平面直角坐标系中的直线方程求解
27.参数方程
第二十七章、参数方程（选修4-4第二章）知识清单考点一、直线参数t 的几何意义1.已知参数方程1.在平面直角坐标系中，直线L：1x=t 2y=1+t 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （t 为参数）与圆()()22x-1+y-1=2交于AB 两点，与y 轴交于点E ，求EA EB +2.设直线L的参数方程为1x=-1-t 2y=2+t2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （t 为参数），曲线C ：=2cos +3πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，若直线L 与曲线C 交于M,N 两点，若点P ()-1，2，求PM PN ⋅3.在平面直角坐标系中，直线L的参数方程为x=t 21y=2+t 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，曲线C 的极坐标方程为2cos 2=1ρθ，若直线L 与曲线C 相交于A,B 两点，P(0,2)，求11+PAPB4.直线的参数方程为y=t⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），求L 交与曲线22y x +=194所得的弦长5.在平面直角坐标系xoy 中，直线L 的参数方程为x=1-ty=2+t ⎧⎨⎩（t 为参数），与曲线C ：()()22x-2+y-2=8的交点为A,B ，求PA PB ⋅的值6.在平面直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为x=t⎧⎪⎨⎪⎩ （t 为参数），与圆()()22x-1+y+1=2交于A,B 两点，若P （0，-1），求PA PB +7.在平面直角坐标系xoy 中，直线L的参数方程为x=1t⎧+⎪⎨⎪⎩ （t 为参数），若直线与曲线C ：22x y +=143交于AB 两点，若点F ()1,0，求11FA FB+8.直线L ：kx-y+k=0与曲线()()22x+3+y-4=16交于M,N 两点，若直线恒过点A ，点P 为MN 的中点，求AP 的值9.在平面直角坐标系中，斜率为-1的直线L 过点M （3,0），与圆()()22x-2+y-2=8交于P,Q 两点，求MP MQ ⋅的值10.在平面直角坐标系xoy 中，直线L 过点(1P 且于直线OP 垂直，若直线与曲线C ：2y -2x=0交于A,B 两点，求11PA PB+的值11.在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为α的直线L 的参数方程为x=1+t cos y=t sin αα⎧⎨⎩（t 为参数）.已知直线L 过点M （0,1）与曲线2x -4y=0交于A,B 两点，设线段AB 的中点为Q ，直线过定点P,求PQ 的值考点二、直线参数t 的应用1.求范围或最值（已知角度范围）12.在平面直角坐标系xoy 中，直线L：x=2+t cos sin ϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，0，3πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），圆C ：0y 32-x 2-y x 22=+，若直线L 与圆C 交于M ，N 两点，当ϕ变化时，求弦长MN 的取值范围13.已知直线L 的参数方程为x=1+t cos y=t sin αα⎧⎨⎩ （t 为参数，0απ<< ）,曲线C ：1y 2x 22=+，直线L 与曲线C 交于A,B 两点，若直线L 与x 轴的交点为P ，求PA PB +的取值范围14.已知直线L ：x=-1+t cos y=1+t sin αα⎧⎨⎩（t 为参数）与圆E ：0y 4-y x 22=+交于A,B 两点，求MA MB -的最大值15.在平面直角坐标系xoy 中，直线L 过点M （1,0）与曲线：1y 3x 22=+交于不同的两点A,B,求MA MB AB⋅ 的最小值16.过点F （1,0）的直线与曲线：1C 1y 2x 22=+交于A,B 两点，与曲线22：y =4x C 交于M,N 两点，求FA FB FM FN⋅⋅的取值范围17.在平面直角坐标系xoy 中，直线L参数方程为1x=1+t 2y=t 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ，若直线L 与曲线：1y 2x 22=+交于不同的两点A,B,点P （1,0），求2211+PA PB的最小值2.求直线倾斜角（已知长度关系）18.在平面直角坐标系xoy 中，直线L ：x=1+t cos y=t sin αα⎧⎨⎩ （t 为参数，0απ<< ）与曲线13y 4x 22=+：C 交于A,B 两点，且P （1,0），当7+=2PA PB ，求cos α19.在平面直角坐标系xoy 中，直线L ：x=t cos y=t sin αα⎧⎨⎩（t 为参数，0απ≤< ）直线与曲线C ：()22x-1+y =4相交于A,B 两点，若AB =求α的值20.在平面直角坐标系xoy 中，直线L 过点M （2,1）与曲线14y 16x 22=+：C 交于A,B 两点，若M 恰好为线段AB 的中点，求直线斜率k21.平面直角坐标系xoy 中，直线L ：x=2+t cos y=-2+tsin αα⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线14y 16x 22=+：C 交于A,B 两点，若M 为线段AB 的中点，求α的值22.在平面直角坐标系xoy 中，直线L 参数方程为x=1+t cos y=t sin αα⎧⎨⎩（t 为参数，0απ≤< ），曲线C 极坐标方程为=4cos ρα，直线与曲线相交于A,B 两点，若AB = ,求直线倾斜角α的值23.在平面直角坐标系xoy 中，曲线y 2y x 22=+：C ，倾斜角为α的直线L 过点A （2,1），直线L 与曲线C 分别交于P ，Q 两点，若2PQ AP AQ =⋅,求直线L的斜率k24.在平面直角坐标系xoy 中，直线L：cos y=t sin αα⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，02πα≤< ）直线与y 轴正半轴交于点M ，与曲线1y 3x 22=+：C 交于A,B 两点，点A 在第一象限，曲线C 左焦点为F,若FB AM =,求直线倾斜角α的值考点三、ρ的几何意义及应用1.已知直线方程倾斜角25.在极坐标系中，曲线1：4cos C ρθ=，曲线2：=2sin C ρθ，曲线3：=6C πθ ，设3C 与12，C C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值26.极坐标系中，过点A ()，，2πθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的射线OA 与曲线：x=2cos y=2+2sin αα⎧⎨⎩（α为参数）相交于点A,与直线L：相交于点B ，求AB 的值27.在极坐标系中，曲线1：=2sin C ρθ ，曲线2：=4sin +3C πρθ⎛⎫⎪⎝⎭ ，直线L 的，交曲线12，C C 与A,B 两点，若A,B 的极径分别为12，ρρ ,求21-ρρ的值28.