数列的综合运用

(2)[证明] 由(1)知 Sn＝n2，
2 1 n ＋ 1 n ＋ 1 1 1 * － 2 当 n∈N 时， ＝ 2 ＝ 2 ， n n ＋ 2 SnSn＋2 n n＋22 4
n＋1 2 3 ＋ ＋„＋ S1S3 S2S4 SnSn＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝412－32＋422－42＋„＋4n2－n＋22 ， 1 1 1 1 ＝ 12＋22＋„＋n2－ 4
[ 解]
依题意可知：每年的保养、维修费成等差，管理人
员工资费用成等比，则 1 1 10 年的保养、维修费共为： 2(a1 ＋ a10)· 10 ＝2 [1.2 ＋ 1.2 ＋ 0.2(10－1)]· 10＝21(万元) b1q10－1 2[1＋0.0510－1] 10 年 的 工 资 总 和 为 ＝ q－1 1＋0.05－1 21＋10×0.05－1 ≈ ＝20(万元) 0.05
n－1
n＋1 n＋1 n＋1 得 bn＝ 4a ＝ n－1＝ n＋1 4×2 2 n ①
n＋1 2 3 4 则 Tn＝22＋23＋24＋„＋ n＋1 2
n＋1 1 2 3 4 n 2Tn＝23＋24＋25＋„＋2n＋1＋ 2n＋2 ②
①－②得 n＋1 1 2 1 1 1 1 2Tn＝22＋23＋24＋25＋„＋2n＋1－ 2n＋2
[解析]
由等比中项知 a2a3＝a1a4
又∵a2· a3＝2a1，∴a1· a4＝2a1，而 a1≠0，∴a4＝2. 5 由已知 a4＋2a7＝2×4， 1 a7 1 1 a4 2 3 ∴a7＝4，∴q ＝a ＝8，∴q＝2，∴a1＝q ＝1＝16， 4 3 8 1 a11－q5 16×1－25 ∴S5＝ ＝ ＝31.故选 C. 1 1－q 1－2
2n 2n (3)∴cn＝ ＝ n anan＋1 2 ＋12n＋1＋1 2n＋1＋1－2n＋1 ＝ n 2 ＋12n＋1＋1 1 1 ＝ n － n＋1 2 ＋1 2 ＋1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ＝ ( 1 － )＋ ( 2 － )＋„ ＋ ( n － 2 ＋1 22＋1 2 ＋1 23＋1 2 ＋1 1 1 1 1 )＝ － n＋1 ＜ . n＋1 2 ＋1 3 2 ＋1 3
解得 q＝2，an＝2n (2)由(1)得 a2＝8，a5＝32，则 b3＝8，b5＝32 设{bn}的公差为
b1＝－16 解得 d＝12 b1＋2d＝8 d，则有 b1＋4d＝32
从而 bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28
所以数列{bn}的前 n 项和 n－16＋12n－28 2 Sn ＝ ＝ 6 n －22n 2
1 1 3×1－ n－1 2 2 n＋1 3 n＋1 1 1 ＝ ＋ － n＋2 ＝ － n＋1－ n＋2 2 1 4 2 2 2 1－ 2 3 1 n＋1 3 n＋3 所以 Tn＝2－2n－ n＋1 ＝2－ n＋1 . 2 2
[点评与警示] 本题主要考查了等比数列的定义，通项公 式，以及已知Sn求an的基本题型，通过指数函数的给出n与Sn的
1 1 1 1 1 ＋ ＋ „ ＋ ＋ „ 2 2 2 2 5 n＋1 n＋2 4 3
1 1 1 1 1 ＝412＋22－n＋12－n＋22 ， 1 1 ∵ ＋ ＞0， n＋12 n＋22 n＋1 1 1 1 2 3 5 ∴S S ＋S S ＋„＋ ＜4(12＋22)＜16. SnSn＋2 1 3 2 4
数列综合题的几种题型 1．等差数列与等比数列的综合问题 2．数列与其它章节知识的综合问题 数列与其它章节的综合题，包括数列知识和函数、方程、 不等式的知识综合，另外数列知识在三角函数、复数、解析几 何等部分也有广泛应用．
3．数列的探索性问题
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索
性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．
若把题中的条件“an＋1＝2an－1”换成“Sn＋1＝Sn＋2an－1” 结果会怎么样？ [解析] 结果一样．因为Sn＋1＝Sn＋2an－1可化为Sn＋ 1－Sn
＝2an－1.把an＋1＝Sn＋1－Sn 代入得an＋1＝2an－1.
