在低Renolds 数的层流条件下，忽略渗流流体的惯性力影响并且对单元体取体积平均，由Navier-Stokes 出发亦可以得出Darcy 方程。

以下我们回顾Darcy 方程。

Darcy 方程：
v =-
∇Φk ρ
μ
(1-3)
其中，v 是流体渗流速度，而流体势函数定义为：
Φ=
+P
gz ρ
(1-4)
这里，ρ是流体密度，流体势Φ实质是每单位体积上的机械能。

平面均质流体渗流的Darcy 方程： L
P
K A
q ∆=μ (1-5)
Darcy 方程是一种线性方程，它假定介质与流体之间没有耦合作用，而只表明流量与介质长度成正比；它只适用于一定的Reynolds 数范围。

Forchheimer 等人就多孔介质中大Renolds 数的非Darcy 流动问题有过很好的研究。

而Irmay 等就Darcy 方程的下限问题进行过讨论。

有关论述可参阅Bear （1972）的著作。

与欧姆定律物理相似性（ρ=电导率）：
L
V
A R V I ρ∆=∆=
(1-6)
式中，I =电流（A ），△V =电压降（V ），R =电阻（Ω）
与Fourier 定律物理相似性：
L
T
AK q h
∆= (1-7) 式中，q =热量单位，K h =导热系数（热量单位/（m*hour*K ）），△T =温差（K ）。

平均渗透率计算、毛管方程
（1）层状介质并联线性流、径向流： ∑∑===n
j j
n
j j
j h
h K K 1
1 (1)
（2）层状介质串联线性流：
∑==n
j j j
K L
L
K 1
(2)
（3）层状介质串联径向流： ()
()∑=-=
n
j j
j j
w e K r r
Log r r Log K 1
1/ (3)
（4）牛顿流体Hagen-Poisseuille 圆管层流方程：
L P r q μπ84∆=，8
2
r K =
(4)
（5）牛顿流体Buckingham 水平裂缝层流方程：
L
P
h q μ123∆=
，123h K = (5)
（6）牛顿流体Fanning 圆管紊流方程：
L
f P
r v ρμ∆=42
(6)
（7）非牛顿幂率流体圆管层流方程（C=稠度指数，n=幂率指数）：
n
n n r
n n L P C q )31(1
3121+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=π (7) n n n n
e r n n C )
1)(1(131-+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=φμ
(8) n
n e r
n n K )
1(312+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=φ (9)
（8）非牛顿Bingham 流体圆管层流方程（C=稠度指数，n=幂率指数）
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=4
004)/(/231)/(/23418L P r L P r L P r q ττμπ，82r K = (10)
（9）Klinkenbeig 效应
P m K P
b K K g g L 1
1-=+=
(11)
渗透率和孔隙度、有效应力关系
单一介质
（1）Kozeny-Carman 方程（1927，1937，1997）
K R K =203
φ，K S gv =-Γ212
32
τφφ() 式中，K 0=无量纲常数，R =水力半径，φ=孔隙度，Γ＝孔喉半径，τ＝迂曲度,S gv =比表面。

（2）渗透率和压差关系式：Henpumepob （1961），Pedrosa （1986），Kikani （1991）
α∂∂=
1K K
P
K K e P P i =--0α()
式中，K 0=初始渗透率，α=常数
（3）渗透率和正应力关系式：Louis (1974钻孔压水试验)
K K e =-0ασ，σγ=h
式中，K 0=初始渗透率，α=常数，γ=岩石容重，h =埋藏深度，σ=正应力 （4）常晓林（1987）
假设渗透主轴与应力主轴保持重合，推广情形2 (i j k ,,,,=123)
K K i E P i j k i =--+-
--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣
⎢⎤⎦⎥0212exp ()βμσσμ
μσς 单一裂缝
（1）立方定律：平均N-V 方程单一水平缝解
Q a dP dl =
⎛⎝ ⎫⎭
⎪()2123
μ
式中，a =缝半宽，与Darcy 定律相对比可知K a ~3 （2）Snow (1968)
()()K K K b s P P h N =+⎡⎣⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥-0202
式中，K h =水平渗透率，K 0=初始压力P 0下的渗透率，2b =裂缝张开度，s =裂隙间距。

K N =裂隙法向刚度（ML T --12） （3）Jones (碳酸岩类岩石裂隙 1975)
K K P P f h =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥03
log
式中，P ＝有效压力，P h =有效压力（K f =0） （4）Nelson （Navajo 砂岩裂隙 1975）
K A BP f n =+-
式中，P ＝有效压力
（5）Gangi (基质裂隙平均模型1975)
K P K C P P P e
()/=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭
⎪00023
4
1
式中，C 0＝充填影响常数，P 0＝基质（颗粒）有效模量。

单一裂隙钉板模型：
K P k P P m ()=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥013
1，01<<m
式中，P 1=裂隙面粗糙度有效模量 （6）Kranz (Barre 花岗岩裂隙 1978)
K Q
A
P P f c f n =--0()
式中，A ＝过水面积，P c =总压力，P f =孔隙流体压力 （7）Walsh & Grosenbaugh (1979)
K K h a P P e
013
0012⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪/ln
式中，h =几何平均缝宽，P e =有效应力，P P P e c P =-α （8）Zhang Bochong (1986)
K A B P P c p 13/ln()=+-α 式中，A 、B 为常数。