在平面直角系中，曲线C 为22x +y =14，若点()12，,，2A Bπρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求221211+ρρ的值29.已知曲线C 的直角坐标方程为22x +y -6x-8y=0，在极坐标系中，设直线12：，：=63L L ππθθ=，若直线12，L L 与曲线C 分别相交于异于原点的A,B 两点，求∆AOB 的面积30.在极坐标系中，曲线1：=4sin C ρθ，曲线2：=4cos C ρθ，射线=3πθ与曲线12，C C 交于A,B 两点，且定点M （2,0），求∆ABM 的面积31.在平面直角系中，曲线C 的参数方程为x=a+a cos y=a sin ββ⎧⎨⎩（0a >，β为参数），A,B 为曲线C 上的两点，且=3AOB π∠，求∆AOB 面积最大值2.未知直线倾斜角（设出交点极坐标）32.已知直线L 参数方程为x=t cos y=t sin αα⎧⎨⎩（t 为参数），其中2παπ<<.在极坐标系中，曲线1：=2cos C ρθ，曲线2：=4cos C ρθ，若L 与1C 相交于点A,L 与2C 相交于点B ，且AB ，求α的值33.在极坐标系中，曲线1：=2cos C ρθ，曲线2：=4sin C ρθ ，已知曲线3C 的极坐标方程为()=0，R θααπρ<<∈，且与曲线1C 交于点A 与曲线2C 交于点B ，且AB α的值34.在极坐标中，曲线C 为=2cos ρθ，直线L 为()sin +cos =4ρθθ，若射线1：02L πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线C 交于不同的两点O,A ，与直线交于点B ，若OA OB =,求α的值35.在平面直角坐标系xoy 中，曲线1：C x=t cos y=t sin αα⎧⎨⎩ （t 为参数），其中0απ≤<.在极坐标系中，曲线2：=2sin C ρθ，曲线3：cos C ρθ，若1C 与2C 相交于点A, 1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值36.在极坐标系中，曲线1：=4cos C ρθ，曲线22：cos =sin C ρθθ ，过原点且倾斜角为64ππαα⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭的射线与曲线12，C C 分别交于A,B 两点，求OA OB ⋅的取值范围37.在极坐标系中，曲线12，C C 的极坐标方程分别为=θα和=+2πθα，且02πα≤<，曲线3C 的直角坐标方程为()22x-1+y =4，曲线3C 与曲线1C 交于A,B两点，曲线3C 与曲线2C 交于C ，D 两点，求四边形ABCD 的面积最大值与最小值的和38.在平面直角系中，曲线C 为1y -x 22=，若点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-6,21παραρ，，B A 是曲线C上的两点，当⎪⎭⎫⎝⎛∈40πα，时，在曲线C 上，求221211+ρρ的取值范围39.在平面直角坐标系xoy 中，曲线14y 8x 221=+：C ，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ，若射线()：0L θαρ=≥与曲线12，C C 分别交于A,B 两点，当02πα<<时，求22OB OA +的最小值40.已知圆的直角坐标方程为()()11y 1-x 22=-+ ，12，L L 为过点O 的两条直线，1L 与圆交于A,B 两点，2L 与圆交于C ，D 两点，且1L 的倾斜角为α，=6AOC π∠，当0，6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求点O 到A,B,C,D 四点的距离之和的最大值。
高中数学《平面直角坐标系中的基本公式》如何避免直线问题中的斜率讨论文字素材 新人教B版必修2
1 / 1如何避免直线问题中的斜率讨论直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，很多利用直线斜率解决的问题，都要分斜率存在与不存在两种情况讨论．如果你轻视斜率不存在这种特殊情况，往往会导致错误；如果你避免设斜率而求解，有时又可能会出现妙解．下面介绍几种避免对直线斜率讨论的方法.一﹑巧设直线方程如果所求直线可能涉及到斜率不存在的情况，则可以将过点(x 0，y 0)的直线方程设为x －x 0＝m(y －y 0)，则可以避免对斜率的讨论.例1求经过点(5，10)，且与原点的距离为5的直线方程. 解析：设x －5＝m(y －10)，即x －my －5＋10m ＝0，则由点到直线的距离公式，得|－5＋10m|1＋m 2＝5，解得m ＝43或m ＝0, 故所求直线的方程为3x －4y ＋25＝0或x ＝5.点评：从所求出的两个m 的值可以发现m ＝0对应的情形就是所求直线的斜率不存在的情形. 二﹑数形结合法在直线方程的五种基本形式中，如果利用选用点斜式或斜截式方程，则还须对直线不存在的情况进行补充.在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会更加完备.例2直线l 经过点P(1，2)，且与两点M(－2，－3)、N(4，5)的距离相等，求直线l 的方程. 解析：因为M 、N 到直线l 的距离相等， 所以l ∥MN 或经过MN 的中点，如图所示.而k MN ＝43，且MN 的中点坐标为(1，1)，当l ∥MN 时，直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0， 当l 经过MN 的中点时，直线l 的方程为x ＝1，综上所述，所求直线l 的方程为4x －3y ＋2＝0或x ＝1.点评：本题若按常规解法，则应当考虑所求直线的斜率是否存在，存在时直接设直线的点斜式方程. 三、利用向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件坐标形式：若→a ＝(x 1，y 1)，→b ＝(x 2，y 2)，则→a ⊥→b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.对于两条直线互相垂直的问题，如果能根据直线上两点分别确定出所在直线的一个向量，则利用向量垂直的条件可快速求解.例3已知C(a ，b)(ab ≠0)是一定点，过C 作两条互相垂直的直线l 1与l 2，其中l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求证：线段AB 的中点M 在一条定直线上.解析：如图，设点M(x ，y)，由中点坐标公式，得A(2x ，0)，B(0，2y)， 则AC →＝(a －2x ，b)，BC →＝(a ，b －2y)， ∵AC→⊥BC →，∴a(a －2x)＋b(b －2y)＝0， 整理，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即点M 在一条定直线上.点评：由于题设条件中有一已知点C ，则易考虑利用点斜式方程来解决，但考虑对直线l 1与l 2的斜率是否存在进行分类讨论，而利用向量垂直的充要条件解答，奇妙无比.