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，点 (n，Sn)，均在函数 y＝2x＋r 的图象上 (1)求 r 的值； n＋1 (2)记 bn＝ 4a (n∈N*)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n
3．(2008·江苏卷10)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10

·······
按照以上排列的规律，第 n 行 (n≥3) 从左向右的第 3 个数为
________．
n－2n－1 [解析] 第 n－1 行的最后一个数为 n－1＋ 2 n2－n n2－n ＝ 2 ，第 n 行的第 3 个数为 2 ＋3.
∴4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，
∴q2－4q＋4＝0，
∴q＝2，S4＝15.
[答案] C
2．(2010· 广东，4)已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的 5 前 n 项和．若 a2· a3＝2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，则 S5 4 ＝( ) A．35 C．31 B．33 D．29
解模、还原评价．建立数列模型时，应明确是等差数列模型，
还是等比数列模型？是求an、sn还是n?
分析和解答数列应用问题的思维过程为：
给出答案．
例题中若每人收费为150元，则至少要多少年 才能开始盈利？ [解] 由 an ＝ 1.2 ＋ 0.2(n － 1) 可知每年保养费、维修费成等
差数列，bn＝2(1＋0.05)n－1可知管理员每年工资成等比数列， 设第n年开始盈利，n年总的保养费、维修费为Sn，n年管理
员的总工资为Tn，
na1＋an n[2.4＋0.2n－1] ∴Sn＝ ＝ 2 2 ＝1.1n＋0.1n2(万元)
[解]
(1)因为对任意的n∈N＋，点(n，Sn)，均在函数y＝2x
＋r的图象上．所以得Sn＝2n＋r， 当n＝1时，a1＝S1＝2＋r，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n＋r－(2n－1＋r)＝2n－1 又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为2，所以an＝ 2n － 1
(2)由 an＝2
b1qn－1 2[1＋0.05n－1] ∴Tn＝ ＝ q－1 1＋0.05－1 21＋0.05n－1 ≈ ＝2n(万元) 0.05 ∴15×104n≥(1.1n＋0.1n2＋2n＋60)×104 化简得 n2－118n＋600≤0① ∵当 n＝5 时 n2－118n＋600≥0， 当 n＝6 时 n2－118n＋600≤0， 答：至少要 6 年才能开始盈利．
某保健中心用60万元购进一台仪器，该仪器第n年保 养、维修费为an＝1.2＋0.2(n－1)万元，又第n年管理人员工资费
用为bn＝2(1＋0.05)n－1万元．平均每年有1000人次用该仪器作
检查．如果计划10年收回投资(含购机、维修、工资等)，问每 人检查一次收费应不少于多少元？ (注：当0≤x≤0.05时，可用近似公式(1＋x)n≈1＋nx)
关系，体现了等比数列的前n项和指数函数的关系，并运用错位
相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的 前n项和Tn.
若例题中的函数为y＝bx＋r(其中b＞0且
b≠1)，则r值是否与b有关，若有，用b表示r；若没有求出r的具
体值． [解 ] 因为对任意的n∈N＋，点(n，Sn)，均在函数y＝bx＋
[点评与警示] 本例主要利用等比数列与等差数列的通项 公式、前n项和求解．
(2011· 惠州二模)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－ 1(n≥1) (1)设 bn＝an－1(n＝1,2,3„)，求证：数列{bn}是等比数 列； (2)求数列{an}的通项公式； 2n 1 (3)设 cn＝ ，求证：数列{cn}的前 n 项和 Sn＜ . 3 an· an＋1
n2－n＋6 [答案] 2
(2009·福建卷文)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) 若 a3 ， a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项，试求数
列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[ 解]
(1)设{an}的公比为 q 由已知得 16＝2q3，
1．所谓数列综合题有两种意义：一种是指数列单元内的
综合题，即需要综合运用数列的各种知识和方法求解的题；一
种是数列与其他数学内容的综合题，包括数列知识与函数、不
等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解 析几何等部分也有广泛的应用．
3 ．解数列应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、
r(其中b＞0且b≠1)的图象上 所以得Sn＝bn＋r， 当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r) ＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1， 又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以an＝ (b－1)bn－1.
(2011· 深圳一模)设数列{an}是公差为 d 的等差数列， 其前 n 项和为 Sn.已知 a1＝1，d＝2， Sn＋64 (1)求当 n∈N 时， 的最小值； n
[解] an＋1－1 ＝2 an－1
(1) 由 an ＋ 1 ＝ 2an － 1 ，得 an ＋ 1 － 1 ＝ 2(an － 1) ，即
bn＋1 bn＝an－1，bn－1＝an－1－1 故 ＝2， bn ∴数列{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是 b1＝3－1＝2，q＝2 的等比数列； 故 bn＝b1qn－1＝2· 2n－1＝2n＝an－1 ∴an＝2n＋1.
[答案] C
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