高等数学教学教案 格林公式及其应用

§113 格林公式及其应用 授课次序69 教 学 基 本 指 标 教学课题 §113 格林公式及其应用 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学

教学重点 格林公式及其应用 教学难点 各种不同情况下的计算

参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业

双语教学 微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ； 积分：integral；重积分：multiple integral；二重积分：double integral；三重积分：threefold integral

课堂教学目标

1． 掌握格林公式；

2． 会运用平面曲线积分与路径无关的条件； 3． 会求全微分的原函数。

教学过程 1．格林公式（45min）； 2．平面曲线积分与路径无关的条件（20min）； 3．全微分的原函数（25min）

教 学 基 本 内 容

§113 格林公式及其应用 一、格林公式 单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域 对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边 区域D的边界曲线L的方向 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 其中L是D的取正向的边界曲线 简要证明 备注栏 仅就D即是X－型又是Y－型的情形进行证明 设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为yP连续所以由二重积分的计算法有

dxxxPxxPdxdyyyxPdxdyyPbaxxbaD)]}(,[)](,[{}),({12)()(21



另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 abbaLLLdxxxPdxxxPPdxPdxPdx)](,[)](,[

21

21



dxxxPxxPba)]}(,[)](,[{21因此LDPdxdxdyyP

设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}类似地可证LDQdxdxdyxQ 由于D即是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时成立两式合并即得 LDQdyPdxdxdy

yPx

Q

应注意的问题对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向 设区域D的边界曲线为L 取PyQx则由格林公式得

LDydxxdydxdy2

 或LDydxxdydxdyA21

例1椭圆xa cosyb sin所围成图形的面积A 分析只要1yPxQ 就有AdxdydxdyyPxQDD)( 解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域 令yP21xQ21 则12121yPxQ于是由格林公式

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明Ldyxxydx022 证令P2xyQx2则022xxyPxQ 因此由格林公式有0022dxdydyxxydxDL (为什么二重积分前有“”号？ ) 3计算Dydxdye2其中D是以O(0 0)A(1 1)B(0 1)为顶点的三角形闭区域 分析 要使2yeyPxQ只需P02yxeQ 解令P02yxeQ则2yeyPxQ 因此由格林公式有 BOABOAyDy

dyxedxdye

22

)1(2111022edxxedyxexOAy



例4计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向 解 令22yxyP22yxxQ

则当x2y20时有yPyxxyxQ22222)( 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时由格林公式得022Lyxydxxdy 当(0 0)D时 在D内取一圆周lx2y2r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1应用格林公式得02222lLyxydxxdyyxydxxdy其中l的方向取逆时针方向 于是lLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内 从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2等式

21LLQdyPdxQdyPdx

恒成立就说曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关否则说与路径有关 设曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有21LLQdyPdxQdyPdx

因为

21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx

021LLQdyPdxQdyPdx0)(21LLQdyPdx 所以有以下结论曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任意 闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零 定理2 设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分LQdyPdx

在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等

式xQyP在G内恒成立 充分性易证 若xQyP则0yPxQ由格林公式对任意闭曲线L 有DLdxdyyPxQQdyPdx0 必要性假设存在一点M0G使0yPxQ不妨设>0则由yPxQ的连续性存在M0

的一个邻域U(M0, )使在此邻域内有2yPxQ 于是沿邻域U(M0, )边界l 的闭曲线积分 02)(2),(0MUldxdyyPxQQdyPdx

这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在G内0yPxQ 应注意的问题定理要求区域G是单连通区域且函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立

破坏函数P、Q及yP、xQ连续性的点称为奇点

例5计算Ldyxxydx22 其中L为抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 解因为xxQyP2在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分Ldyxxydx22与路径无关ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx22222211102dy 讨论 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向 问

022Lyxydxxdy是否一定成立？提示 这里22yxyP和22yxxQ在点(0 0)不连续 因为

当x2y20时yPyxxyxQ22222)( 所以如果(0 0)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时 结论未必成立 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x0y0)与终点(xy)有关 如果

LQdyPdx

与路径无关则把它记为),(),(00yxyxQdyPdx

即),(),(00yxyxLQdyPdxQdyPdx 若起点(x0y0)为G内的一定点终点(xy)为G内的动点则u(xy)),(),(00yxyxQdyPdx 为G内的的函数 二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy 表达式P(xy)dx+Q(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dx+Q(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则

P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式xQyP在G内恒成立 简要证明必要性假设存在某一函数u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy

则有yxuxuyyP2)(xyuyuxxQ2)(

因为yPyxu2、xQxyu2连续 所以xyuyxu22即xQyP 充分性因为在G内xQyP 所以积分LdyyxQdxyxP),(),(在G内与路径无关考虑函数u(xy)),(),(00),(),(yxyxdyyxQdxyxP 因为 u(xy)),(),(00),(),(yxyxdyyxQdxyxPxxyydxyxPdyyxQ00),(),(0 所以 ),(),(),(000yxPdxyxPxdyyxQxxuxxyy 类似地有),(yxQyu从而duP(xy)dxQ(xy)dy 即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函数的全微分 求原函数的公式),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu

yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(

0

例6 验证22yxydxxdy在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

解 这里22yxyP22yxxQ