四、利用直线系方程主要的直线系方程：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系为：Ax ＋By ＋λ＝0(λ为参数)；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系为：Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)；(3)过已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系为程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(除去l 2).例4求过点(3，5)且与直线3mx ＋(m ＋5)y ＋3m －7＝0垂直的直线方程. 解析：依题意，设所求直线方程为(m ＋5)x －3my ＋C ＝0，将点(3，5)代入所求方程，得(m ＋5)×3－3m ×5＋C ＝0，解得C ＝12m －15. 故所求直线方程为(m ＋5)x －3my ＋12m －15＝0.点评：解此类问题时，当已知直线的斜率确定时，可根据已知直线的斜率写出所求直线的方程；当已知直线的斜率不确定，方程中含有参数时，为了避开讨论，常常通过利用直线系方程来解决.本题若按利用斜率间关系求解，则必须同时考虑已知直线与所求直线的斜率是否存在的情况，其过程较繁.五﹑利用两条直线平行与垂直的充要条件已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1∥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1，B 1C 2－B 2C 1中至少一个不等于零；(2) l 1⊥l 2的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.例5已知直线l 1：x ＋2my －3＝0与直线l 2：(3m －1)x －my ＋5＝0互相平行，求实数m 的值.解析：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得－m ×1－(3m －1)×2m ＝0，即m(6m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝16.当m ＝0时，A 1C 2－A 2C 1＝5×1－(3m －1)×(－3)＝2≠0，∴l 1∥l 2. 当m ＝16时，B 1C 2－B 2C 1＝5×2m －(－m)×(－3)＝76≠0，∴l 1∥l 2.所以m 的取值为0和16.点评：如果利用两条平行直线之间的斜率关系解答，则须考虑两条直线的斜率是否存在，而利用两条直线平行的充要条件可避开.六、利用“设而不求”法“设而不求”就是指在解题过程中，根据题目的要求设出相关的量对应的未知数，但整个过程中并不需要求出这些未知数就可以使问题顺利解决.例6已知一条直线l 被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y ＋8＝0所截得的线段长为154，且经过点(2，3)，求直线l 的方程.解析：设直线l 1与l 1﹑l 2的交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ 3x 1＋4y 1－7＝03x 2＋4y 2＋8＝0，两个方程相减，得3(x 2－x 1)＋4(y 2－y 1)＋15＝0，即y 2－y 1＝－34(x 2－x 1)－154，由|AB|＝154，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(154)2，所以(x 2－x 1)2＋[34(x 2－x 1)＋154]2＝(154)2，即5(x 2－x 1)2＋18(x 2－x 1)＝0，解得x 2－x 1＝0或x 2－x 1＝－185.由x 2－x 1＝0，得所求直线方程为x ＝2，由x 2－x 1＝－185，得y 2－y 1＝－2120，所以所求直线的斜率为724，直线方程为7x －24y ＋58＝0.综上知，所求直线的方程为x ＝2或7x －24y ＋58＝0.点评：本题通过利用设而不求将x 2－x 1与y 2－y 1作为整体求解，进而确定所求直线的斜率，这种方法是解析几何中常用的手段和技巧.“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.。
中学数学第十三章 第1节 第1课时 坐标系
第1节 坐标系与参数方程第1课时 坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)， 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程[微点提醒] 关于极坐标系1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线． 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.答案 A3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C.(1，0)D.(1，π)解析 法一 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B. 答案 B4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________.解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝15.(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 将2ρcos 2 θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ①，C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1②，联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． 答案 (1，2)6.(2014·陕西卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________. 解析 将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为(3，1)．极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1转化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，则点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|1＋（－3）2＝1.答案 1考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换易错警示【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解 伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线. (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆. 规律方法 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．易错警示 应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x ，y )与变换后的点坐标(x ′，y ′)．【训练1】 在同一坐标系中，求将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换公式.解 将曲线y ＝12sin 3x ①经过伸缩变换变为y ＝sin x ，即y ′＝sin x ′②， 设伸缩变换公式是⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy(λ>0，μ>0)，把伸缩变换关系式代入②式得：μy ＝sin λx 与①式的系数对应相等得到⎩⎨⎧μ＝2，λ＝3，所以，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .考点二 极坐标与直角坐标的互化【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长.解 (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，∴直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，|OQ |＝12×22＋22＝23， 故线段PQ 的长为22－23＝523.规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程. (2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程. 解 (1)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，∴a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝2，所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考点三 曲线极坐标方程的应用【例3－1】 (2019·太原二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中点，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点M (2，0)，求△MAB 的面积.解 (1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)M 到射线θ＝π3(ρ>0)的距离d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－cos π3＝2(3－1)，所以S △MAB ＝12|AB |×d ＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.【例3－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α， 于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.规律方法 求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ2－θ1）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【训练3】 (1)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长.(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为C 上两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，其中0<α<π2. (ⅰ)求曲线C 的极坐标方程； (ⅱ)求|OA |·|OB |的最小值.解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2＝2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.(2)(ⅰ)将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)化为普通坐标方程为x 22＋y2＝1.因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ.(ⅱ)根据题意：射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π2， 所以|OA |＝21＋sin 2 α，|OB |＝21＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2＝21＋cos 2 α，所以|OA |·|OB |＝21＋sin 2 α·21＋cos 2 α＝4(1＋sin 2α)(1＋cos 2 α)≥21＋sin 2 α＋1＋cos 2 α2＝43. 当且仅当sin 2 α＝cos 2 α，即α＝π4时，|OA |·|OB |取得最小值为43.[思维升华]1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤： (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)；(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)． [易错防范]1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组 (建议用时：60分钟)1.求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求.2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，得ρ2＝(2＋ρsin θ)2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin(θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长. 解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，直线l ：x ＋3y ＝53， 所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝53， 化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，即为直线l 的极坐标方程.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 即为圆C 的直角坐标方程. (2)由题意得ρA ＝4sin π6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3.5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ). (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 22＋y 2＝1，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ；∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由(1)得|OA |2＝ρ21＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ22＝4sin 2α， ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2 α＝21＋sin 2 α＋4(1＋sin 2α)－4， ∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2，∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9， ∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5).能力提升题组 (建议用时：20分钟)7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于除原点外的A ，B 两点，若∠AOB ＝π3，求△AOB 的面积的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －2y ＝0，所以，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(2)不妨设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 则ρ1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3，△AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |sin π3 ＝12ρ1ρ2sin π3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝23cos 2θ＋3≤3 3.所以，当θ＝0时，△AOB 的面积取最大值3 3.8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)与曲线C 1，C 2的交点分别为A ，B (A ，B 异于原点)，当斜率k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由ρcos 2θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，结合⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)设射线l ：y ＝kx (x ≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k ＝tan φ∈(1，3].联立⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝φ，得|OA |＝ρA ＝2cos φ，联立⎩⎨⎧ρcos 2θ＝sin θ，θ＝φ，得|OB |＝ρB ＝sin φcos 2 φ，所以|OA |·|OB |＝ρA ·ρB ＝2cos φ·sin φcos 2 φ＝2tan φ＝2k ∈(2，23]，即|OA |·|OB |的取值范围是(2，23].。
平面直角坐标系的性质定理
平面直角坐标系的性质定理平面直角坐标系是二维几何中常用的坐标系统，它由两个平行的数轴组成，一个是水平的x轴，另一个是垂直的y轴。
在这个坐标系中，我们可以用坐标来表示平面上的任意点的位置。
在研究平面几何问题时，有一些性质定理与平面直角坐标系密切相关。
一、点的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示该点在x轴上的水平位置，y表示该点在y轴上的垂直位置。
根据这个表示方法，我们可以方便地计算和描述点之间的位置关系和距离。
二、距离公式在平面直角坐标系中，两个点之间的距离可以用距离公式来计算。
设P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)是平面上的两个点，它们的距离d可以由以下公式给出：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这个公式可以由勾股定理推导得出，它是平面直角坐标系中计算距离最常用的方法。
三、中点公式在平面直角坐标系中，两个点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)之间的中点可以由中点公式计算得到。
中点公式的表达形式为：M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)根据中点公式，我们可以方便地求得两个点之间的中点坐标。
四、直线方程在平面直角坐标系中，直线可以由线性方程来表示。
一般而言，直线的方程可以写成y = kx + b的形式，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。
特别地，当直线与x轴垂直时，斜率k不存在，方程可以简化为x = a的形式，其中a是直线与x轴的交点。
根据直线方程，我们可以判断两条直线是否平行、垂直，以及求出直线的交点等信息。
五、直线的斜率在平面直角坐标系中，直线的斜率是一个很重要的性质。
斜率可以用来描述直线的倾斜程度，表示为k。
计算斜率的公式可以由两点间的坐标差来表示：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)当斜率k存在时，可以根据斜率的正负、大小来判断直线的倾斜方向和程度。
以上就是平面直角坐标系的一些性质定理。
第1章 1 平面直角坐标系
§1平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得. 解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解 设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1， 可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF 2＝（5＋6）×42＝22， 所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二 坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析 根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解 设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解 解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点. 答 统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1， 得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程.答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零). ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程是____________.解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________. 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′， 代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′.答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD→， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC→， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB→＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y 4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0.BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解 法一 由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0.将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 在同一条直线上.法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解 与x 轴交点 令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交 点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2，S △＝12×5×2＝5.6.证明 如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2， |AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2，∴|OB |＝|AC |.结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10，∴方程为(x －2)2＋y 2＝10(2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25.(3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5， 图略.8.解 以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100，∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100. 9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28.∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1.10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1.(2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1.(3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上.∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0，(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2.解 由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解 以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056，c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。
复习高中数学平面几何解析法
复习高中数学平面几何解析法高中数学平面几何是数学的一个重要分支，在解析几何中起着重要的作用。
掌握解析几何的基础知识，对于学生的学习和理解几何问题具有重要的意义。
本文将回顾高中数学平面几何解析法的基本概念、常用公式和解题方法，帮助读者复习和加深对该知识点的理解。
一、平面直角坐标系及其性质在解析几何中，使用平面直角坐标系是解决几何问题的关键。
平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴x轴和y轴组成，任意一点都可以用有序数对(x, y)表示。
平面直角坐标系的性质包括：1. 两点之间的距离公式：设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面上的两点，则AB的距离为√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
2. 点到直线的距离公式：设点P(x₁, y₁)到直线Ax + By + C = 0的距离为d，则d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
二、直线的方程解析几何中，直线的方程有三种常见形式：一般式、斜截式和点斜式。
1. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
2. 斜截式：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
3. 点斜式：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
三、常见的直线问题在平面几何解析法中，我们经常遇到的问题包括：点的位置关系、直线的位置关系、直线与圆的位置关系以及直线与直线的位置关系等。
1. 点的位置关系：给定点P(x, y)，判断其是否在直线Ax + By + C = 0上，只需将P的坐标(x, y)代入直线的方程，若等式成立，则点P在直线上，否则点P不在直线上。
2. 直线的位置关系：判断两条直线Ax₁ + By₁ + C₁ = 0和Ax₂ + By₂ + C₂ = 0的位置关系，可以比较它们的斜率k₁和k₂。
初中数学平面直角坐标系规律题技巧优质
初中数学平面直角坐标系规律题技巧优质平面直角坐标系是数学中经常使用的工具，用于表示平面上的点和图形。
在初中数学中，学生需要熟练掌握平面直角坐标系并能够应用它来解决问题。
下面介绍一些关于平面直角坐标系的规律题技巧，以帮助学生提高解题效率和准确性。
1.点的坐标平面直角坐标系中，点的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
在解题时，首先要确定点的坐标，并根据题目中给出的条件来确定点的位置和性质。
2.对称性平面直角坐标系中，图形的对称性是解题的有效利器。
对称性分为原点对称、x轴对称和y轴对称三种。
利用对称性，我们可以通过已知的部分来确定未知的部分，从而简化解题过程。
3.距离和斜率平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。
对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]两点之间的斜率可以使用斜率公式来计算。
对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的斜率k可以通过以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)利用距离和斜率的公式，可以解决相关的问题，如求两点之间的距离、确定直线的斜率等。
4.图形的方程平面直角坐标系中，不同的图形有不同的方程表示。
一些常见的图形方程如下：- 直线方程：y = kx + b-圆方程：(x-h)²+(y-k)²=r²其中，直线方程中的k表示斜率，b表示截距；圆方程中的(h,k)表示圆心坐标，r表示半径长度。
利用图形的方程，可以帮助我们确定图形的特点、方程等。
5.面积和周长平面直角坐标系中，可以通过计算图形的面积和周长来解决相关问题。
对于矩形、正方形、三角形等形状，可以利用坐标的计算公式或者通过多边形的面积公式来求解。
6.平行和垂直平面直角坐标系中，可以通过斜率的性质来确定两条直线的关系。
如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。
平面直角坐标系中的距离公式
第二章 解析几何初步第1.5节 平面直角坐标系中的距离公式1、经过点P(x 0, y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是（A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0（C ）B(x+x 0)–A(y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=02、直线l 1: x+ay+6=0与直线l 2: (a –2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于（A ）–1或3 （B ）1或3 （C ）–3 （D ）–13、直线l 1: (2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，则a 等于（A ）–31 （B ）1 （C ）71 （D ）21 4、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4 后，所得的直线的方程是（A ）x –3y –2=0 （B ）3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=05、已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是（A ）(–2, –3) （B ）(2, 3) （C ）(2, 1) （D ）(–2, 1)6、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 .7、过点P(2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan32的直线的方程是 .8、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ；B ；C 。
参考答案1、A ；2、D；3、C；4、B；5、B；6. 10、107、5x-12y+26=0或x=28、(-2,1)，(1,0)，(2,5)。
讲平面直角坐标系
通过引入极坐标系，可以将曲线用极坐标方程表 示。
06
平面直角坐标系中的函数和图像
函数的基本概念
函数的定义
函数是定义在非空数集之间的一种对 应关系，对于每一个自变量x，都有 唯一确定的因变量y与之对应。
函数的表示方法
通常用解析式、图像和表格来表示函 数。
函数的定义域
函数中自变量的取值范围。
物理学中的应用
质点的运动学
在物理学中，质点的运动轨迹可以描述为时间和空间的关系，这可以通过平面 直角坐标系来实现。
电场和磁场
电场和磁场是物理学中的重要概念，它们都可以通过平面直角坐标系来描述和 计算。
04
平面直角坐标系的扩展
极坐标系
01 02
极坐标系定义
极坐标系是一个二维坐标系统，它由一个极点和一个射线组成，射线被 定义为极轴，极点被定义为原点。在极坐标系中，点的位置由极径和极 角确定。
柱面坐标系的应用
柱面坐标系在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如在物理学中，描述电磁波的传播 时，使用柱面坐标系更为方便。
柱面坐标系与直角坐标系的转换
柱面坐标系和直角坐标系之间可以通过公式进行转换，圆柱面的半径和角度可以转换为x 、y和z坐标，反之亦然。
球面坐标系
球面坐标系定义
球面坐标系是一种三维坐标系统，它由一个球面和一个角度组成。球面的中心是原点，球面的半径是常数。在球面坐标系中，点的位置由球面的半径和角度确 定。
极坐标系的应用
极坐标系在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，例如在物理 学中，描述带电粒子在磁场中的运动轨迹时，使用极坐标系更为方便。
03
极坐标系与直角坐标系的转换
极坐标系和直角坐标系之间可以通过公式进行转换，极径和极角可以转
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
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平面直角坐标系中的直线方程求解
直线是平面上的一种特殊的几何图形，也是代数中的一个重要
概念。
在平面直角坐标系中，直线可以用一条线段连接两个点来表示，或者用一个方程来描述。
本文将介绍如何通过已知条件来求解
平面直角坐标系中的直线方程。
直线方程的一般形式是y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。
根据已知条件可以采用以下方法求解直线方程：
1. 已知两点求解：如果已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2,
y2)，可以通过斜率公式 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 计算出斜率k，然后
再通过点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来得到直线方程。
2. 已知斜率和截距求解：如果已知直线的斜率k和y轴截距b，可以直接写出直线方程为 y = kx + b。
3. 已知斜率和一点求解：如果已知直线的斜率k和一点P(x1,
y1)，可以通过点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来得到直线方程。
4. 已知截距和一点求解：如果已知直线的y轴截距b和一点
P(x1, y1)，可以将截距和点带入直线方程 y = kx + b 中，再求解斜率。
以上是几种常见的求解直线方程的方法，通过这些方法可以根据已知的条件求得直线的方程表达式。
需要注意的是，在解题过程中要注意数值运算的准确性，避免出现错误的结果。
总结而言，通过已知条件求解平面直角坐标系中的直线方程可以采用已知两点、已知斜率和截距、已知斜率和一点、已知截距和一点等不同的方法。
这些方法可以根据具体的问题选择合适的求解方式，以得到正确的直线方程表达式。